幾種不同模型參數(shù)估計法的性能分析

聶建棟,衛(wèi)紅凱,李 猛

(1.海軍駐武漢438廠軍事代表室,武漢430033;2.海軍工程大學(xué),武漢 430033;3.海軍 704廠,青島 266109)

0 引 言

功率譜估計是利用給定的樣本估計隨機(jī)信號的功率譜密度,表征信號能量隨頻率的分布特性。最初的譜估計方法有周期圖法和自相關(guān)法,稱為經(jīng)典功率譜估計法。周期圖法假設(shè)觀察數(shù)據(jù)區(qū)域外的數(shù)據(jù)為零,自相關(guān)法假設(shè)數(shù)據(jù)在延遲窗以外的自相關(guān)函數(shù)為零,2種方法均無法實(shí)現(xiàn)功率譜密度原始定義中的求均值和求極限的運(yùn)算,使得其在功率譜估計中不僅方差性能較差,而且分辨率較低,難以與實(shí)際功率譜匹配。

為了克服這些缺點(diǎn),Yule通過用線性回歸方程模擬時間序列,奠定了現(xiàn)代譜估計的基礎(chǔ)。隨后,國內(nèi)外學(xué)者在此基礎(chǔ)上進(jìn)行研究和改進(jìn),極大促進(jìn)了現(xiàn)代譜估計法的發(fā)展。

參數(shù)模型法是現(xiàn)代譜估計的重要內(nèi)容,它將信號看成是隨機(jī)輸入序列通過線性系統(tǒng)的輸出,由此建立模型來估計信號的功率譜。參數(shù)模型估計法主要有自回歸(AR)模型、移動平均(MA)模型和自回歸-移動平均(ARMA)模型。

AR模型是全極點(diǎn)模型,由線性方程組描述;MA模型是全零點(diǎn)模型,可用高階的AR模型來近似;ARMA模型是極點(diǎn)和零點(diǎn)共存的模型,由非線性方程描述。本文主要分析AR模型對不同參數(shù)的估計方法及ARMA模型的性能,并通過仿真實(shí)例研究了不同方法對模型參數(shù)估計精度的影響。

1 AR模型

對于AR模型,其數(shù)學(xué)表示式為:

式中:u(n)、x(n)為實(shí)平穩(wěn)的隨機(jī)信號,u(n)為白噪聲,方差為 σ2。

則其正則方程為:

式中:rx(m)為 x(n)的自相關(guān)函數(shù);a1,…,ap,σ2為p階AR模型的待求參數(shù)。

若已知自相關(guān)函數(shù)rx(0),rx(1),…,rx(p),根據(jù)正則方程求出模型參數(shù),并估計出信號x(n)的功率譜。當(dāng)只約束前向預(yù)測誤差,即為直接法;當(dāng)對前后向預(yù)測誤差均做約束時,即為Burg算法。

2 ARMA模型

ARMA模型是AR模型及MA模型的綜合。ARMA模型的求解步驟為:根據(jù)相關(guān)函數(shù)得到AR參數(shù)a(k),k=1,…,p,并據(jù)此用有限沖激響應(yīng)(FIR)濾波器對輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波,近似得到MA模型,求得MA參數(shù)b(k),k=1,…,q,從而得到ARMA模型的功率譜。根據(jù)AR模型及MA模型正則方程的推導(dǎo),則可得 ARMA模型的正則方程為:

式中:h(k)為a(k)和b(k)的函數(shù)。

3 仿真實(shí)例

算例中,仿真信號x(n)為白噪聲通過三階FIR系統(tǒng)后輸出信號混疊3個不同頻率的實(shí)正弦信號。白噪聲的均值為零,方差為1。各正弦信號的歸一化頻率為 f1=0.18,f2=0.3,f3=0.31;幅度為A1=1.4,A2=52.6,A3=57.2。

3.1 AR模型自相關(guān)法估計信號功率譜

由于模型參數(shù)估計中,模型階數(shù)的選擇也會對模型參數(shù)的求解精度產(chǎn)生影響,因此,在仿真中也充分考慮了這一點(diǎn),分析比較了不同階次對參數(shù)估計的影響。圖1為模型階數(shù)p=5,10,15,20時信號的頻譜估計圖。

圖1 自相關(guān)法不同階數(shù)下信號功率譜估計

由圖1可知,自相關(guān)法對小信噪比信號(f1=0.18)識別能力差,譜估計質(zhì)量與模型階次的取值有直接關(guān)系,當(dāng)模型階數(shù)較小時,無法分辨出相鄰頻率(f2=0.3,f3=0.31)的信號;隨著階次的增大,其對相鄰頻率的分辨力提高,能識別出相鄰頻率信號,但可能產(chǎn)生譜分裂現(xiàn)象(如p=25時,在0.18附近)。

3.2 AR模型Burg法估計信號功率譜

同樣在仿真中,也比較不同階次下對Burg法參數(shù)估計精度的影響,并將估計結(jié)果與自相關(guān)法的估計結(jié)果進(jìn)行比較。圖2為模型階數(shù)為p=5,10,15,20時信號的頻譜估計圖。

圖2 Burg法不同階數(shù)下信號功率譜估計

由圖2可知,Burg法對功率譜的估計效果要好于自相關(guān)法,這是由于其對前后向預(yù)測誤差均有約束。因此,Burg法不僅能識別小信噪比信號(f1=0.18),而且可識別相鄰峰值的2個信號(f2=0.3,f3=0.31)。隨著模型階次的增加,信號的分辨率增大,但會產(chǎn)生虛假的峰值(如階數(shù)p=25時)。

3.3 ARMA模型估計信號功率譜

仿真條件同上,則不同階次下ARMA模型估計的功率譜如圖3所示。

圖3 ARMA模型不同階次下,不同時延對應(yīng)的功率譜估計

由圖3可知:ARMA模型對功率譜的估計效果與模型階次及信號自相關(guān)函數(shù)最大延遲的選取有關(guān)。當(dāng)模型階次選擇不恰當(dāng)時(p=4,q=5),無法識別小信噪比信號。模型階次確定后,當(dāng)最大延遲取值為40時,對小信噪比信號(f1=0.18)的識別不明顯,且由于MA部分的加入,使得波谷產(chǎn)生,模型對信號譜估計比較容易產(chǎn)生頻率漂移現(xiàn)象。

4 結(jié)束語

參數(shù)模型法在現(xiàn)代譜估計中具有重要作用,信號功率譜的估計精度不僅受不同參數(shù)估計方法的影響,也受模型階次的影響。當(dāng)階次選擇過低時,譜的平滑度好,但分辨率差;當(dāng)階次選擇過高時,容易產(chǎn)生虛假峰值。因此,階次的選擇需要根據(jù)實(shí)際問題,具體分析,通常是對結(jié)果做多次比較后,予以確定。

[1]Hayes M H.StatisticalDigitalSignal Processing and Modeling[M].New York:John Wiley&Sons,Inc.,1996.

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[3]徐立軍,張銳,楊紅兵.A RM A譜估計簡介及方法[J].重慶科技學(xué)院學(xué)報,2005(2):78-80.