倉庫容量有限允許缺貨條件下的隨機(jī)存儲(chǔ)模型

霍麗娜

（榆林學(xué)院 數(shù)學(xué)系，陜西 榆林 719000）

倉庫容量有限允許缺貨條件下的隨機(jī)存儲(chǔ)模型

霍麗娜

（榆林學(xué)院 數(shù)學(xué)系，陜西 榆林 719000）

對(duì)允許缺貨的隨機(jī)存儲(chǔ)問題，建立了倉庫容量有限并可以租賃倉庫的存儲(chǔ)模型，給出了模型的一般算法，較好地解決了多種商品在允許缺貨條件下的最佳訂貨點(diǎn)的確定問題.

隨機(jī)存貯；存儲(chǔ)銷售周期；懲罰函數(shù)法

1 問題的提出

企業(yè)生產(chǎn)需定期購進(jìn)各種原料，商家銷售要成批地購進(jìn)各種商品.無論是原料或商品，都存在如何存貯的問題.庫存冗余則存貯費(fèi)用較高，庫存短缺則無法滿足需求，影響利潤(rùn)，所以許多商家為了滿足市場(chǎng)的隨機(jī)大量需求，采用租借別人倉庫的方法，但是一般租借別人倉庫都比使用自己倉庫的費(fèi)用高.因此，在這種情況下的實(shí)際的生產(chǎn)過程中，采用有效的庫存管理方法將起到調(diào)節(jié)供需余缺、保證生產(chǎn)正常進(jìn)行的作用，從而有力的降低不利損耗，提高企業(yè)效益.顯然，在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)蓬勃發(fā)展的今天，研究這樣一個(gè)可以服務(wù)廣大工商界的問題的重要性不容忽視.

2 符號(hào)說明

T 商品存貯銷售周期

ki第i種商品的庫存下降速率（銷售速率）

E(X)供貨時(shí)間的數(shù)學(xué)期望

s某種商品在一個(gè)周期T中的總損失費(fèi)用

S m種商品在一個(gè)周期內(nèi)的總損失費(fèi)用

Z 商品在一段時(shí)期內(nèi)的總損失費(fèi)用

t0某一周期T的開始時(shí)刻

t1庫存商品量L售完時(shí)刻

t2所訂商品到位時(shí)刻

t3租借倉庫中商品售完時(shí)刻

t4自己倉庫中商品庫存量降至L的時(shí)刻

Q0i第i種商品在自己倉庫中的庫存體積容量

Qi第i種商品被補(bǔ)充到的固定體積容量

3 模型基本假設(shè)

（1）存貯時(shí)先將商品存入自己的倉庫，剩余的存入租借的倉庫.

（2）出售時(shí)先出售租借倉庫中的商品，待其被銷售完，再銷售存在自己倉庫中的商品.（3）假設(shè)倉庫開始庫存第i種商品數(shù)量為L(zhǎng)i.（4）當(dāng)商品庫存下降速率一定時(shí)，任一階段中商品的庫存量可取其中間值.

（5）商品供貨時(shí)間X雖然是隨機(jī)的，但因其上下波動(dòng)不大，故可采用其數(shù)學(xué)期望E(X)作為供貨時(shí)間進(jìn)行分析.

4 模型建立與求解

圖1

商家存貯銷售的商品為m種，就某種商品i而言，其循環(huán)過程中的損失費(fèi)用分析如下：商品的存貯與銷售是一個(gè)周期的循環(huán)過程，故可以就其中一個(gè)周期進(jìn)行分析，商家商品的庫存量變化情況如圖（1）所示.現(xiàn)將商品的周轉(zhuǎn)周期T分為幾個(gè)不同的階段，因各階段庫存商品數(shù)量的變化規(guī)律不同而導(dǎo)致?lián)p失費(fèi)用變化規(guī)律不同，故首先對(duì)每個(gè)階段進(jìn)行分析，分別得出損失費(fèi)用隨商品數(shù)量變化的規(guī)律，以期通過各階段損失費(fèi)用的累加獲得整個(gè)商品周轉(zhuǎn)周期內(nèi)損失費(fèi)用相對(duì)商品數(shù)量變化的函數(shù).將m種商品中每一種商品采取同樣方法進(jìn)行分析，然后把所有商品的損失費(fèi)累加即可求得m種商品在一個(gè)存儲(chǔ)周期存貯銷售過程中總的損失費(fèi)用[1,2,3].

4.1.1 由于商品的銷售以體積(rivi)的方式減少，為了方便表述，在此依據(jù)上面的思路，定義第 種商品的庫存減少速率（銷售）為ki，

4.1.3 待貨階段：此階段商家?guī)齑娴趇種商品數(shù)量為L(zhǎng)i,為保證正常銷售，商家開始訂貨，但所訂貨物不能立即到貨，故此階段中，商家賣出自己庫存商品，其間損失為商品在自己倉庫中的存貯費(fèi)用：

4.1.4 缺貨階段：此階段中商家?guī)齑嫔唐芬咽弁辏A(yù)定商品尚未到貨，因此，商家此時(shí)的損失費(fèi)用為缺貨損失費(fèi)：

4.1.5 貨物庫存充盈階段：在此階段，商家預(yù)訂商品已經(jīng)到貨，分別存入自己的倉庫和租借的倉庫，銷售開始正常進(jìn)行，因要節(jié)省費(fèi)用，故租借倉庫中的商品優(yōu)先出售，至租借倉庫中商品售完.此時(shí)，商家的損失費(fèi)用為商品在倉庫中的存貯費(fèi)用.

賣租借倉庫中商品時(shí)自己倉庫的存貯費(fèi)用：

4.1.6 準(zhǔn)備訂貨階段：在此階段，租借倉庫中的商品已出售完畢，開始出售自己倉庫中所存商品，并在庫存降至L i時(shí)開始訂貨，而后進(jìn)入待貨階段，開始新的循環(huán)周期.此階段中，商家的損失費(fèi)用為商品在自己倉庫中存貯的費(fèi)用為：

4.1.7 在一個(gè)周期中的損失費(fèi)用為各階段損失費(fèi)用的累加.一個(gè)周期內(nèi)的總損失費(fèi)用：

4.1.8 因商家現(xiàn)有m種商品，所以在周期T內(nèi)總的損失費(fèi)用為：

4.1.9 現(xiàn)同樣以一段時(shí)期內(nèi)商家總損失費(fèi)用作為最終研究對(duì)象，設(shè)這一時(shí)期為整體1，則總體損失費(fèi)用為：

4.2 模型的建立

在此將m種商品在一段時(shí)間內(nèi)的總體損失費(fèi)用最小作為追求的目標(biāo)，建立模型.

目標(biāo)函數(shù)：min Z

4.3 模型求解

此模型為有等式約束的極值問題，根據(jù)優(yōu)化理論[4]，現(xiàn)采用兩種方法對(duì)模型進(jìn)行求解，以保證求解正確性.

4.3.1 拉格朗日乘數(shù)法求解

引入拉格朗日函數(shù)

對(duì)Qi,Q0i,Li(i=1,2,3…m)，λj(j=1,2)分別求導(dǎo)，并令其等于0可得方程組如下：

解以上方程組即可求得模型的最優(yōu)解.

4.3.2 懲罰函數(shù)法求解

4.3.2.1 懲罰函數(shù)的引入

引入C o u r a n t罰函數(shù)如下：

這就將原模型轉(zhuǎn)化為無約束的極值問題：min p(x)

4.3.2.2 算法步驟說明

步驟一：選定初始點(diǎn)為x0；選取初始懲罰因子δ1>0（可取δ1=1），懲罰因子的放大系數(shù)c>1（可取c=10）；置k=1.

步驟四：置xk+1=c δk;k=k+1，轉(zhuǎn)步驟二.

5 仿真計(jì)算

假設(shè)有三種商品同時(shí)訂貨，其中v1=0.05立方米，v2=0.04立方米，v3=0.10立方米，自己的倉庫用于存貯這3種商品的總體積容量Q0=6立方米，每次到貨后這3種商品的存貯量總體積補(bǔ)充到固定體積容量Q=10立方米為止，且該供應(yīng)站從接到訂貨通知到貨物送達(dá)商場(chǎng)的天數(shù)X服從在1天到3天之間的均勻分布.其余數(shù)據(jù)同問題2中相應(yīng)的商品中所列出的數(shù)據(jù).按本文給出的模型求出這3種商品的最優(yōu)訂貨點(diǎn)L*和自己的倉庫用于存貯這3種商品的各自體積容量Q0i(i=1,2,3)以及在訂貨到達(dá)時(shí)使這3種商品各自存貯量補(bǔ)充到的固定體積Qi(i=1,2,3).(注：?jiǎn)栴}2參見2005年全國部分高校研究生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽B題中的問題2)

采用懲罰函數(shù)法來求解，依據(jù)上述算法，編程計(jì)算，迭代結(jié)果收斂于下表所示的數(shù)據(jù)：

Q1 5.29506Q01 4.203582L*1 0.610622Q2 1.76502Q02 0.673542L*2 0.826727Q3 2.94170Q03 1.12257L*3 2.50691

目前，許多商家為了滿足市場(chǎng)的隨機(jī)大量需求，采用租賃別人容量有限的倉庫的方法.為降低不利損耗提高企業(yè)效益，必須采用有效的庫存管理方法.仿真數(shù)據(jù)表明：通過求解本文建立的模型，可以較好地解決多種商品在允許缺貨條件下的最佳訂貨點(diǎn)確定的問題.

〔1〕李溫紅.倉庫容量有限條件下的不允許缺貨存儲(chǔ)模型[J].系統(tǒng)工程理論方法與應(yīng)用，1997，6(3)：68-71.

〔2〕楊益民.倉庫容量有限條件下的生產(chǎn)銷售存儲(chǔ)模型[J].系統(tǒng)工程，2001，19(1)：18-23.

〔3〕錢頌迪.運(yùn)籌學(xué)[M].清華大學(xué)出版社，1990.369-385.

〔4〕袁亞湘，孫文瑜.最優(yōu)化理論與方法[M].科學(xué)出版社，1997.

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A

1673-260X（2010）03-0008-03