中繼輔助MIMO 系統(tǒng)中基于有限反饋的分布式波束成形

李春國(guó)，仲崇顯，楊綠溪

（1.東南大學(xué) 水聲信號(hào)處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210096；2.東南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京210096)

1 引言

中繼輔助的蜂窩無(wú)線通信系統(tǒng)具有擴(kuò)展小區(qū)覆蓋范圍、改善小區(qū)邊緣用戶的頻譜效率、克服陰影衰落等優(yōu)點(diǎn)。中繼通信的思想早在 30多年前就有人提出[1]，其模型是最簡(jiǎn)單的3節(jié)點(diǎn)模型，其中包括1個(gè)信源、1個(gè)中繼和1個(gè)信宿，且這3個(gè)節(jié)點(diǎn)都只有1根天線。近年來(lái)，研究人員分別從中繼協(xié)議、信息論和處理算法的角度研究了中繼通信，例如：針對(duì)單輸入單輸出(SISO,single-input sin-gle-output)的無(wú)線中繼通信系統(tǒng)，有 3種典型的中繼協(xié)議，即放大轉(zhuǎn)發(fā)[2](AF,amplify-and-forward)、解碼轉(zhuǎn)發(fā)[3](DF,decode-and-forward)和壓縮轉(zhuǎn)發(fā)[4](CF,compress-and-forward)，其中AF中繼協(xié)議由于不需要解碼直接轉(zhuǎn)發(fā)信號(hào)，處理復(fù)雜度和功率消耗都很低，所以應(yīng)用更為廣泛。同時(shí)，多輸入多輸出(MIMO)通信系統(tǒng)能夠通過(guò)利用空間復(fù)用增益、空間分集增益和陣列增益提高通信的有效性和可靠性[5]。將MIMO技術(shù)和中繼技術(shù)相結(jié)合能夠利用二者的優(yōu)點(diǎn)進(jìn)一步地提高通信性能[6,7]。文獻(xiàn)[6]研究了中繼輔助MIMO通信的信道容量，并且推導(dǎo)出信道容量的上界函數(shù)和下界函數(shù)；文獻(xiàn)[7]證明了中繼轉(zhuǎn)發(fā)矩陣的最優(yōu)結(jié)構(gòu)，并得到了中繼的最優(yōu)功率分配方案。然而上面的研究成果都是針對(duì)單個(gè)多天線中繼的通信系統(tǒng)而沒(méi)有考慮多個(gè)中繼的情況，多中繼協(xié)作通信涉及到分布式中繼的協(xié)作或協(xié)同。多中繼協(xié)作通信系統(tǒng)中，當(dāng)所有節(jié)點(diǎn)都配備單根天線時(shí)，聯(lián)合功率分配或分布式波束成形能夠有效提高通信性能[8,9]。文獻(xiàn)[8]為獲得協(xié)作分集度，提出了基于中斷概率最小化準(zhǔn)則的功率分配方案。然而，這些研究都是針對(duì)多個(gè)中繼進(jìn)行功率分配而沒(méi)有考慮多中繼的相位旋轉(zhuǎn)（即波束成形）問(wèn)題。實(shí)際通信系統(tǒng)中，發(fā)送信號(hào)和信道都是復(fù)數(shù)，這使得多中繼的聯(lián)合優(yōu)化不但包括聯(lián)合的功率分配而且包括聯(lián)合的相位旋轉(zhuǎn)，即波束成形。

波束成形技術(shù)是 MIMO系統(tǒng)中最引人注目的技術(shù)之一[10]，該技術(shù)是發(fā)射機(jī)通過(guò)利用信道狀態(tài)信息對(duì)發(fā)射信號(hào)進(jìn)行發(fā)送預(yù)相干疊加，從而實(shí)現(xiàn)發(fā)射天線分集的目的。在多中繼輔助的通信系統(tǒng)中，針對(duì)所有節(jié)點(diǎn)都是單天線的情況，出現(xiàn)了多中繼轉(zhuǎn)發(fā)的聯(lián)合優(yōu)化[11]或網(wǎng)絡(luò)波束成形[12,13]的研究，這些文獻(xiàn)都把所有的中繼視為一個(gè)整體而將接收信號(hào)協(xié)作地放大，并進(jìn)行相位旋轉(zhuǎn)，然后再轉(zhuǎn)發(fā)給信宿。文獻(xiàn)[11]不同于文獻(xiàn)[12,13]的地方是前者利用矩陣分析的方法，而后者利用幾何空間分析的方法。然而，這些文獻(xiàn)都是針對(duì)所有節(jié)點(diǎn)配備單根天線的情形而沒(méi)有考慮多天線的情況。當(dāng)系統(tǒng)的信源和信宿都配備多根天線，且使用多個(gè)分布式中繼進(jìn)行協(xié)作通信時(shí)，該系統(tǒng)的協(xié)作不能只局限在中繼的層次上，而應(yīng)該在包括多天線的信源、多個(gè)分布式的中繼和多天線的信宿的系統(tǒng)級(jí)上進(jìn)行協(xié)作。針對(duì)該系統(tǒng)，本文研究了發(fā)射天線、分布式中繼和接收天線組成的聯(lián)合波束成形。特別地，上面文獻(xiàn)都是假設(shè)每個(gè)中繼都必須獲取理想的信道狀態(tài)信息(CSI,channel state information)，然后由于接收機(jī)的信道估計(jì)不準(zhǔn)確、信道信息的反饋有時(shí)延、噪聲污染，使得該假設(shè)是不現(xiàn)實(shí)的，更為實(shí)用的情況是中繼只知道部分CSI，所以本文考慮基于有限反饋的聯(lián)合波束成形問(wèn)題。在沒(méi)有中繼的MIMO系統(tǒng)中，基于有限反饋的波束成形問(wèn)題已趨成熟[15,16]，但是本文要研究的多中繼輔助分布式MIMO系統(tǒng)中基于有限反饋的聯(lián)合波束成形問(wèn)題，它涉及到多個(gè)中繼的放大轉(zhuǎn)發(fā)，在設(shè)計(jì)分布式波束成形的碼本時(shí)更為復(fù)雜。

本文內(nèi)容如下：第2節(jié)給出聯(lián)合波束成形的系統(tǒng)模型，并得到接收端的信噪比；第3節(jié)首先推導(dǎo)出接收端 SNR的下界，其次基于該下界得到一個(gè)代價(jià)函數(shù)，并利用該代價(jià)函數(shù)構(gòu)建聯(lián)合優(yōu)化整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的波束成形的數(shù)學(xué)模型；然后，針對(duì)該數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出分布式波束成形的最優(yōu)解；最后利用廣義Lloyd算法設(shè)計(jì)該最優(yōu)解的碼本，其中更新碼本時(shí)本文設(shè)計(jì)一個(gè)專用的迭代算法；第4節(jié)給出計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)仿真；第5節(jié)是本文的結(jié)束語(yǔ)。

2 系統(tǒng)模型

如圖1所示，本文考慮一個(gè)分布式中繼輔助的MIMO通信系統(tǒng)，它包括一個(gè)配備M根天線的信源（例如基站端）、K個(gè)單天線的分布式中繼站和一個(gè)配備N根天線的信宿(例如用戶端)，多個(gè)協(xié)作式的中繼采用放大轉(zhuǎn)發(fā)協(xié)議。在第一個(gè)時(shí)隙內(nèi)，信源把數(shù)據(jù)流進(jìn)行發(fā)射波束成形后廣播給所有的中繼；在第二個(gè)時(shí)隙內(nèi)，多個(gè)中繼分布式地協(xié)作處理各自的接收信號(hào)，并轉(zhuǎn)發(fā)給信宿，其中任何中繼間都不能交換各自的接收信號(hào)，也不能交換各自的 CSI。由于路徑損耗及嚴(yán)重的陰影衰落等影響，信源和信宿間的通信已確定為中繼轉(zhuǎn)發(fā)的兩跳通信。

第一個(gè)時(shí)隙內(nèi)，所有中繼各自的接收信號(hào)組成的列向量是

其中，x∈C1×1表示信源的發(fā)送信號(hào)，列向量 d1∈CM×1表示信源的發(fā)射天線波束成形，H∈CK×M是第一1跳的信道響應(yīng)（信源到所有中繼）， n∈CK×1是第1一跳信道的噪聲服從分布每個(gè)中繼要重新轉(zhuǎn)發(fā)的信號(hào)組成的列向量是

其中，Dr=diag(dr)表示對(duì)角陣Dr的對(duì)角元是dr的元素，列向量表示多中繼的分布式發(fā)射波束成形矢量，由于中繼間不能交換各自的接收信號(hào)且每個(gè)中繼都配備單天線，所以轉(zhuǎn)發(fā)矩陣Dr必須是對(duì)角陣?？紤]到第二跳的信道噪聲和信宿的接收合并，信宿的輸出信號(hào)為

其中，列向量 z∈CN×1表示信宿的接收機(jī)，(·)H表示取共軛轉(zhuǎn)置， H ∈CN×K是第二跳的信道響應(yīng)（所2有中繼到信宿），n∈CN×1是第二跳信道的噪聲2式(1)右側(cè)的第一項(xiàng)是輸出的有用信號(hào)，He是兩跳級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的等效信道，式(1)右側(cè)的第二項(xiàng)是兩跳信道的所有噪聲。針對(duì)式(1)，信宿的接收信噪比為

利用式(2)～式(4)，信宿接收的瞬時(shí)信噪比可表示為

式(5)能夠表征系統(tǒng)的信道容量或錯(cuò)誤概率的性能，所以本文的任務(wù)是通過(guò)優(yōu)化信源的發(fā)射波束成形d1和分布式中繼的協(xié)作式波束成形Dr最大化式(5)。基于式(5)，整個(gè)系統(tǒng)的吞吐量可表示為，由于lb(·)前面的系數(shù)不影響后面的優(yōu)化設(shè)計(jì)，所以該系數(shù)可忽略[7]。然而使用SNR的準(zhǔn)確表達(dá)式作為優(yōu)化的代價(jià)函數(shù)使得優(yōu)化問(wèn)題十分復(fù)雜，下節(jié)要具體解決該問(wèn)題。

3 多天線波束成形和分布式波束成形

本節(jié)研究多天線的信源和分布式中繼的聯(lián)合波束成形。首先推導(dǎo)了信宿接收信噪比的下界；然后基于該下界得出波束形成的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并推導(dǎo)了多中繼輔助的分布式波束形成的最優(yōu)表達(dá)式；最后設(shè)計(jì)一個(gè)算法得到分布式波束成形的碼本。

3.1 信宿接收信噪比的下界及聯(lián)合波束成形問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

利用式(5)中的分母和Cauchy-Schwarz不等式，所有噪聲功率可表示為

利用式(6)，可得式(5)中SNR的下界

本文使用式(7)中的 SNRlb作為要優(yōu)化的代價(jià)函數(shù)，同時(shí)滿足如下2個(gè)約束條件

其中，1P、2P分別表示信源和所有中繼的功率約束，很多文獻(xiàn)(例如文獻(xiàn)[11])都采用“對(duì)所有中繼進(jìn)行總的功率約束”的研究情形，tr(·)表示矩陣的跡，IK表示K×K的單位陣。利用式(7)～式(9)，得到接收信噪比最大化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型：

式(10)是帶有2個(gè)不等式約束的最大化問(wèn)題，要解決該問(wèn)題仍然很困難，下面將給出具體解決方案。

3.2 協(xié)作式中繼的分布式波束成形

由于信源很難獲得第二跳的信道狀態(tài)信息，同時(shí)所有的中繼都是固定的，本文假設(shè)信源無(wú)法獲得第二跳的信道信息而能夠獲得第一跳信道的全部信息，所以式(10)中的d1基于H1的最優(yōu)形式為

其中，V1來(lái)自于對(duì)H1進(jìn)行奇異值分解(SVD,singular value decomposition)，V1(:,1)表示取酉陣的第一列。針對(duì)給定的d1，式(10)變成

由式(11)可見(jiàn)，分母中的第一項(xiàng)和分子都含有Dr而分母中的第二項(xiàng)是常數(shù)。為了使得分母中每一項(xiàng)都含有Dr，要使用Dr表示常數(shù)。

由于式(11)中的代價(jià)函數(shù)關(guān)于Dr的二階導(dǎo)數(shù)是半正定的，即該代價(jià)函數(shù)關(guān)于Dr是凸函數(shù)，所以凸的代價(jià)函數(shù)的最大值一定位于其約束的邊界上[13]。為修正式(11)中的代價(jià)函數(shù)，首先給出如下定理。

定理1 不等式約束的凸的最大化問(wèn)題等價(jià)于相應(yīng)等式約束的凸的最大化問(wèn)題，即：式(11)的函數(shù)最大值一定位于其約束條件的邊界處[13]。

根據(jù)定理1，式(11)中的問(wèn)題等價(jià)為

利用定理1和式(12)，問(wèn)題(11)可重新表述為

針對(duì)問(wèn)題式(13)，下面的定理2將給出Dr的最優(yōu)解。

定理2 多中繼最優(yōu)的協(xié)作式轉(zhuǎn)發(fā)處理Dr=diag(dr)是

其中，

式(17)是Choleskey分解，vmax{·}表示最大特征值對(duì)應(yīng)的歸一化特征向量， L-1表示取逆，diag表示取對(duì)角元構(gòu)成一對(duì)角陣。

證明 為簡(jiǎn)化表述，定義如下參量：

首先式(13)的分子是信號(hào)功率，其表達(dá)式

其次，式(13)中的分母表達(dá)式

由于n1中每個(gè)分量之間都是獨(dú)立的，式(19)可進(jìn)一步寫(xiě)成

同時(shí)，式(13)中的約束條件可寫(xiě)成

利用式(20)和式(21)，式(13)中代價(jià)函數(shù)的分母可表示為

利用式(19)和(22)，得到式(13)的另一個(gè)等效的表達(dá)式

針對(duì)式(23)可發(fā)現(xiàn)，其中的代價(jià)函數(shù)是廣義特征值的問(wèn)題，其解是廣義特征向量的形式。 證畢。

3.3 分布式波束成形的碼本設(shè)計(jì)

式(14)～式(17)給出了協(xié)作式中繼的最優(yōu)分布式波束成形，但是該最優(yōu)解必須獲知全部的CSI，為了降低反饋開(kāi)銷，可采用碼本的方式對(duì)最優(yōu)的分布式波束成形進(jìn)行量化。設(shè)計(jì)完成后的碼本分別存儲(chǔ)在每個(gè)中繼和信宿端，信宿根據(jù)信道估計(jì)得到系統(tǒng)的全部CSI，然后根據(jù)碼本選擇準(zhǔn)則選擇其中最好的一個(gè)分布式波束成形的碼字，并把該碼字對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)廣播給所有中繼；中繼根據(jù)該標(biāo)號(hào)從碼本中找到相應(yīng)碼字，并找到其中對(duì)應(yīng)的碼字分量；結(jié)合接收到的功率放大因子確定轉(zhuǎn)發(fā)系數(shù)，在下一個(gè)時(shí)隙轉(zhuǎn)發(fā)給信宿。所以，如何設(shè)計(jì)分布式波束成形的碼本成為很重要的問(wèn)題。

首先采用廣義Lloyd算法分2步迭代設(shè)計(jì)碼本，具體的實(shí)現(xiàn)算法如下。

算法1 碼本設(shè)計(jì)算法

步驟1 初始化一組聯(lián)合波束成形的碼本{wj,j=1,…,2B}，并隨機(jī)產(chǎn)生L次信道實(shí)現(xiàn)其中，B是反饋比特?cái)?shù)，Hi,1和Hi,2Hi,1表示第i次兩跳的信道實(shí)現(xiàn)，Lh是信道實(shí)現(xiàn)次數(shù)，例如 Lh=10 000；

步驟2 針對(duì)給定的碼本{wj, j=1,…,2B}，把信道空間劃分成2B個(gè)信道子空間，劃分準(zhǔn)則如下：

步驟3 針對(duì)2B個(gè)信道子空間分別對(duì)每個(gè)聯(lián)合波束成形的碼字通過(guò)新設(shè)計(jì)的算法進(jìn)行更新。

跳到步驟2繼續(xù)迭代直至滿足收斂精度要求。

針對(duì)上面的步驟 3，研究如何更新碼本。假設(shè)第(=1, ,2B)

式(25)是帶有Lj個(gè)約數(shù)條件的最大化問(wèn)題，這些約束條件使得最終的解不一定存在。所以，忽略式(25)中分母的第一項(xiàng)，可以將式(25)近似為如下：

由式(26)中的代價(jià)函數(shù)可知，x的幅度對(duì)于目標(biāo)函數(shù)沒(méi)有任何的影響，所以，可先得到?jīng)]有滿足式(26)中的約束條件的 wj。碼本設(shè)計(jì)完成后，中繼在使用碼字的時(shí)候，要選擇最優(yōu)的碼字wj來(lái)確定波束成形的相位，然后根據(jù)當(dāng)前信道衰落系數(shù)計(jì)算出wj的幅度以滿足功率約束；同時(shí)，將式(26)中代價(jià)函數(shù)的每一項(xiàng)都取對(duì)數(shù)，所以，更新碼字的問(wèn)題可描述為

式(27)的解析表達(dá)式通常難以獲得，所以本文通過(guò)設(shè)計(jì)下面一個(gè)迭代算法數(shù)值求解式(27)，如下所示。

算法2 碼字更新算法

1) 初始化k=0,x0=0,α=1；

End

3) 令 wj=xk+1。

其中，算法2中的數(shù)值0.45和0.75都是數(shù)值優(yōu)化講義中的經(jīng)驗(yàn)值。由于式(27)中的求和表達(dá)式中的每一項(xiàng)關(guān)于x都是凹函數(shù)，這等價(jià)于凸的最小化問(wèn)題；同時(shí)算法2屬于梯度下降法，所以該算法的收斂性可以得到保證。碼本設(shè)計(jì)完成后，將每個(gè)碼字的能量歸一化。使用碼本時(shí)，信宿根據(jù)所有的信道狀態(tài)信息，選擇其中一個(gè)碼字 wj最大化式(11)中的代價(jià)函數(shù)，然后根據(jù)式(11)計(jì)算出該碼字對(duì)應(yīng)的中繼轉(zhuǎn)發(fā)功率ξ，然后將ξ反饋給所有中繼，同時(shí)將wj對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)也反饋給所有中繼；每個(gè)中繼根據(jù)碼字標(biāo)號(hào)找到相應(yīng)碼字，進(jìn)而得到自己對(duì)應(yīng)的碼字分量，乘以接收信號(hào)再放大后，在下一個(gè)時(shí)隙轉(zhuǎn)發(fā)給信宿。雖然該算法的復(fù)雜度較高，但是該算法不是在線使用的，而是在離線條件下進(jìn)行碼本設(shè)計(jì)，所以復(fù)雜度并不是碼本設(shè)計(jì)算法的主要考慮因素。

4 結(jié)果與分析

下面通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真給出了所設(shè)計(jì)的分布式波束成形碼本在不同反饋量和不同天線配置下的吞吐量性能。定義

圖2給出了信源天線數(shù)是4，中繼數(shù)是4，信宿接收天線數(shù)是4，ρ1=ρ2=20dB 的情況下，不同的反饋比特?cái)?shù)B對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)吞吐量累積分布函數(shù)(CDF,cumulative and distribution function) 曲線圖。由圖可見(jiàn)，當(dāng)B從1增加到2、5時(shí)，遍歷容量明顯增大，當(dāng)B=5時(shí)，獲得大約0.6bit/s/Hz的增益?？梢?jiàn)，所設(shè)計(jì)碼本在反饋開(kāi)銷比較小的情況下得到很明顯的吞吐量增益。

圖2 M=K=N=4，ρ1=ρ2=20dB 時(shí)不同反饋量的CDF曲線

圖3和圖4給出了2個(gè)分布式中繼的情況，無(wú)論信宿的接收天線數(shù)，系統(tǒng)的遍歷容量在反饋比特?cái)?shù)B=5時(shí)都非常接近理想情況下的性能?？梢?jiàn)所提分布式波束成形方案在所設(shè)計(jì)碼本的反饋下具有明顯的性能增益。

圖3 M=4,K=2,N=4和 ρ1=ρ2=20dB 時(shí)不同反饋量的CDF曲線

通過(guò)對(duì)比圖2～圖4可以看出，當(dāng)信源和信宿都配置4根天線且有4個(gè)中繼輔助通信時(shí)，反饋B=5時(shí)能夠獲得大約 10.2bit/s/Hz的遍歷容量(對(duì)應(yīng)著CDF=50%的橫坐標(biāo)數(shù)值)；如果把中繼個(gè)數(shù)從4減少到 2，那么此時(shí)的系統(tǒng)遍歷容量降低到大約9.3bit/s/Hz；如果在該條件下繼續(xù)減少信宿上的天線數(shù)目(從4減少到2)，那么此時(shí)的系統(tǒng)容量降低到大約 8.6bit/s/Hz。由此可得，系統(tǒng)的天線數(shù)和分布式中繼的個(gè)數(shù)明顯影響系統(tǒng)的遍歷容量。與此同時(shí)，發(fā)送信噪比對(duì)系統(tǒng)吞吐量的也具有明顯的影響，具體的信息論分析可參考文獻(xiàn)[6]。

圖4 M=4,K=2,N=2和 ρ1=ρ2=20dB 時(shí)不同反饋量的CDF曲線

5 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)多中繼輔助 MIMO通信系統(tǒng)中基于有限反饋的分布式波束成形問(wèn)題進(jìn)行了研究。首先推導(dǎo)了接收信噪比的下界，并基于該下界建立了聯(lián)合波束成形的數(shù)學(xué)模型。然后針對(duì)該數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)了分布式波束成形的最優(yōu)表達(dá)式。最后，基于該表達(dá)式設(shè)計(jì)了一個(gè)算法對(duì)碼碼字進(jìn)行更新，最終得到所需的碼本。利用該碼本可以在反饋量很小的情況下得到明顯的系統(tǒng)增益。

[1] VAN DER MEULEN E C.Three terminal communication channels[J].Adv Appl Prob,1971,3(1): 120-154.

[2] TIMUS B.A coverage analysis of amplify-and-forward relay schemes in outdoor urban environment[A].IEEE ICWMC’06[C].2006.56-56.

[3] LANEMAN J N,WORNELL G W.Energy-efficient antenna sharing and relay for wireless networks[A].IEEE WCNC’00[C].2000.7-12.

[4] KRAMER G,GASTPAR M,GUPTA P.Cooperative strategies and capacity theorems for relay networks[J].IEEE Trans Inf Theory,2005,51(9): 3037-3063.

[5] PAULRAJ A,NABAR R,GORE D.Introduction to Space-time Wireless Communications[M].Cambridge,UK: Cambridge University Press,2003.

[6] WANG B,ZHANG J,H?ST-MADSEN A.On the capacity of MIMO relay channels[J].IEEE Trans Inf Theory Jan,2005,51(1): 29-43.

[7] TANG X,HUA Y.Optimal design of non-regenerative MIMO wireless relays[J].IEEE Trans Wireless Commun,2007,6(4): 1398-1407.

[8] ZHAO Y,ADVE R,LIM T J.Improving amplify-and-forward relay networks: optimal power allocation versus selectioin[J].IEEE Trans on Wireless Comm,2007,6(8): 3114-3123.

[9] HASNA M O,ALOUINI M.Optimal power allocation for relayed transmissions over Rayleigh fading channels[J].IEEE Trans Wireless Comm,2004,3(6): 1999-2004.

[10] LOVE D J,HEATH J R W.Equal gain transmission in multiple-input multiple-output wireless systems[J].IEEE Trans Comm,2003,51(7):1102-1110.

[11] YI Z,KIM I.Joint optimization of relay-precoders and decoders with partial channel side information in cooperative networks[J].IEEE J Sel Areas Commun,2007,25(2): 447-458.

[12] JING Y,JAFARKHANI H.Network beamforming using relays with perfect channel information[A].IEEE ICASSP’07[C].2007,3:III-473-III-476.

[13] JING Y,JAFARKHANI H.Network beamforming using relays with perfect channel information[J].IEEE Trans Inf Theory,2009,55(6):2499-2517.

[14] BOYD S,VANDENBERGHE L.Introduction to Convex Optimization[M].Cambridge,UK: Cambridge University Press,2004.

[15] LOVE D J,HEATH J R W.Grassmannian beamforming for multiple-input multiple-output wireless systems[J].IEEE Trans Inf Theory,2003,49(10): 2735-2747.

[16] ZHOU S,LI B.BER criterion and codebook construction for finite-rate precoded spatial multiplexing with linear receivers[J].IEEE Trans Signal Processing,2006,54(5): 1653-1665.