實(shí)現(xiàn)相關(guān)系數(shù)模型：基于動態(tài)相關(guān)高頻Bi-GARCH過程的MC檢驗(yàn)

殷煉乾 ，周雨田 ，2，3

（1.西安交通大學(xué) 金禾經(jīng)濟(jì)研究中心，西安 710049；2.臺灣中研院 經(jīng)濟(jì)研究所，臺北；3.新竹交通大學(xué) 商管所，臺北）

0 引言

在投資學(xué)和風(fēng)險(xiǎn)管理的理論和實(shí)踐中，資產(chǎn)組合配置是否有效依賴于組合資產(chǎn)的相關(guān)系數(shù)，尋找最優(yōu)的對沖比率更是需要精確估計(jì)對沖資產(chǎn)的相關(guān)系數(shù)，而想要精確地計(jì)算大型資產(chǎn)組合在險(xiǎn)價(jià)值，則最好使用各資產(chǎn)相關(guān)系數(shù)的動態(tài)估計(jì)值。盡管得益于Engle和Granger等人為代表的研究，波動率模型自上世紀(jì)90年代起就開始被大量發(fā)展出來，但是由于多元波動率模型的設(shè)定和估計(jì)技術(shù)都十分復(fù)雜，相關(guān)系數(shù)模型的估計(jì)精度也難以得到實(shí)證支持。本文正是在這樣一個(gè)背景下試圖對這一問題做出一些研究和探索。

本文擬通過構(gòu)建具有不同動態(tài)相關(guān)模式的高頻Bi-GARCH模型作為資產(chǎn)收益的代表，對實(shí)現(xiàn)相關(guān)系數(shù)模型捕捉變動金融資產(chǎn)價(jià)格相關(guān)系數(shù)的能力和其他方法進(jìn)行蒙特卡洛比較，以期證明該方法的改進(jìn)與資產(chǎn)收益的相關(guān)系數(shù)變化方式有關(guān)：當(dāng)金融市場相對平穩(wěn)、資產(chǎn)間相關(guān)系數(shù)比較穩(wěn)定時(shí)，此類方法并不明顯地優(yōu)于其它方法；然而當(dāng)金融市場中發(fā)生較為劇烈的變化，導(dǎo)致資產(chǎn)間相關(guān)系數(shù)快速變動時(shí)，此類方法卻能夠大幅提高相關(guān)系數(shù)的估計(jì)精度。

1 模型

考慮一個(gè)包含N個(gè)資產(chǎn)的對數(shù)價(jià)格向量Pt=(p1,p2,…pn)，假設(shè)它服從一個(gè)多元連續(xù)時(shí)間的一般維納過程：dPt=μtdt+ΩtdBt，其中μt表示漂移向量，Ωt表示一個(gè)N×N維的正定擴(kuò)散矩陣，Bt表示一個(gè)N維的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，定義這N個(gè)資產(chǎn)的在時(shí)間長度h內(nèi)的收益率向量為rt+h,h≡Pt+h-Pt，則這一收益率的分布為其中，表示σ域從0≤τ≤h的時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的μt+τ和Ωt+τ的樣本路徑。因此這個(gè)積分形式的擴(kuò)散矩陣給h期內(nèi)的真實(shí)波動率提供了一個(gè)很好的估計(jì)方法。根據(jù)二次方差理論，我們有0，即在一些弱正則條件下，Ht+h幾乎一定收斂于h時(shí)間長度的真實(shí)波動率具體參見 Fleming,Kirby 和 Ostdiek(2003)[19]。因此，我們可以使用日內(nèi)收益率來構(gòu)造積分協(xié)方差的非參數(shù)估計(jì)量。做樣本外預(yù)測時(shí)，我們?yōu)镠t+h配置一個(gè)簡單的隨機(jī)漫步模型（RCRW模型），為的是能讓這樣一個(gè)非參估計(jì)能夠方便的擴(kuò)展到N維（N>>2）的情況，并應(yīng)用到實(shí)際中去。假定上述的時(shí)間長度h為單位時(shí)間1天，并定義第t天的已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣為為一天內(nèi)觀察到高頻數(shù)據(jù)的在特定頻率下取樣的筆數(shù)，比如說5分鐘數(shù)據(jù)在我國股市中一天就有n=48筆數(shù)據(jù)，則模型為：Ht+1=Ht+εt，即簡單地使用第t天的實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣的估計(jì)作為第t+1天的預(yù)測值，也就是：E[Ht+1｜It]=E[Ht+εt｜It]=E[Ht｜It]=（Ht，其中It表示到時(shí)點(diǎn)t為止的信息集。在得到預(yù)測的實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣后，使用資產(chǎn)間實(shí)現(xiàn)協(xié)方差和資產(chǎn)方差之比就可以得到實(shí)現(xiàn)相關(guān)系數(shù)，這一實(shí)現(xiàn)波動率隨機(jī)漫步模型也被稱作為實(shí)現(xiàn)相關(guān)系數(shù)模型。

與RCRW模型的第一個(gè)對比模型是歷史數(shù)據(jù)滾動法，因其原理和操作都簡單易懂而被業(yè)界廣泛使用，在本文的二元環(huán)境中，上式中相關(guān)系數(shù)的估計(jì)可以表示為：

我們在本文中采用100天的時(shí)間窗口，即式中的n=100。第二個(gè)模型我們使用普通的指數(shù)平滑法和已實(shí)現(xiàn)波動率作比較在本文的二元環(huán)境中，上式可以表達(dá)為：

我們在本文中采用業(yè)界通用標(biāo)準(zhǔn)，即使用的標(biāo)準(zhǔn)。以上兩個(gè)模型都因技術(shù)簡單而較易擴(kuò)展到多維情況，然而它們的估計(jì)精度卻很低。第三個(gè)模型我們采用較為復(fù)雜的技術(shù)，即Alexander提出的正交化GARCH模型，簡單的講即找到協(xié)方差矩陣的Cholesky Decomposition形式其中 Lt是一個(gè)下三角矩陣，Gt是對角矩陣是日收益率向量rt的一個(gè)線性組合，它的協(xié)方差矩陣為這一形式的優(yōu)越性在于Lt和Gt可以通過簡單的線性回歸式得到，在本文的二元環(huán)境中，相關(guān)系數(shù)的估計(jì)式可以表達(dá)為：

σ11,t是r1在t期的動態(tài)均方差，可以使用一個(gè)單變量的GARCH模型得到，而βt和分別是下面線性回歸式的系數(shù)和殘差的平方：

本文中我們對（4）式的殘差采用一個(gè)GARCH模型的設(shè)定來代替以得到βt和更好的估計(jì)值，即假設(shè)存在以下異方差形式經(jīng)過上式調(diào)整過的得到的動態(tài)相關(guān)系數(shù)會比原來的簡單正交化GARCH好。

2 動態(tài)相關(guān)的高頻Bi-GARCH模型

我們采用Engle中的方法，測試模型在蒙特卡羅試驗(yàn)中的表現(xiàn)。考慮T個(gè)交易日，把每天的4個(gè)小時(shí)的營業(yè)時(shí)間劃分為m個(gè)等間距的時(shí)間長度，那么第t天的第j筆日內(nèi)收益率可以表示為rt+j/m，由于日內(nèi)收益率相對其波動率來說非常小，因此設(shè)它的均值為0。令日內(nèi)的數(shù)據(jù)產(chǎn)生機(jī)制(DGP)為兩個(gè)相互關(guān)聯(lián)的過程：

其中有：t=1，2，…，T 和 j=1，2，…，m。 為保證此過程的平穩(wěn)性，我們限定 α0>0，α1>0，β1>0 和 α1+β1＜1。 為保證協(xié)方差矩陣的正定性，限定σ12=σ21≥0。為了和我們的實(shí)證結(jié)果相對比，我們在模擬中也采用五分鐘頻率數(shù)據(jù)，即1≤j≤48，m=48，并模擬1000個(gè)交易日的時(shí)間長度。我們將(5)式設(shè)定為一個(gè)高度持久的 GARCH （1，1） 過程：α10=0.01，α11=0.05,β11=0.94；將(6)式設(shè)定為一個(gè)普通的 GARCH(1，1)過程：α20=0.5，α21=0.2,β21=0.5。對于此數(shù)據(jù)產(chǎn)生機(jī)制中的每日相關(guān)系數(shù)ρt=σ12/σ1σ2， 我們將之設(shè)定為 5種情況：(1)恒定的相關(guān)系數(shù) ρt=0.9；(2)正弦變化的相關(guān)系數(shù) ρt=0.5+0.4cos(2πt/200)；(3)快速正弦變化的相關(guān)系數(shù)ρt=0.5+0.4cos(2πt/20)；(4)階段變化的相關(guān)系數(shù) ρt=0.9-0.5I(t>500)，I（t>500）=1，I（else）=0；(5)坡度變化的相關(guān)系數(shù)ρt=mod(t/200)。這樣，我們就得到5對具有不同動態(tài)相關(guān)系數(shù)的數(shù)據(jù)，每一對由兩個(gè)GARCH(1，1)過程組成，其中每一個(gè)GARCH（1，1）有1000個(gè)交易日每天48筆數(shù)據(jù)，共48000筆數(shù)據(jù)。

3 測試結(jié)果

我們在這一小節(jié)采用絕對值誤差均值，就是真實(shí)相關(guān)系數(shù)和模型得到的相關(guān)系數(shù)數(shù)值之差的絕對值之平均值，定義為很明顯具有 MAE 最小值的模型最優(yōu)。表1給出了五種不同相關(guān)系數(shù)下四個(gè)模型的MAE數(shù)值，其中RCRW表示隨機(jī)游走的實(shí)現(xiàn)相關(guān)系數(shù)模型得到的估計(jì)值，HRMA表示歷史滾動移動平滑法，即由（1）式得到的估計(jì)值；EX06表示采用λ=0.94的指數(shù)平滑法,即由（2）式得到的估計(jì)值；OGARCH表示Orthogonal GARCH模型，即由（3）式得到的估計(jì)值。

從表1中可以清楚地看到，無論作為資產(chǎn)收益代表的高頻動態(tài)相關(guān)Bi-GARCH過程呈現(xiàn)出什么樣的相關(guān)變化模式，使用實(shí)現(xiàn)波動率矩陣構(gòu)建的隨機(jī)游走實(shí)現(xiàn)相關(guān)系數(shù)RCRW模型總是可以給出最準(zhǔn)確的估計(jì)值。然而，同時(shí)我們也注意到，使用RCRW模型所得到的改進(jìn)大小也是依賴于相關(guān)系數(shù)的變動模式的：（1）當(dāng)兩類資產(chǎn)收益之間的相關(guān)系數(shù)較為穩(wěn)定的時(shí)候（比如當(dāng)雙GARCH過程的相關(guān)系數(shù)恒定或呈階段模式變動時(shí)），RCRW并沒有顯著的改進(jìn)其他模型的估計(jì)，四類模型所得到的MAE值都相差不大；（2）當(dāng)資產(chǎn)收益間的相關(guān)系數(shù)極度不穩(wěn)定，變動速度較快的時(shí)候（比如這兩個(gè)過程相關(guān)系數(shù)呈正弦，快速正弦和坡度變動），使用實(shí)現(xiàn)波動率矩陣構(gòu)建的RCRW就能夠大幅度的提高相關(guān)系數(shù)的估計(jì)精度。

表1 四種模型在五種動態(tài)相關(guān)系數(shù)下的MAE數(shù)值

4 結(jié)論

本文使用蒙特卡洛隨機(jī)模擬技術(shù)，構(gòu)建了具有不同動態(tài)相關(guān)模式的高頻Bi-GARCH模型對作為金融資產(chǎn)收益序列，以測評各類模型對相關(guān)系數(shù)的估計(jì)精度。在此框架下，本文將使用多元實(shí)現(xiàn)波動率矩陣構(gòu)建的RCRW模型和其他類別的相關(guān)系數(shù)模型作了對比研究。研究發(fā)現(xiàn)，雖然該方法能夠普遍改進(jìn)模型的估計(jì)精度，但改進(jìn)的程度依賴于資產(chǎn)間相關(guān)系數(shù)的變化模式：當(dāng)金融資產(chǎn)價(jià)格相關(guān)系數(shù)恒定或相對穩(wěn)定時(shí)，此類方法并不明顯優(yōu)于其它方法；然而當(dāng)資產(chǎn)價(jià)格相關(guān)系數(shù)快速變動時(shí)，此類方法能夠大幅提高估計(jì)精度，明顯地優(yōu)于其它方法。 這說明實(shí)現(xiàn)相關(guān)系數(shù)模型在金融市場發(fā)生劇烈快速波動時(shí)較其他方法更為有效。

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