算法初步與框圖的題型及高考走勢

●王紅權(quán) 沈 浩 (杭州市第十四中學(xué) 浙江杭州 310006)

1 考查要求

算法思想是現(xiàn)代人應(yīng)該具備的一種數(shù)學(xué)素養(yǎng).學(xué)習(xí)算法的關(guān)鍵是了解算法的含義、算法的思想及其構(gòu)建過程，理解程序框圖的3種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu).從考題設(shè)計方式上看：一種是給出缺損循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，要求學(xué)生補充完整;另一種是讓學(xué)生讀框圖寫結(jié)果.一般都以選擇題、填空題等形式出現(xiàn).

2 考點回顧

翻閱近3年新課改省份的文、理科試卷發(fā)現(xiàn)，考題題型基本相同，筆者對這3年的試卷進(jìn)行了分析，如表1.

表1 近3年算法考題統(tǒng)計

循環(huán)是計算機工作最主要的方式，其結(jié)構(gòu)與傳統(tǒng)高中數(shù)學(xué)的其他教學(xué)內(nèi)容有很大的區(qū)別，是算法所特有的內(nèi)容，因此也可以作為判斷學(xué)生對算法掌握程度的試金石.但這并不意味著另外2種結(jié)構(gòu)就不重要，3者常常同時出現(xiàn)，相輔相成，這也許就是今后命題的一個方向.

3 命題走勢

比較2009年與前2年的試題可以發(fā)現(xiàn)：程序框圖已從單一結(jié)構(gòu)向結(jié)構(gòu)嵌套發(fā)展;題型也從單一的選擇題向選擇題與填空題這2種題型并存發(fā)展;考查的內(nèi)容從單一的算法向通過算法考查其他知識發(fā)展，即簡單綜合化.

4 典例剖析

筆者通過研究近3年算法在以上10個省、市的命題來看，主要有2種考查形式：一種讀框圖理解算法含義寫出運算結(jié)果;另一種是讀框圖補全殘缺算法，考查的都是對框圖的理解.

算法復(fù)習(xí)的主線是算法的邏輯結(jié)構(gòu)，復(fù)習(xí)的重點是框圖.特別是要注意新出現(xiàn)的綜合現(xiàn)象.下面用具體的例子說明這2種命題形式的思路和解題策略.

4.1 讀單一條件結(jié)構(gòu)框圖，寫出輸出結(jié)果

單一的考查條件結(jié)構(gòu)只有在2008年海南、寧夏數(shù)學(xué)高考試題和2009年上海市數(shù)學(xué)高考試題中出現(xiàn)過，條件結(jié)構(gòu)的框圖常常和分段函數(shù)結(jié)合來考查.

例1 某算法的程序框如圖1所示，則輸出量y與輸入量x 滿足的關(guān)系式是_______.

(2009年上海市數(shù)學(xué)高考試題)

點評框圖中的賦值符號“=”也可以寫成“←”或“：=”.

4.2 讀單一循環(huán)結(jié)構(gòu)框圖，寫出輸出結(jié)果

循環(huán)結(jié)構(gòu)是2009年數(shù)學(xué)高考考查的重點，仍將會是2010年各省、市數(shù)學(xué)高考中程序和框圖考查的重點.

圖1

例2 執(zhí)行程序框圖(如圖2)，輸出的T= _______.(2009年山東省數(shù)學(xué)高考試題)

解很明顯，本題考查的是循環(huán)結(jié)構(gòu).當(dāng)T≤S時，進(jìn)行循環(huán);當(dāng)T＞S時，結(jié)束循環(huán).

程序框圖依次執(zhí)行：

第1 步：S=5，n=2，T=2;

第2 步：S=10，n=4，T=2+4=6;

第3 步：S=15，n=6，T=6+6=12;

第4 步：S=20，n=8，T=12+8=20;

第5 步：S=25，n=10，T=20+10=30 ＞S，輸出 T=30.

點評解決循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖問題一般都可以進(jìn)行反復(fù)的運算直到滿足條件后結(jié)束.本題涉及到3個變量，注意寫出每個變量在每一步運行后的結(jié)果.

4.3 讀循環(huán)結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)嵌套框圖，寫出輸出結(jié)果

從2009年的全國各地數(shù)學(xué)高考試題看，循環(huán)結(jié)構(gòu)與條件結(jié)構(gòu)的嵌套已漸漸成為一種趨勢.這類題目給出的程序框圖比較復(fù)雜，往往內(nèi)層為判斷語句，外層為循環(huán)語句，判斷條件比較多，在解題時需要把每一步所得到的參數(shù)值按循環(huán)次序?qū)懗?，這樣就不容易出錯.

圖2

例3 如果執(zhí)行圖3中的程序框圖，輸入x=-2，h=0.5，那么輸出的各個數(shù)的和等于 ( )

A.3 B.3.5 C.4 D.4.5

(2009年海南、寧夏數(shù)學(xué)高考試題)

解第 1 步：y=0，x=-1.5;

第2 步：y=0，x=-1;

第3 步：y=0，x=-0.5;

第4 步：y=0，x=0;

第5 步：y=0，x=0.5;

第6 步：y=0.5，x=1;

第7 步：y=1，x=1.5;

第8 步：y=1，x=2;

圖3

第9步：y=1，退出循環(huán).

可得輸出各數(shù)和為：0.5+1+1+1=3.5.故選 B.

點評這類考題中的循環(huán)次數(shù)不會很多，寫出每一步得到的相應(yīng)參數(shù)的值是解題的關(guān)鍵.另外，本題要求的是“輸出的各個數(shù)的和”，而不是最終的輸出結(jié)果，千萬不要忽視這一點.

4.4 根據(jù)題目條件，補充完整程序框圖

在2008年和2009年的數(shù)學(xué)高考試題中出現(xiàn)了部分補全程序框圖的試題，這類試題在用算法與程序框圖表明推理過程中隱去了框圖邏輯結(jié)構(gòu)中的某一部分(往往是判斷條件).

例4 某店一個月的收入和支出總共記錄了n個數(shù)據(jù)a1，a2，…，an，其中收入記為正數(shù)，支出記為負(fù)數(shù).如果該店用下邊的程序框圖計算月總收入S和月凈盈利V，那么在圖4中空白的判斷框和處理框中，應(yīng)分別填入下列4個選項中的 ( )

(2009年遼寧省數(shù)學(xué)高考試題)

圖4

解本題考查的是條件結(jié)構(gòu)，第1個判斷框判斷的是收入還是支出，第2個判斷框判斷的是這n個數(shù)據(jù)是否輸入完畢，最后輸出總收入S和月凈盈利V.ak表示收入或支出數(shù)據(jù).若ak＞0，則這些正數(shù)據(jù)的和為月總收入S，故在圖中空白的判斷框填A(yù)＞0，否則為月總支T，故月凈盈利V=S+T，處理框中填V=S+T.故選C.

點評本題的綜合性比較強，涉及的數(shù)據(jù)比較多，在歷年高考此類試題中是屬于比較難的，但只要弄清各個字母所代表的意義，以及他們的正負(fù)，再結(jié)合4個選項便可輕松解題.

例5 如圖所示的流程圖5和流程圖6都具有計算“1+2+3+… +k”的功能，則流程圖 5中的(a)處應(yīng)填寫_______;流程圖6中的(b)處應(yīng)填寫_______.

(2008年浙江省杭州市統(tǒng)測試題)

解循環(huán)結(jié)構(gòu)中有“先判斷條件后執(zhí)行”與“先執(zhí)行后判斷條件”兩種，要注意兩者的區(qū)別.框圖5先判斷條件再執(zhí)行累加，故應(yīng)填入：i＜=k(或i＜k+1);框圖6是先執(zhí)行累加后再判斷條件是否成立，故應(yīng)填入：i＞k(或i＞=k+1).

4.5 程序框圖與其他知識的整合

其他知識與程序框圖結(jié)合，就是將其他數(shù)學(xué)知識算法化，這可能是計算機時代的一個思維特征.

圖5

圖6

例6 隨機抽取某產(chǎn)品n件，測得其長度分別為a1，a2，…，an，則如圖7所示的程序框圖輸出的S= ________，S 表示的樣本的數(shù)字特征是_______.

(2009年廣東省數(shù)學(xué)高考試題)

解根據(jù)題意寫出前若干次循環(huán)的S值：

圖7

點評程序框圖作為實施新課標(biāo)后高考的一種必考題目類型，在今后高考試題中將會更多地結(jié)合數(shù)列、不等式、函數(shù)等知識，命題空間會富有更多的想象.

精題集粹

1.某程序框圖如圖8所示，該程序運行后輸出的k的值是 ( )

A.4 B.5 C.6 D.7

(2009年浙江省第1次調(diào)研試題)

2.如圖9給出了一個算法流程圖，該算法流程圖的功能是 ( )

A.求3個數(shù)中最大的數(shù) B.求3個數(shù)中最小的數(shù) C.按從小到大排列 D.按從大到小排列

圖8

圖9

圖10

圖11

4.圖11是某算法的程序框圖，該算法可表示分段函數(shù)，則其輸出的結(jié)果所表示的分段函數(shù)為f(x)=_______.

5.在如圖12所示的程序框圖中，輸入f0(x)=cosx，則輸出的是 .

圖12

6.按圖13所示的程序框圖運算，若輸入x=8，則輸出k = _______.

圖13

參考答案

1.D 2.B