基于有限域上仿射空間構造新碼本

劉雪梅，賈麗華

（中國民航大學理學院，天津300300）

一個參數(shù)為（N，K）的碼本C 是由N個單位向量{c1，c2，…，cN}構成的集合，ci長度為K，其中，1≤i≤N。碼本作為信息的載體可用于傳輸不同的信息，且有著低重復率、強保密性的優(yōu)點。在實際應用中，對于一定的長度K，希望碼本的向量個數(shù)N盡可能大，而最大相關幅度盡可能小，這樣可以降低信號之間的相互干擾。然而，碼本的參數(shù)受到理論界限的制約，其最大相關幅度和參數(shù)N和K之間滿足一定的界，即Welch 界[1]。當N≥K時，如果碼本C 的最大相關幅度能達到Welch界，則稱碼本C 為MWBE（maximal Welch bound equality codebook）碼本或最優(yōu)碼本[2]。MWBE 碼本僅存在于非常有限的碼字個數(shù)和碼字長度的條件下。對MWBE 碼本的研究，主要有以下幾方面：①任意N＞1，由m序列構造參數(shù)為（N，N-1）的MWBE 碼本；②任意N＞1，基于離散傅里葉變換構造（N，N- 1）的MWBE 碼本，基于ZN中的（N，K，λ）差集構造參數(shù)為（N，K）的MWBE 碼本[3]；③設d是一個給定的正整數(shù)，當N=2K=2d+1或N=2K=pd+1，且p是素數(shù)時，用協(xié)商矩陣構造參數(shù)為（N，K）的MWBE 碼本[4-5]；④采用有限域Fq中的（N，K，λ）循環(huán)差集[2]和阿貝爾差集[6]構造參數(shù)為（N，K）的MWBE 碼本；⑤用（2，k，υ）施泰納坦納系構造參數(shù)為（N，K）的MWBE 碼本[7]；⑥采用圖論和有限幾何構造參數(shù)為（N，K）的MWBE 碼本[8-10]。

最優(yōu)碼本的約束條件較嚴格、限制因素較多，因此，構造最優(yōu)碼本的方法較少且難以構造達到Welch界的最優(yōu)碼本。碼本的最大相關幅度漸近達到Welch界時，稱為漸近最優(yōu)碼本，即放寬了碼本的約束條件，使得參數(shù)選取更加靈活。同時，當碼本中的碼字足夠長時，漸近最優(yōu)碼本與最優(yōu)碼本性質相似，因此，構造漸近最優(yōu)碼本是一個折中的方法。Ding 等[11]提出了利用幾乎差集構造近似最優(yōu)碼本的方法，但滿足條件的幾乎差集較少；Yu[12]從二元序列出發(fā)構造了幾乎最優(yōu)碼本，但對初始矩陣的條件限制嚴格；Heng[13]利用廣義雅可比和構造了幾類漸近最優(yōu)碼本；Zhang 等[14]基于分圓類的幾乎差集構造了限制條件更寬松的漸近最優(yōu)碼本，又利用高斯和構造了近似達到Welch 界的漸近最優(yōu)碼本，解決了文獻[11]中遺留的問題。

目前，構造漸近最優(yōu)碼本的方法較少，且難以找到滿足條件的參數(shù)。針對以上問題，提出了一個構造碼本的新方法，且新碼本漸近達到Welch 界的條件較為寬松。

1 基礎知識

1.1 碼本的相關概念及界

定義1一個參數(shù)為（N，K）的碼本C是由N 個1×K 個單位向量構成的集合{c1，c2，…，cN}，其中，向量ci稱為碼本的碼字，0≤i≤N。

定義2碼本C的最大相關幅度定義為

式中cjH表示復數(shù)向量cj的共軛轉置。

引理1（Welch 界）對任意參數(shù)為（N，K）的碼本C，且N≥K，有

1.2 仿射空間的相關概念及計數(shù)定理

設Fq是一個q 元有限域，其中q 為素數(shù)的冪。對于一個非負整數(shù)n，表示Fq上的n 維行向量空間。qn )中的任意非零向量和零向量都稱為點，任意1 維向量子空間的陪集稱為線，任意2 維向量子空間的陪集稱為面。中的任意r（0≤r≤n）維向量子空間的陪集稱為仿射r-flat，或簡稱為r-flat。

設U+u是一個r-flat，V+v是一個s-flat，其中，U是一個r 維向量子空間，V是一個s 維向量子空間，u，v∈。如果u∈V+v且U?V，則稱r-flat?s-flat。若r-flat?s-flat 或s-flat?r-flat，則稱其是相關聯(lián)的。點集與r-flat（0≤r≤n）及其之間的關聯(lián)關系稱為Fq上的n 維仿射空間，記作AG（n，F(xiàn)q）。

參考文獻[15]中有以下定理及定義。

定理1設0≤m≤n，則AG（n，F(xiàn)q）中的m-flat的個數(shù)為。

定理2設0≤k≤m≤n，則AG（n，F(xiàn)q）中包含于某一給定的m-flat中的k-flat的數(shù)量為。

定理3設0≤k≤m≤n，則AG（n，F(xiàn)q）中包含一個給定的k-flat的m-flat的數(shù)量為。

定義3設a=（a1，a2，…，an）是中的向量，則向量a的Hamming 權定義為非零分量ai的個數(shù)，表示為ω（a），即

ω（a）=|{i|1≤i≤n，ai≠0}|

2 構造新的碼本

在構造新的碼本之前，先利用有限域上仿射空間的關聯(lián)關系構造一類二元碼。

定義4給定整數(shù)0≤k≤m≤n，令M（k，m，n）是一個二元矩陣，其中，行是由所有的k-flat標定，列是由所有的m-flat標定，M（k，m，n）的第i 行第j 列為1當且僅當?shù)趇 行的k-flat包含在第j 列的m-flat中。

由定理1 可知M（k，m，n）是一個K×N 的矩陣，且其列權重都是ω，其中，，。

由此，以每列為一個碼字，就得到了一個二元等重碼C，參數(shù)為（K，N）。對任意一個二元碼C，可定義碼本為

引理2對任一（K，N）二元碼C，在式（1）中定義的集合SK，Q（C）是一個（K，N）碼本，且最大相關幅度為。

證明所構造碼本的大小和碼字的長度可由二元碼C 的定義及參數(shù)得出。

對任意兩個不同的向量si，sj∈SK，Q（C），有

設第i 個m-flat 為U+u，第j 個m-flat 為V+v，其中，U，V 表示m 維向量空間，u，v∈。ω（si∩sj）取得最大值，當且僅當（U+u）∩（V+v）=W+w，其中，W 是一個m-1 維向量空間，w∈，則W+w 是一個（m-1）-flat。那么ω（si∩sj）的最大值為

定理4若SK，Q（C）是一個最優(yōu)碼本，當且僅當k=n。

證明若SK，Q（C）是一個最優(yōu)碼本，當且僅當，即K=1，則k=n。

定理5當（n-m-1）m ＞（n-k-1）k 時，SK，Q（C）是一個漸近最優(yōu)碼本。

證明（N，K）碼本SK，Q（C）的參數(shù)為

由于（n-m-1）m ＞（n-k-1）k，則

則可得到

因此，SK，Q（C）是一個漸近最優(yōu)碼本。

3 結語

基于有限域上仿射空間提供了一個構造碼本的一般方法。首先利用仿射空間之間的包含關系構造一類二元等重碼，然后用二元等重碼構造了最大相關幅度為的碼本。碼本SK，（QC）是最優(yōu)碼本的充要條件是k=n。當（n-m-1）m ＞（n-k-1）k 時，碼本SK，Q（C）漸近達到Welch 界，是一個漸近最優(yōu)碼本。