簡諧晶體高溫比熱的量子修正

吳明在, 孫兆奇, 劉艷美, 馬永青, 戴 鵬

(安徽大學(xué)光電信息獲取與控制教育部重點實驗室,安徽合肥 230039)

簡諧晶體高溫比熱的量子修正

吳明在, 孫兆奇, 劉艷美, 馬永青, 戴 鵬

(安徽大學(xué)光電信息獲取與控制教育部重點實驗室,安徽合肥 230039)

愛因斯坦假設(shè)和德拜假設(shè)采用量子論處理了晶格的低溫?zé)崛輪栴},而高溫部分晶格的熱容仍然采用的是傳統(tǒng)的隆-帕替定律。本文在對晶格熱容的高溫溫區(qū)處理上,考慮到量子效應(yīng),對點陣的高溫?zé)崛菁右粤肆孔有拚?/p>

晶格;熱容;量子修正

固體熱容是物質(zhì)熱性質(zhì)的重要參量之一,人們對固體熱容的研究由來已久,經(jīng)典統(tǒng)計理論曾用能量均分定理討論過晶體振動的熱容,成功地解釋了杜隆-帕替定律常溫和高溫下固體熱容的實驗規(guī)律[1],但它不能說明低溫下熱容量隨溫度變化的實驗事實。愛因斯坦應(yīng)用普朗克量子論假定晶體中所有原子都以相同的頻率振動,忽略諧振子之間的差異,認(rèn)為3N個諧振子是全同的。結(jié)果得到在低溫下,即,T?ΘE時,定容熱容

在低溫時,定容熱容量按指數(shù)衰減。這是由于當(dāng)溫度趨于零時,振子能級間距?w遠(yuǎn)大于kBT,振子由于熱運(yùn)動獲得能量?w而躍遷到激發(fā)態(tài)的概率是極小的,因此平均而言幾乎全部振子被凍結(jié)在基態(tài)。愛因斯坦固體熱容理論能夠定性地說明固體熱容量隨溫度降低而趨于零的規(guī)律,在定量上卻與實驗符合得不好。實驗測得的定容熱容量,比愛因斯坦理論值趨于零速度慢。這是由于在愛因斯坦理論中作了過分簡化的假設(shè),即:3N個振子都有相同的頻率。這忽視了各格波對熱容貢獻(xiàn)的差異。

德拜將固體看作各向同性連續(xù)彈性介質(zhì),晶體的3N個簡諧振動是彈性介質(zhì)的基本波動,固體上任意的彈性媒質(zhì)都可分解為3N個簡諧振動的疊加。在此近似處理下,在低溫kBT??w下,

德拜定容熱容量與T3成正比,稱作德拜 T3律。這一結(jié)論在低溫時與實驗相符,并且溫度越低符合程度越好。

在低溫溫區(qū),愛因斯坦和德拜分別將量子論引入晶格熱容,能夠很好地解釋低溫?zé)崛蓦S溫度變化的規(guī)律,然而高溫?zé)崛莶]有考慮到量子效應(yīng),沒有進(jìn)行量子修正。本文在對晶格熱容的處理上,考慮了量子效應(yīng),對點陣的高溫?zé)崛菁右粤孔有拚?/p>

固體物理的熱容一般是指定容熱容,在熱力學(xué)里,

其中ˉE為固體的平均內(nèi)能。固體熱容主要有兩部分貢獻(xiàn),一是來源于晶格熱振動,稱為晶體熱容;二是來源于電子的熱運(yùn)動,稱為電子熱容,除非在很低溫度下,電子熱運(yùn)動的貢獻(xiàn)往往是很小的,故在我們所討論的高溫區(qū),電子的熱容不予考慮。

由熱容的定義式(3)有

其中ΔCv即為簡諧晶體在高溫下熱容的量子修正。事實上,在德拜 T3定律適用的溫區(qū)范圍以上和杜隆-帕替定律適用的常溫和高溫溫區(qū)以下溫度范圍內(nèi),晶格熱容是在減小的,其減小的值就由ΔCv來表達(dá)。聯(lián)系德拜所引入的模式密度,我們還可以把對模式的求和轉(zhuǎn)化為對頻率的積分,這樣,

則式(9)可重新表達(dá)為

當(dāng)T處于常溫或高溫時,由(9)式或者(11)式可知,ΔCv→0,過渡到杜隆-帕替定律,即晶格熱容Cv==3N kB;

當(dāng)T足夠低時,(9)式或者(11)式不再適用,過渡到德拜定律,熱容服從T3定律;

當(dāng)T處于德拜適用溫區(qū)和高溫區(qū)之間時,熱容須加以修正,修正項以(11)式表達(dá)。

[1] 陸棟,蔣平,徐至中.固體物理學(xué)[M].上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,2003.

[2] 黃昆,韓汝琦.固體物理學(xué)[M].北京:高等教育出版社,1988.

The Quantum Correction of High Temperature Heat Capacity for H armonic Crystal

WU Ming-zai, SUN Zhao-qi, LIU Yan-mei, MA Yong-qing, DAI-peng
(Ministry ofEducation’s Key Laboratory of Opto-electronic Information Acquisition and Manipulation,Anhui University,Hefei230039,China)

The heat capacity of lattice for low temperature zone was developed by Einstein and Debye by using quantum method,while the heat capacity for high temperature zone still adopts the conventional Dulong-petit law.In this paper,we develop the quantum correction for the heat capacity of lattice for high temperature zone.

lattice;heat capacity;quantum correction

O414.2

A

1674-2273(2010)06-0023-02

2010-03-24

安徽省自然科學(xué)基金(070414202),安徽省教育廳自然科學(xué)基金(2006KJ269B)

吳明在(1979-),男,安徽潁上人,安徽大學(xué)物理學(xué)院副教授,主要從事固體物理教學(xué)工作。