轉(zhuǎn)子型式對(duì)高速透平膨脹機(jī)臨界轉(zhuǎn)速的影響

趙祥雄 陳雙濤 侯 予

1 引言

氣體軸承低溫透平膨脹機(jī)是空分系統(tǒng)和低溫系統(tǒng)的關(guān)鍵產(chǎn)冷機(jī)械，而且隨著基于高速透平逆布雷頓循環(huán)的空氣制冷技術(shù)在航空工業(yè)、高速鐵路與環(huán)境模擬系統(tǒng)中的應(yīng)用，對(duì)高速透平膨脹機(jī)的性能和穩(wěn)定性提出了更高的要求。為了保證膨脹過(guò)程具有較高的絕熱效率和可靠性，透平膨脹機(jī)轉(zhuǎn)子要求具有較高的穩(wěn)定轉(zhuǎn)速，并最大限度的減小轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)幅度。如美國(guó)目前已經(jīng)研制出轉(zhuǎn)速高達(dá)60萬(wàn)轉(zhuǎn)/分鐘的透平膨脹機(jī)［1］，中國(guó)低溫領(lǐng)域工業(yè)產(chǎn)品的氣體軸承透平膨脹機(jī)轉(zhuǎn)速一般也在4萬(wàn)轉(zhuǎn)/分鐘以上。工作在高轉(zhuǎn)速下的透平膨脹機(jī)其轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)必須有合理的振動(dòng)特性才能實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)運(yùn)轉(zhuǎn)，首先要考慮的就是設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)動(dòng)頻率不能與轉(zhuǎn)子本身橫向振動(dòng)的固有頻率及其倍數(shù)相等或相近。因此進(jìn)行轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速特性分析，選取合適的軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)型式是高速透平膨脹機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的首要環(huán)節(jié)。

高速透平膨脹機(jī)轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的計(jì)算是轉(zhuǎn)子振動(dòng)特性分析的核心問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)其都給予了充分的關(guān)注。然而，其計(jì)算精度、準(zhǔn)確性和可行性還有待提高。傳統(tǒng)的Prohl遞推法和Riccati傳遞矩陣法在進(jìn)行轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算和振型分析時(shí)往往對(duì)剛度進(jìn)行了簡(jiǎn)化并且忽略了阻尼影響。而文獻(xiàn)［2-5］的研究表明支承剛度和阻尼是衡量小型透平膨脹機(jī)的氣體軸承高速穩(wěn)定性的重要參數(shù)。因此在對(duì)微型透平膨脹機(jī)轉(zhuǎn)子進(jìn)行臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算時(shí)進(jìn)行剛度簡(jiǎn)化和忽略阻尼勢(shì)必在很大程度上影響計(jì)算結(jié)果的合理性和精確性。雖然Prohl遞推法和Riccati傳遞矩陣法也有針對(duì)各項(xiàng)異性支承且計(jì)入阻尼影響的軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性進(jìn)行分析的方法，但是其求解過(guò)程十分復(fù)雜，不利于程序?qū)崿F(xiàn)。Nelson，McVaugh等人［6-8］提出的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性的有限元解法在求解具有各項(xiàng)異性支承并且阻尼不可忽略的軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)時(shí)的核心是求解具有形如A x=λB x的廣義復(fù)特征值問(wèn)題。其中矩陣A、B均為大型非對(duì)稱矩陣。而Ward和Moler等人［9-10］提出的求解非對(duì)稱廣義復(fù)特征值問(wèn)題的QZ法是針對(duì)此問(wèn)題一種簡(jiǎn)便且高效的解法。因此，本文基于有限元?jiǎng)澐值腝Z法(FEQZ)，求解了具有各項(xiàng)異性支承并且阻尼不可忽略的高速透平膨脹機(jī)轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速，經(jīng)與工程應(yīng)用結(jié)論對(duì)比，表明該方法準(zhǔn)確度較高，計(jì)算簡(jiǎn)便且行之有效。

2 算法分析

次式為:

其中:λ的虛部就是轉(zhuǎn)子振動(dòng)的固有頻率。對(duì)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合后聯(lián)立w=Ω進(jìn)行求解。

對(duì)于轉(zhuǎn)速Ω，其對(duì)應(yīng)的第m階復(fù)特征值λm=sm+jwm，其中s為阻尼系數(shù)，w為固有頻率，復(fù)特征向量

推出的直接用式所求特征向量表示的表達(dá)式經(jīng)簡(jiǎn)化后可得:

正進(jìn)動(dòng)反進(jìn)動(dòng)判據(jù):

由此，可以直接用特征向量相關(guān)元素來(lái)進(jìn)行正反進(jìn)動(dòng)的判別。

用所求特征向量元素表示的某段軸心軌跡方程為:

其中長(zhǎng)短半軸分別為:

從式(10)可以明顯可以看出，衰減指數(shù)s＞0時(shí)，隨著時(shí)間的推移，轉(zhuǎn)子最終會(huì)出現(xiàn)失穩(wěn)，s＜0時(shí)轉(zhuǎn)子最終趨于穩(wěn)定，這點(diǎn)十分符合轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)中對(duì)衰減指數(shù)相關(guān)性質(zhì)的描述。對(duì)于具有各項(xiàng)異性支承并且考慮阻尼影響的透平膨脹機(jī)轉(zhuǎn)子來(lái)說(shuō)，大多數(shù)情況下衰減指數(shù)s≠0，透平轉(zhuǎn)子渦動(dòng)的幅值從式(9)可看出是隨時(shí)間t衰減或者增強(qiáng)的，各個(gè)部分的中心軌跡是一系列螺旋線，此時(shí)轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)十分復(fù)雜。根據(jù)文獻(xiàn)［12］，通常情況下在描述此類節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)令各節(jié)點(diǎn)處于穩(wěn)態(tài)，即令式(8)式(9)中的衰減指數(shù)s=0所得運(yùn)動(dòng)方程作為節(jié)點(diǎn)穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)方程。

即:

式(13)也能用來(lái)做轉(zhuǎn)子正反進(jìn)動(dòng)的判別，當(dāng)b＞0，轉(zhuǎn)子做正進(jìn)動(dòng)，b＜0轉(zhuǎn)子做反進(jìn)動(dòng)。此外，需要特別提到的一點(diǎn)是，對(duì)于支承異性比較嚴(yán)重的轉(zhuǎn)子，會(huì)產(chǎn)生混合進(jìn)動(dòng)，即一部分節(jié)點(diǎn)作正進(jìn)動(dòng)，一部分節(jié)點(diǎn)作反進(jìn)動(dòng)。

3 轉(zhuǎn)子分析實(shí)例

為驗(yàn)證算法的正確性，選取在工業(yè)上已獲得廣泛應(yīng)用的150 m3(O2)/h制氧機(jī)用中壓低溫透平膨脹機(jī) (PLK-8.33 ×2/20-5)為例［13］，其設(shè)計(jì)參數(shù)如表1所示。該低溫膨脹機(jī)原采用小孔節(jié)流切向供氣靜壓氣體徑向軸承和一體化環(huán)形小孔供氣靜壓止推軸承，膨脹機(jī)工作輪為反動(dòng)式葉輪，采用風(fēng)機(jī)制動(dòng)，雙止推盤對(duì)置。圖1是可供選擇的4種轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，選定4種結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)子軸的長(zhǎng)度相等，采用相同的膨脹機(jī)葉輪和制動(dòng)風(fēng)機(jī)葉輪，采用相同支承條件的氣體軸承。計(jì)算可知工作輪質(zhì)量為7.89×10-3kg，極慣性矩5.91×10-7kg·m2，軸慣性矩3.82 ×10-7kg·m2，風(fēng)機(jī)輪質(zhì)量為2.36 ×10-2kg，極慣性矩4.25 ×10-6kg·m2，軸慣性矩 2.11 ×10-6kg·m2。

表1 透平膨脹機(jī)主要設(shè)計(jì)參數(shù)Table 1 Main design parameters of turbo-expander

圖1 常用轉(zhuǎn)子型式Fig.1 Four typical rotor structures

3.1 臨界轉(zhuǎn)速

表2列出了在各項(xiàng)異性支承下忽略和計(jì)入阻尼情況下4種轉(zhuǎn)子前兩階的正進(jìn)動(dòng)(F)和反進(jìn)動(dòng)(B)臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算值。可以看出，正進(jìn)動(dòng)阻尼臨界轉(zhuǎn)速低于不考慮阻尼的臨界轉(zhuǎn)速，阻尼對(duì)一階臨界轉(zhuǎn)速的影響大于其對(duì)二階臨界轉(zhuǎn)速的影響。反進(jìn)動(dòng)的阻尼臨界轉(zhuǎn)速高于不考慮阻尼的臨界轉(zhuǎn)速，與正進(jìn)動(dòng)類似，阻尼對(duì)一階臨界轉(zhuǎn)速的影響較大。實(shí)際的膨脹機(jī)轉(zhuǎn)子均做正向渦動(dòng)，對(duì)于要求的額定轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)子1、3、4都符合1.4 wcrn＜ Ω ＜ 0.7 wcrn+1的要求，其中轉(zhuǎn)子4 安全范圍最小，轉(zhuǎn)子1轉(zhuǎn)速的安全范圍最大。圖2是各階臨界轉(zhuǎn)速的Campbell圖。由于氣膜軸承的各項(xiàng)異性轉(zhuǎn)子的第一階阻尼臨界轉(zhuǎn)速分離為兩個(gè)臨界轉(zhuǎn)速，這與文獻(xiàn)［14］描述的油膜軸承各項(xiàng)異性支承的情況類似。

表2 各轉(zhuǎn)子型式臨界轉(zhuǎn)速比較Table 2 Comparative on critical speed of four different rotor structures

3.2 振型對(duì)比

應(yīng)用于低溫系統(tǒng)的透平膨脹機(jī)由于其工作溫度較低，尤其是啟動(dòng)過(guò)程中的溫區(qū)跨度和轉(zhuǎn)速變化范圍較大。對(duì)于設(shè)計(jì)好的氣體軸承支承的透平膨脹機(jī)，在未達(dá)到額定工作狀態(tài)前，其剛度和阻尼也會(huì)發(fā)生變化，特別是動(dòng)壓氣體軸承支承的轉(zhuǎn)子，其剛度和阻尼在啟動(dòng)過(guò)程中會(huì)發(fā)生較大變化，這時(shí)，如果轉(zhuǎn)子本身對(duì)剛度和阻尼的變化比較敏感，則轉(zhuǎn)子的阻尼臨界轉(zhuǎn)速和振幅會(huì)發(fā)生較大變化，反之，轉(zhuǎn)子能夠較為平穩(wěn)的達(dá)到指定工作狀態(tài)。其次還應(yīng)該考慮兩邊支承對(duì)支承剛度和阻尼敏感度的一致性。

文獻(xiàn)［14］指出軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)某階復(fù)振型在軸承處的幅值越小，則該軸承的剛度、阻尼對(duì)該階特征值的影響越小。圖3為4種轉(zhuǎn)子的額定轉(zhuǎn)速下的前兩階復(fù)振型曲線?？梢钥闯鰧?duì)于額定轉(zhuǎn)速下的一階復(fù)振型，轉(zhuǎn)子2和轉(zhuǎn)子4的幅值分別在轉(zhuǎn)子左右半邊達(dá)到最大，轉(zhuǎn)子1和3幅值相差不大，其中轉(zhuǎn)子1幅值最小。從額定轉(zhuǎn)速下的二階復(fù)振型可以明顯的看出在轉(zhuǎn)子2支承處的幅值最大，其余轉(zhuǎn)子在支承點(diǎn)的幅值相差較小。針對(duì)前兩階復(fù)振型，從左右支承的一致性和對(duì)剛度和阻尼的敏感度來(lái)衡量，轉(zhuǎn)子1和轉(zhuǎn)子3優(yōu)于轉(zhuǎn)子2和轉(zhuǎn)子4。從圖3還可以看出，除了在起始軸段和結(jié)尾軸段x方向和y方向的復(fù)振幅|X||Y|可以看出有差別外，其余部分幾乎重合，這表明轉(zhuǎn)子的振動(dòng)軌跡在某個(gè)平面是接近于圓形的橢圓，這是由于在以上計(jì)算中沒(méi)有考慮轉(zhuǎn)子質(zhì)心和幾何中心的不重合度和支承氣膜在x和y方向具有相近的支承剛度所造成的。此外需要注意的是，由于假設(shè)s=0，此處的復(fù)振幅并不能代表轉(zhuǎn)子實(shí)際的振動(dòng)幅度，它只是轉(zhuǎn)子軸心軌跡的一個(gè)形象描述。

3.3 穩(wěn)定性分析

用來(lái)衡量轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性的無(wú)量綱對(duì)數(shù)衰減率定義為δ=2πσ/w，δ越大表明系統(tǒng)在受擾動(dòng)后振動(dòng)衰減的越快，系統(tǒng)的穩(wěn)定性越好。圖4顯示了轉(zhuǎn)子1-4前兩階正向渦動(dòng)固有頻率的對(duì)數(shù)衰減率。從圖中可以看出，轉(zhuǎn)子3具有最高的一階對(duì)數(shù)衰減率，轉(zhuǎn)子2具有最高的二階對(duì)數(shù)衰減率。轉(zhuǎn)子3的二階對(duì)數(shù)衰減率大于轉(zhuǎn)子1的一階對(duì)數(shù)衰減率。

經(jīng)過(guò)上述分析可知，轉(zhuǎn)子2雖然有較高的二階對(duì)數(shù)衰減率，但是其轉(zhuǎn)速安全范圍不符合要求，復(fù)振動(dòng)型曲線幅值也較大。轉(zhuǎn)子3有優(yōu)于轉(zhuǎn)子4的對(duì)支承剛度和阻尼的不敏感度和優(yōu)于轉(zhuǎn)子1的穩(wěn)定性。綜合考慮以上因素，轉(zhuǎn)子3為最佳轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)。事實(shí)上，轉(zhuǎn)子3也是原設(shè)計(jì)［13］采用的轉(zhuǎn)子形式。

圖4 前兩階固有頻率對(duì)數(shù)衰減率Fig.4 The First and second natural frequency logarithm scale attenuation rate

4 結(jié)論

通過(guò)比較分析，提出基于有限元?jiǎng)澐值腝Z法是一種簡(jiǎn)便有效的求解具有各項(xiàng)異性氣體軸承支承小型透平膨脹機(jī)轉(zhuǎn)子阻尼臨界轉(zhuǎn)速簡(jiǎn)便有效的計(jì)算方法，利用QZ法求得的廣義復(fù)特征向量矩陣，推導(dǎo)出各項(xiàng)異性支承下透平膨脹機(jī)轉(zhuǎn)子軸心軌跡的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)表達(dá)式，給出了透平轉(zhuǎn)子正反進(jìn)動(dòng)阻尼臨界轉(zhuǎn)速的兩種判據(jù)。利用上述方法，對(duì)適用于同一透平的四種不同形式轉(zhuǎn)子的阻尼臨界轉(zhuǎn)速、復(fù)振型、穩(wěn)定性進(jìn)行了對(duì)比研究，表明采用該算法進(jìn)行臨界轉(zhuǎn)速的計(jì)算是十分準(zhǔn)確的。并驗(yàn)證了雙止推盤對(duì)置轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)具有較好的安全轉(zhuǎn)速范圍，并且具有優(yōu)于單止推盤中置轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和單止推盤偏置轉(zhuǎn)子對(duì)支承剛度和阻尼的不敏感度。

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