動力學(xué)系統(tǒng)Noether對稱性的幾何表示＊

劉 暢 趙永紅 陳向煒1)(北京理工大學(xué)應(yīng)用力學(xué)系,北京 100081)(商丘師范學(xué)院物理與信息工程系,商丘 476000)(商丘師范學(xué)院教務(wù)處,商丘 476000)

動力學(xué)系統(tǒng)Noether對稱性的幾何表示＊

劉 暢1)?趙永紅2)陳向煒3)
1)(北京理工大學(xué)應(yīng)用力學(xué)系,北京 100081)
2)(商丘師范學(xué)院物理與信息工程系,商丘 476000)
3)(商丘師范學(xué)院教務(wù)處,商丘 476000)

(2009年2月3日收到;2009年3月26日收到修改稿)

利用現(xiàn)代微分幾何方法研究了Lagrange系統(tǒng)、Hamilton系統(tǒng)和Birkhoff系統(tǒng)的Noether對稱性,并導(dǎo)出系統(tǒng)相應(yīng)的Noether守恒量,最后給出了應(yīng)用算例.

動力學(xué)系統(tǒng),幾何表示,Noether對稱性,Noether守恒量

PACC:0320

1.引言

通過討論動力學(xué)系統(tǒng)的對稱性來簡化系統(tǒng)變量的個數(shù)是研究動力學(xué)系統(tǒng)的一個重要主題[1—4].自Noether1918年發(fā)表不變變分問題[5]以來,Noether理論的研究引起了力學(xué)物理學(xué)和數(shù)學(xué)工作者的高度重視,并已經(jīng)取得了一系列重要成果[3,6—17].文獻[6]指出“Noether的結(jié)論既簡單又深刻,Noether定理之完美在于它不依賴于作用量的細(xì)節(jié),它是人類只會對自然的自信.Noether定理給數(shù)理科學(xué)帶來一片光明.”近年來,國際上十分重視利用微分幾何的方法來研究動力學(xué)系統(tǒng)的對稱性與守恒量[1,18,19].利用現(xiàn)代微分幾何理論來描述力學(xué)系統(tǒng)的對稱性與守恒量,不僅從數(shù)學(xué)觀點上提供了更為嚴(yán)格、簡潔、優(yōu)美的表達形式,而且可以直觀的從全局上把握動力學(xué)系統(tǒng)的物理本質(zhì).

本文就是利用微分幾何的方法研究了Lagrange系統(tǒng)、Hamilton系統(tǒng)和Birkhoff系統(tǒng)的Noether對稱性,并導(dǎo)出相應(yīng)的守恒量,最后給出了應(yīng)用舉例.

2.Lagrange系統(tǒng)的Noether對稱性

2.1.Lagrange方程的幾何形式

定義1 Lagrange動力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)空間為切叢流形TQ,且Lagrange函數(shù)為L:TQ|→R,在切叢流形TQ上的動力學(xué)向量場為

切叢流形TQ上的1-形式為

則Lagrange系統(tǒng)動力學(xué)方程的幾何形式為

顯然可證(1)式等價于通常形式的Euler-Lagrange方程[19].

2.2.Lagrange系統(tǒng)的Noether定理

如果Lagrange動力學(xué)系統(tǒng)在流ψε作用下滿足

因為

如果向量場X是Lagrange系統(tǒng)的Noether對稱性向量場,即

其中PX=〈ˉX;θL〉為Noether守恒量.

3.Hamilton系統(tǒng)的Noether對稱性

3.1.H amilton方程的幾何形式

定義2 Hamilton動力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)空間為余切叢流形T＊Q,且Hamilton函數(shù)H:T＊Q|→R,余切叢上的動力學(xué)向量場為

余切空間T＊Q上的1-形式為θH:=pidqi.則Hamilton系統(tǒng)的動力學(xué)方程可表示為

其中ωH=-dθH=dqi∧dpi.

3.2.H amilton系統(tǒng)的Noether定理

若向量場X是Hamilton動力學(xué)系統(tǒng)T＊Q,ω,H的對稱性向量場,則局部存在X= Xf,并且f沿Hami-ltonian流是運動不變的.反之,如果f:T＊Q|→R是運動不變的,則Xf是Hamilton系統(tǒng)的對稱性向量場,即

由(6)式知:

1)Hamilton系統(tǒng)的對稱性向量場保辛結(jié)構(gòu);

2)Hamilton系統(tǒng)的對稱性向量場保Hamilton函數(shù)不變.

4.Birkhoff系統(tǒng)的Noether對稱性

4.1.自治Birkhoff系統(tǒng)的Noether對稱性

自治Birkhoff系統(tǒng)動力學(xué)方程的幾何表示為[20,21]

自治Birkhoff系統(tǒng)的Noether定理:若向量場Y是自治Birkhoff系統(tǒng)的Noether對稱性向量場,則有

同樣由(8)式可知存在函數(shù)I滿足

所以由(9)和(10)式可得

即得自治Birkhoff系統(tǒng)的Noether守量為

4.2.非自治Birkhoff系統(tǒng)的Noether對稱性

非自治Birkhoff系統(tǒng)動力學(xué)方程的幾何表示為[20,21]

非自治Birkhoff系統(tǒng)的Noether定理:若向量場Y是非自治Birkhoff系統(tǒng)的Noether對稱性向量場,則有

因為

所以由Poincaré逆引理可知,存在規(guī)范函數(shù)GN滿足

同樣由(15)式知,一定存在函數(shù)I滿足

所以由(16)和(17)式可得

即得非自治Birkhoff系統(tǒng)的Noether守恒量

5.應(yīng)用舉例

例1 對于四階自治Birkhoff系統(tǒng)

當(dāng)系統(tǒng)的對稱性群G的無限小生成元

則此Birkhoff系統(tǒng)存在對稱性向量場

并且存在規(guī)范函數(shù)

則系統(tǒng)存在Noether守恒量

例2 對于二階非自治Birkhoff系統(tǒng)

當(dāng)系統(tǒng)的對稱性群G的無限小生成元

則此Birkhoff系統(tǒng)存在對稱性向量場

并且存在規(guī)范函數(shù)

則系統(tǒng)存在Noether守恒量

6.結(jié)論

因此利用微分幾何的方法同樣可以研究了Lagrange系統(tǒng),Hamilton系統(tǒng)和Birkhoff系統(tǒng)的Noether對稱性,并得到了相應(yīng)的守恒量,形式更為簡潔,而且物理意義更為明顯.并且還可以

1.利用動量映射的方法研究動力學(xué)系統(tǒng)的Noether定理,即只要存在動力學(xué)系統(tǒng)的對稱性群,就可以構(gòu)造出Lagrange系統(tǒng)、Hamilton系統(tǒng)和Birkhoff系統(tǒng)的動量映射,可以證明這個動量映射函數(shù)就是系統(tǒng)的守恒量;

2.構(gòu)造出動力學(xué)系統(tǒng)的動量映射以后,還可以進一步研究動力學(xué)系統(tǒng)的對稱約化問題.

[1]Marsden JE,Ratiu T S 1999Introduction to Mechanics and Symmetry(New Y ork:Springer)2nd Edition

[2]Olver P J 2000Applications of Lie Groups to Differential Equations (New Y ork:Springer)2nd Edition

[3]Li Z P 1993Classical and Quantal Dynamics of Constrained Systems and Their Symmetrical Properties)(Beijing:Beijing Polytechnic University Press)(in Chinese)[李子平1993經(jīng)典和量子約束系統(tǒng)及其對稱性質(zhì).北京:北京工業(yè)大學(xué)出版社]

[4]Mei F X 1993 Scien.Chin.A 23 709(in Chinese)[梅鳳翔1993中國科學(xué)(A輯)23 709]

[5]Noether E1918Invariance Variationsproblem.Nachr.Akad.Wiss. G?ttingen.Math.Phys.1 235

[6]Zhao Y Y,Mei F X 1999Symmetries and Invariants of Mechanical Systems(Beijing:Science Press)p128-163(in Chinese)[趙躍宇、梅鳳翔1999力學(xué)系統(tǒng)的對稱性與不變量北京:科學(xué)出版社第128—163頁]

[7]Mei F X 2004Symmetries and Conserved Quantities of Constrained Mechanical Systems(Beijing:Beijing Institute of Technology Press) (in Chinese)[梅鳳翔2004約束力學(xué)系統(tǒng)的對稱性與守恒量北京:北京理工大學(xué)出版社]

[8]Chen X W,Li YM 2003Chin.Phys.12 936

[9]Chen X W,Wang X M,Wang M Q 2004Chin.Phys.13 2003

[10]Chen X W,Li YM 2005Chin.Phys.14 663

[11]Mei F X,Wu H B,Zhang Y F 2006Chin.Phys.15 1932

[12]Zhang Y2006Chin.Phys.15 1935

[13]Shang M,Chen X W 2006Chin.Phys.15 2788

[14]Liu R W,Zhang H B,Chen L Q 2006Chin.Phys.15 249

[15]Xu XJ,Mei F X,Zhang Y F 2006Chin.Phys.15 19

[16]Shang M,Guo Y X,Mei F X 2007Chin.Phys.16 292

[17]Liu HJ,Fu J L,Tang Y F 2007Chin.Phys.16 599

[18]Arnold V I 1989Mathematical Methods of Classical Mechanics(New Y ork:Springer)2nd Edition

[19]JoséJ,Saletan E 1998Classical Dynamics:AContemporary Approach(Cambridge University Press)

[20]Santilli R M 1983Foundations of Theoretical MechanicsVol.Ⅱ

(Springer2Verlag,New Y ork)267

[21]Chen X W 2002Global Analysis of Birkhoffian System(Henan: Henan University Press)(in Chinese)[陳向煒2002 Birkhoff系統(tǒng)的全局分析(河南大學(xué)出版社)]

PACC:0320

Geometric representation of Noether symmetry for dynamical systems＊

Liu Chang1)?Zhao Y ong-Hong2)Chen Xiang-Wei3)

1)(Department of Applied Mechanics,Beijing Institute of Technology,Beijing 100081,China)
2)(Department of Physics and Information Engineering,Shangqiu Normal College,Shangqiu 476000,China)
3)(Academic Affairs Office,Shangqiu Normal College,Shangqiu 476000,China)

3 February 2009;revised manuscript

26 March 2009)

In this article Noether symmetry of Lagrange systems,Hamilton systems and Birkhoff systems are discussed by geometric methods.And the corresponding Noether conserved quantities are deduced.

dynamical systems,geometric representation,Noether symmetry,Noether conserved quantity

＊國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:10972127,10872084)和河南省自然科學(xué)基金(0311010900)資助的課題.

?通訊聯(lián)系人.E-mail:liuchang101618@126.com

＊Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.10972127,10872084),and the Natural Science Foundation of Henan Provience(Grant No.0311010900).

?Corresponding author.E-mail:liuchang101618@126.com