存在偽碼多普勒條件下的XFAST性能分析

唐小妹，雍少為，王飛雪

（國防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院 衛(wèi)星導(dǎo)航研發(fā)中心，湖南 長沙 410073）

1 引言

GPS信號采用C碼和P碼2種不同的偽隨機碼，其中，C碼是一種低碼率、周期重復(fù)的短碼，主要用于民用系統(tǒng)；P碼也稱為軍碼，是一種高碼率、長周期、加密偽隨機碼。正常情況下，可以通過對C碼信號的捕獲跟蹤，實現(xiàn)對P碼信號的引導(dǎo)；在戰(zhàn)爭或者某種突發(fā)事件的情況下，C碼信號可能會被干擾或者關(guān)閉，這就要求接收機具有長碼直接捕獲的功能。

由 Dr. Yang C于 2002年提出的 XFAST（extended replica folding acquisition search technique）是一種改進的頻域捕獲算法[1,2]，其基本思想就是，將一個很長的偽碼分成M個子段，每段長L點，并將各子段的對應(yīng)位置進行算術(shù)相加，組成一個新的長為L點的重疊碼。利用重疊碼與接收信號進行相關(guān)運算，從而提高處理的并行性。

XFAST算法提出后引發(fā)了大量的研究，文獻[3,4]仿真驗證了 XFAST算法，沒有給出具體的仿真輸入條件，文獻[5～8]用高載噪比條件下的個例仿真來說明XFAST的性能，由以上的分析可知，現(xiàn)有的性能分析文獻存在缺乏精確的理論分析、信號電平的設(shè)置高于導(dǎo)航信號的實際使用情況、仿真條件過于理想[9]，用個例仿真結(jié)果代替統(tǒng)計結(jié)果等問題。

XFAST能夠提高捕獲搜索速度，然而多段PN碼疊加后相關(guān)計算導(dǎo)致噪聲信號能量與重疊段數(shù)成正比，導(dǎo)致等效輸入載噪比的下降，為達到相同的捕獲概率和虛警概率的要求，需要增加捕獲的總積累時間。由于偽碼存在多普勒頻偏，致使相關(guān)函數(shù)產(chǎn)生主瓣展寬、峰值移位和降低等現(xiàn)象[10]，也會在捕獲過程中引入損耗，導(dǎo)致增加積累時間并不能獲得對應(yīng)的增益。以上2點的矛盾導(dǎo)致XFAST的應(yīng)用受限。目前已知的關(guān)于 XFAST的研究論文均忽略接收信號的偽碼多普勒，在多普勒較大時會導(dǎo)致嚴重的模型誤差。

本文在簡要介紹XFAST的工作原理的基礎(chǔ)上，建立XFAST的理論分析模型，并基于該理論模型，考慮存在碼間互相關(guān)干擾及偽碼多普勒的捕獲和虛警概率的表達式，由于模型中有一些近似處理，為驗證模型的準確性，對模型進行了仿真驗證。

2 基于XFAST的長碼直捕原理

中頻AD采樣后的數(shù)字信號，經(jīng)過中頻解調(diào)后，得到I、Q通道數(shù)據(jù)構(gòu)成復(fù)信號進行FFT變換，同時本地偽碼經(jīng)過重疊后，進行FFT變換，結(jié)果取共軛后與接收信號FFT變換的結(jié)果相乘，然后進行反FFT變換，由頻域相乘等于時域相關(guān)的原理，等效完成了時域接收信號和本地偽碼的信號相關(guān)過程，經(jīng)過平方律檢波、非相干積累后進行捕獲判決，若過門限則認為是成功捕獲信號。

根據(jù)時域復(fù)指數(shù)相乘等效于頻域偏移的原理，通過對接收信號 FFT變換后的結(jié)果進行循環(huán)移位實現(xiàn)對不同頻率偏移下的偽碼相關(guān)值的搜索，具體如圖1所示[1,2]。

3 XFAST長碼直捕性能分析

本節(jié)將首先介紹 XFAST的信號模型，對相干累加值的信噪比進行分析，并由此推導(dǎo)出捕獲概率和虛警概率的表達式。

3.1 理論模型

假設(shè)輸入的中頻解調(diào)后的復(fù)信號[11]為

本地以采樣間隔T、標稱偽碼頻率 fc生成本地的偽隨機碼 P ( kT-τ1)，擴展復(fù)制重疊的段數(shù)為M，每段中的數(shù)據(jù)采樣點數(shù)為L，則重疊后的偽碼相位為

各分段對應(yīng)的偽碼相位間隔為LT。

接收信號轉(zhuǎn)換到頻域后，通過對頻域數(shù)據(jù)的移位實現(xiàn)對接收信號的多普勒去除。FFT計算的點數(shù)為 PFFT，對應(yīng)的頻率分辨率為 fsPFFT，頻域數(shù)據(jù)移位i位，等效于去除的多普勒頻率 i fsPFFT。

時域的相關(guān)計算值為

其中，τ0-τ1為本地偽碼和接收偽碼起始相位誤差；i為 FFT的第i譜線；L為相干累加長度；M為擴展復(fù)制重疊段數(shù)；k1表示利用接收數(shù)據(jù)為[k1,k1+L]段的數(shù)據(jù)計算。

圖1 XFAST實現(xiàn)結(jié)構(gòu)圖

在一次相關(guān)計算中，由于偽碼瞬時相位差受偽碼多普勒影響隨時間變化，在多普勒固定情況下，偽碼平均相位差等于相關(guān)時間段中點的偽碼相位差（圖2中的“+”號所對應(yīng)的偽碼相位）。

圖2 存在偽碼多普勒時捕獲過程中本地信號與接收信號間的相位差變化

由式（3）可知，相關(guān)計算并行搜索的平均相位差為

假設(shè)后積累的次數(shù)為q，則判決量可以寫為

由式（4）、式（5）及圖 2可知，對于一個固定的 m和 k0，由于偽碼多普勒的存在，導(dǎo)致在0～(q - 1 )次相干積累過程中，本地偽碼與接收到的偽碼平均相位差會隨偽碼多普勒而變化：

當信號存在時，相關(guān)峰最大值出現(xiàn)在載波頻率和偽碼相位分別為與真實值最接近的搜索單元，下面將分別對最大相關(guān)值處的偽碼相位和載波頻率分別進行分析。

由文獻[10]的一階動態(tài)相關(guān)峰的對稱性可以推導(dǎo)出：最大相關(guān)峰出現(xiàn)的位置為整個搜索過程中各子段的平均相位誤差絕對值之和最小的偽碼相位，即滿足如下的表達式：

考慮參數(shù)的離散性，則相關(guān)峰最大值處，對應(yīng)的m、L、k0的取值滿足如下的等式：

其中，[]為四舍五入取整操作。

FFT的頻率分辨率為 fsPFFT，則相關(guān)峰最大值對應(yīng)的頻率譜線為最接近真實頻率 fd的譜線位置：

3.2 相干累加值的信噪比

由上節(jié)可知，存在多普勒情況下，各次相干積累對應(yīng)的偽碼相位不同，本節(jié)主要分析當信號存在時，捕獲搜索過程中相關(guān)值最大處對應(yīng)的相干累加信號的信噪比，為簡化問題分析，假設(shè)相干累加是在同一個符號位內(nèi)完成的。將式（3）中的R0(·)按照信號和噪聲項展開，有

其中，

假設(shè)滿足式(8)和式(9)的相關(guān)峰出現(xiàn)在相位為m = m′，k0= k0′，載波頻率為i′處。

則式(10)可以寫成如下的形式：其中，由P碼良好的隨機性可知，偽碼的0/1概率分布與載波相位的變化是獨立的，根據(jù)獨立分布變量的互協(xié)方差為零，則相關(guān)累加后的信號部分可以寫成如下的表達式：

噪聲 n( k T)為獨立分布的高斯白噪聲序列，相關(guān)累加后的相關(guān)值 N1(·)的I支路和Q支路的分布為的正態(tài)分布，式中的，則服從均值為0、方差為 N0MLT的正態(tài)分布。

由以上分析可知，經(jīng)過 XFAST相關(guān)后的信號信噪比可以寫成如下表達式：

3.3 捕獲概率和虛警概率

則對應(yīng)的捕獲概率和虛警率可以分別寫為

對于虛警率給定的情況下，捕獲概率可以寫為

4 分析與仿真驗證

由于捕獲概率和虛警概率的解析表達式中采用了一些近似，為驗證表達式的正確性，選取幾組不同的參數(shù)進行驗證。根據(jù)式（16）計算不同參數(shù)條件下的捕獲概率和虛警概率，得到理論數(shù)值如表1所示。

表1 多普勒不確定度-6～+6k，采樣率取為20.47MHz下的仿真參數(shù)設(shè)置

本文的統(tǒng)計驗證采用MATLAB進行模擬仿真，偽碼采用GPS的P碼，信號模型如式(1)所示，一次捕獲對應(yīng)的不同參數(shù)的時頻二維搜索仿真相關(guān)值分別如圖3所示。

仿真1×107次，統(tǒng)計對應(yīng)的捕獲概率和虛警概率，對給定的捕獲概率和虛警概率，仿真與理論的差異可以采用文獻[13]中定義的等效信噪比進行評估，即比較與其檢測性能相同的相干檢測器在輸入端的信噪比（D0）。

其中Q函數(shù)和誤差函數(shù)的定義如下：

得到對應(yīng)的性能參數(shù)如表2所示。

由性能分析可以得到如下4點結(jié)論。

1) 不考慮偽碼多普勒的分析在不同的參數(shù)下引入的誤差不同，總積分時間越長，偽碼多普勒的影響越大，引入的誤差越大，如參數(shù)4引入的誤差為8.1dB。

圖3 表1中的4組參數(shù)分別對應(yīng)的二維搜索仿真圖（最高處為相關(guān)峰位置）

表2 不同參數(shù)的捕獲性能分析表

2) 本文的性能分析方法與仿真結(jié)果差異較小，最大等效信噪比差異小于 0.5dB，證明本文的性能分析方法是正確的，而不考慮偽碼多普勒損耗。

3) 在偽碼多普勒引入的碼片誤差在一定范圍時，總積分時間的增大，會使捕獲性能提升（如參數(shù)2和參數(shù)3）；若繼續(xù)增大積分時間，導(dǎo)致碼片誤差損耗加大，反使捕獲性能下降（參數(shù)3和參數(shù)4），說明偽碼多普勒是性能分析中不得不考慮的因素。

4) 相同的總積分時間（參數(shù)1和參數(shù)2），參數(shù)分配的差異會導(dǎo)致性能的差異，即根據(jù)本文的性能分析結(jié)果，設(shè)置合理的優(yōu)化目標，可以對捕獲參數(shù)進行優(yōu)化，本文由于篇幅的限制，不進行描述。

5 結(jié)束語

本文主要分析了偽碼的互相關(guān)以及偽碼多普勒影響下的 XFAST的捕獲概率和虛警概率模型，對理論計算得到的概率公式通過實際仿真進行驗證，驗證結(jié)果表明，本文的捕獲概率和虛警概率模型是正確的。當擴展復(fù)制重疊段數(shù)為1時，本文的模型可退化為常規(guī)的長碼直捕算法的性能分析，指導(dǎo)接收機的設(shè)計。

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