基于信號(hào)子空間的ESPRIT-Like算法在相干DOA估計(jì)中的應(yīng)用

張洪順，許云林，湛江書

（1. 重慶通信學(xué)院 無(wú)線電管理教研室，重慶 400035；2. 重慶大學(xué) 資源與環(huán)境科學(xué)學(xué)院，重慶 400044）

1 引言

相干信號(hào)環(huán)境在現(xiàn)實(shí)中比較常見(jiàn)，如多徑效應(yīng)或是在軍事通信中敵方有意實(shí)施干擾等情況，由于相干信號(hào)的影響，使陣列的空間協(xié)方差矩陣產(chǎn)生秩損失，從而使一些超分辨子空間類算法如多重信號(hào)分類[1](MUSIC, multiple signal classification)和利用旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)進(jìn)行信號(hào)參數(shù)估計(jì)[2](ESPRIT, estimation of signal parameter via rotational inviance techniques)在相干環(huán)境中失去效用，相干信號(hào)的 DOA(direction of arrival)估計(jì)是空間譜估計(jì)亟需解決的一個(gè)實(shí)際問(wèn)題。目前相干信號(hào)預(yù)處理方法包括：空間平滑類算法、矩陣重構(gòu)算法和非降維處理算法[3]，但是這些算法都是以MUSIC作為DOA估計(jì)處理技術(shù)，由于MUSIC需要進(jìn)行譜峰搜索，從而造成算法的運(yùn)算量較大，且估計(jì)的穩(wěn)健性不好。文獻(xiàn)[4]提出了一種在相干環(huán)境下的ESPRIT-Like DOA估計(jì)算法，作者通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真分析，驗(yàn)證了該算法的估計(jì)精度及解相關(guān)性能較空間平滑類算法及求根類算法都有明顯改善，且算法運(yùn)算量較低。

本文在相干環(huán)境中信號(hào)子空間維數(shù)討論的基礎(chǔ)上，提出了2種尋找包含所有信號(hào)信息數(shù)據(jù)矢量的方法，然后利用所得數(shù)據(jù)矢量重構(gòu)得到一個(gè)Toeplitz矩陣，對(duì)其進(jìn)行奇異值分解即可得到信號(hào)子空間與噪聲子空間，最后利用ESPRIT方法進(jìn)行DOA估計(jì)，即可得到所需結(jié)果。其中，本文第 2種數(shù)據(jù)矢量構(gòu)造算法與文獻(xiàn)[4]中的方法殊途同歸。

2 窄帶信道數(shù)學(xué)模型

假設(shè)空間存在P個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)，包括M個(gè)信源經(jīng)多徑角度擴(kuò)展得到的前L徑相干信號(hào)（令各信源的最大徑數(shù)分別為 l1,l2,…,lM）和后(P - L )個(gè)非相干信號(hào)，設(shè)信源統(tǒng)計(jì)獨(dú)立；又設(shè)接收陣列為均勻線陣，包含N（ N ≥ P+1且N為奇數(shù)）個(gè)相同的全向陣元，陣元間距滿足“半波長(zhǎng)條件”即d≤λ2（λ為信號(hào)波長(zhǎng)），如圖1所示；信號(hào)DOA方向分別為θi( i = 1,… ,P ) ，假設(shè)空間噪聲為理想的高斯白噪聲，信號(hào) si( t)(i = 1 , … ,P ) 與各陣元上的觀測(cè)噪聲統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。

圖1 均勻線陣接收信號(hào)模型

以陣元1為參考陣元，則第k陣元上的觀測(cè)數(shù)據(jù)可表示為

3 相干環(huán)境中信號(hào)子空間的維數(shù)

基于前面建立的理想高斯白噪聲條件下的信道模型，計(jì)算陣列接收協(xié)方差矩陣：

(?)H為復(fù)值共軛轉(zhuǎn)置，表示來(lái)波信號(hào)的協(xié)方差矩陣，σ2E表示噪聲的協(xié)方差矩陣，σ2為噪聲功率，E表示單位矩陣。由于假設(shè)陣列中理想陣元對(duì)信號(hào)來(lái)向是“敏感”的，即陣列對(duì)不同來(lái)向的信號(hào)具有不同的響應(yīng)，由此可知，Vandermonde形式的陣列導(dǎo)向矩陣為列滿秩的，即rank(A) = P。令信號(hào)協(xié)方差矩陣 RS的秩為對(duì)陣列接收矩陣進(jìn)行特征分解，對(duì)其特征值進(jìn)行非增調(diào)排序可得：

4 基于信號(hào)子空間的ESPRIT-Like算法

對(duì)相干信號(hào)的DOA估計(jì)包括解相干預(yù)處理與基于解相干基礎(chǔ)上的DOA估計(jì)2個(gè)部分，目前關(guān)于解相干的預(yù)處理基本有兩大類：一類是降維處理，可以分為基于空間平滑和基于矩陣重構(gòu)2類算法；另一類是非降維處理，如頻域平滑算法、Toeplitz方法、虛擬陣列變換法等。其中，基于降維處理的算法更為常用。本文在預(yù)處理中運(yùn)用基于矢量奇異值的矩陣重構(gòu)，首先設(shè)法尋找包含所有信號(hào)信息的數(shù)據(jù)矢量，經(jīng)矩陣重構(gòu)實(shí)現(xiàn)解相干的目的，而后利用ESPRIT方法進(jìn)行DOA估計(jì)的處理。

4.1 構(gòu)建包含所有信號(hào)信息的矢量

矩陣重構(gòu)的目標(biāo)是要使重構(gòu)后的矩陣可以估計(jì)出相干信號(hào)源的信號(hào)或噪聲子空間，因此，構(gòu)建重構(gòu)矩陣所需的數(shù)據(jù)矢量必須包含所有的信號(hào)信息。本文分析研究了2種構(gòu)建包含所有信號(hào)信息數(shù)據(jù)矢量的方法，并在文章附錄部分給出了相關(guān)定理的證明過(guò)程。

1) 方法1。

由特征分解的定義X=RV ΛV，其中，V為特征矢量矩陣，Λ表示對(duì)角形式的特征值矩陣，將式（3）代入式X=RV ΛV可得：

結(jié)合式（4）中的特征值分布情況可知，大特征值對(duì)應(yīng)的信號(hào)特征矢量與矩陣 A RSAH的非零特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量是一致的。在此引出以下定理。

定理 1 假設(shè) P （ P ≤ N-1）個(gè)窄帶遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)入射到N個(gè)陣元組成的陣列，則N×P陣列導(dǎo)向矩陣的秩為P，P×P信號(hào)協(xié)方差矩陣的秩為K（K≤P），又設(shè)噪聲為理想高斯白噪聲，N×N噪聲協(xié)方差矩陣為滿秩對(duì)角陣，則存在下列線形關(guān)系：

其中， vk(1 ≤ k ≤ K ) 表示信號(hào)特征矢量， αk( i ) 為線形組合因子，a ( θi)表示陣列接收第i個(gè)信號(hào)時(shí)的導(dǎo)向矢量（文獻(xiàn)[5]中給出了該定理的頻域表示形式，定理的詳細(xì)證明過(guò)程見(jiàn)本文附錄）。

定理1說(shuō)明無(wú)論入射信號(hào)是否相干，對(duì)應(yīng)大特征值的特征矢量是各信號(hào)導(dǎo)向矢量的一個(gè)線形組合，即包含了所有信號(hào)方向信息。為了提高后續(xù)DOA估計(jì)的精確性，本文在后續(xù)的仿真分析中對(duì)所有信號(hào)特征矢量進(jìn)行求均，即有

2) 方法2。

在文獻(xiàn)[6]中提出了一種直接針對(duì)數(shù)據(jù)處理，得到一組無(wú)噪聲的快拍數(shù)據(jù)，同樣可以獲得一個(gè)包含所有信號(hào)信息的數(shù)據(jù)矢量：

其中，T為取樣快拍數(shù)，xm表示1×T的任意一個(gè)參考陣元的接收數(shù)據(jù)矢量，X是N×T陣列接收數(shù)據(jù)矩陣，式中求數(shù)學(xué)期望也即對(duì)數(shù)據(jù)接收矩陣與參考陣元數(shù)據(jù)相乘后求時(shí)間平均。仔細(xì)分析可知，式（8）中的 em其實(shí)就是陣列接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣 RX的 第m(1 ≤ m ≤ N ) 行，在后續(xù)DOA估計(jì)的具體計(jì)算過(guò)程中可以對(duì)m進(jìn)行求均，以提高DOA估計(jì)的精度[3]。

4.2 矩陣重構(gòu)

為了利用上述2種數(shù)據(jù)矢量來(lái)實(shí)現(xiàn)解相干，本文利用獲得的2個(gè)數(shù)據(jù)矢量v和 em重構(gòu)得到如下2個(gè)Toeplitz矩陣，其中 Y1表示由方法1中的v重構(gòu)所得，Y2為由方法2中的無(wú)噪聲快拍數(shù)據(jù)矢量重構(gòu)所得：

值得注意的是，式（9）中由無(wú)噪聲快拍數(shù)據(jù)矢量經(jīng)矩陣重構(gòu)所得矩陣 Y2′ 與文獻(xiàn)[4]中利用空間協(xié)方差矩陣直接重構(gòu)得到的 Toeplitz矩陣 R ( m )在內(nèi)容上是一致的，只是矩陣行的次序不同。分別對(duì)Y1′ 和 Y2′ 進(jìn) 行奇異值分解有

其中，Λ1、Λ2為由奇異值構(gòu)成的p×p對(duì)角陣，U1、U2為左奇異矩陣， V1、 V2為右奇異矩陣。由文獻(xiàn)[6]中的證明過(guò)程可知， Y1′ 和 Y2′ 的大奇異值個(gè)數(shù)必為P，對(duì)應(yīng)的左奇異矩陣 U1、 U2中的矢量組成的空間就是信號(hào)子空間，小奇異值對(duì)應(yīng)的矢量組成的空間即噪聲子空間。

4.3 DOA估計(jì)

為了利用信號(hào)子空間對(duì)所有來(lái)波信號(hào)的方向信息進(jìn)行精確估計(jì)，本文注重利用方法 1構(gòu)造的Toeplitz陣Y1′進(jìn)行DOA估計(jì)（方法2中通過(guò) Y2′實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)的具體過(guò)程可參考文獻(xiàn)[4]）。為了進(jìn)一步說(shuō)明如何結(jié)合 E SPRIT方法對(duì)矩陣 Y1′進(jìn)行DOA估計(jì)處理，將式（9）中的 Toeplitz陣 Y1′以信號(hào)協(xié)方差矩陣的形式表示為

由4.2節(jié)的討論可知，對(duì) Y1′進(jìn)行奇異值分解可得P個(gè)大奇異值對(duì)應(yīng)左奇異矩陣矢量組成的信號(hào)子空間和R-P個(gè)小奇異值對(duì)應(yīng)矢量組成的噪聲子空間

對(duì) US進(jìn)行同樣分解，u 和 u 為 U 的第一行和最后一1RS行。由流型矩陣列向量張成信號(hào)子空間，即span{ ar( θ1) , … ,ar(θP)} = span{u1,u2, … ,uP}，從而必存在非奇異矩陣T滿足進(jìn)而可得

結(jié)合式（12）和式（13）有

其中， ( ?)-1表示逆矩陣，(?)+表示矩陣的 Moore-Penrose廣義逆。令，對(duì)Ψ進(jìn)行特征分解，其特征值即為進(jìn)而估計(jì)出

5 數(shù)值仿真

在前面分析研究2種算法的基礎(chǔ)上，本文利用MATLAB進(jìn)行了大量Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)。接收陣列為 11元等距均勻線陣，陣元間距為半波長(zhǎng)，空間有3個(gè)完全相干信號(hào)，其載頻為900MHz，設(shè)采樣頻率為采樣點(diǎn)數(shù)為 N0=5 00個(gè)。

圖 2 中各信號(hào)來(lái)波方向分別為5°、10°、30°，SNR= 3 0 dB 時(shí)進(jìn)行20次獨(dú)立試驗(yàn)所得結(jié)果，圖中虛線為真實(shí)來(lái)波方向線，圖2(a)為利用算法1所得數(shù)據(jù)矢量進(jìn)行估計(jì)，圖2(b)為采用算法2（即文獻(xiàn)[4]中的方法）獲取數(shù)據(jù)矢量進(jìn)行的估計(jì)。從圖2觀察可知，2種算法均有較好的估計(jì)效果。

為了與空間平滑類算法進(jìn)行比較，本文在SNR= 0 dB 條件下采用本文研究的2種算法和前向空間平滑算法[7,8]，分別對(duì)3個(gè)完全相干信號(hào)（來(lái)波方向分別為5°、10°、30°）進(jìn)行20次仿真試驗(yàn)（見(jiàn)圖3），由圖3可以看出，在低信噪比情況下，前向空間平滑算法的譜峰分辨率明顯降低，甚至不可分辨（見(jiàn)圖3(c)），而本文2種算法的穩(wěn)健性能較好，其中第1種算法有著更好的效果。

圖3 本文算法與前向空間平滑算法DOA估計(jì)的比較

圖 4為信號(hào)來(lái)波方向?yàn)?5-°、10°、5°時(shí)利用本文2種算法進(jìn)行200次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)所得3個(gè)方向的平均估計(jì)偏差圖，圖5為相同條件下3個(gè)方向的平均估計(jì)均方誤差（MSE）圖。

表1 2種方法估計(jì)反應(yīng)時(shí)間比較

6 結(jié)束語(yǔ)

本文在討論相干信號(hào)環(huán)境特性的基礎(chǔ)上，提出了一種基于信號(hào)子空間利用ESPRIT進(jìn)行處理的相干DOA估計(jì)算法，理論分析及計(jì)算機(jī)仿真表明，利用本文算法對(duì)相干信號(hào)進(jìn)行DOA估計(jì)有著較好的解相干性能，其中方法1的算法性能更優(yōu)。該算法的最大優(yōu)點(diǎn)在于運(yùn)算量低，且在低信噪比條件下仍有較好的效果。但是根據(jù)理論分析可知，與空間平滑類等解相干算法相同，該算法是以犧牲有效陣元數(shù)為代價(jià)的。另外，該算法在其他特殊陣列中的應(yīng)用方面還有待進(jìn)一步研究。

附錄 定理1的證明

為降低證明過(guò)程的復(fù)雜性，在此考慮最極端的情況，假設(shè)K=1（入射信號(hào)完全相干）， 接收信號(hào)完全由某個(gè)源信號(hào)與一組復(fù)值衰落因子相乘所得，S (t ) = Bs1(t)，其中，s1(t)表示唯一生成源信號(hào)， B = [ β1,β2,… ,βP]T為衰落系數(shù)向量，表示源信號(hào) s1(t)第 i 徑復(fù)值衰落系數(shù)。此時(shí)理想高斯白噪聲條件下陣列接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣為

其中， ( ?)*表示復(fù)數(shù)共軛。對(duì)RX進(jìn)行特征分解則有λ為唯一的大特征1值， v1表示該大特征值對(duì)應(yīng)的 N × 1特征矢量，最后可以計(jì)算得到下式：

組合因子。在信號(hào)部分相干的情況下，可以同樣利用該方法進(jìn)行證明。

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