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    Welch譜估計(jì)的隨機(jī)誤差與置信度

    2015-02-06 07:48:55朱學(xué)旺劉青林張思箭
    裝備環(huán)境工程 2015年1期
    關(guān)鍵詞:譜估計(jì)置信置信區(qū)間

    朱學(xué)旺,劉青林,張思箭

    (中國工程物理研究院總體工程研究所,四川 綿陽 621999)

    振動環(huán)境工程研究中,通常采用Welch方法來獲得隨機(jī)振動信號的功率譜密度估計(jì)(Welch譜估計(jì))[1—2]。Welch譜估計(jì)本質(zhì)上是修正周期圖方法的一種,其做法是通過對振動信號的分段平滑、數(shù)據(jù)重疊以及加窗處理等技術(shù),以達(dá)到降低譜估計(jì)方差的目的。Welch譜估計(jì)是一致估計(jì),即當(dāng)用于譜估計(jì)的每段數(shù)據(jù)足夠長且數(shù)據(jù)段足夠多時,Welch譜估計(jì)結(jié)果的偏差和方差均等于0或趨于0[3—4]。令人遺憾的是,工程中用于譜估計(jì)的數(shù)據(jù)總是有限的,既不能保證每段數(shù)據(jù)足夠長,也不能保證數(shù)據(jù)段足夠多,即使對于平穩(wěn)隨機(jī)過程也是如此。為了便于操作,GJB 150.16A[5]和 MIL-STD-810F[6]對 Welch 譜估計(jì)給出了推薦要求:統(tǒng)計(jì)自由度不少于120,在試驗(yàn)頻帶內(nèi)至少保證400線。換句話說,至少要60段數(shù)據(jù),每段數(shù)據(jù)的長度要確保譜分析后的帶寬小于5 Hz(當(dāng)試驗(yàn)頻率上限為2000 Hz時)。在這種狀態(tài)(自由度取128)下獲得的Welch譜估計(jì),可以證明其隨機(jī)誤差與相同自由度χ2的隨機(jī)誤差相同(約為12.5%)。也就是說,該Welch譜估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差與其均值(真值)的比為12.5%,但是其在一定置信概率下的置信區(qū)間并不知道。

    為了提高welch估計(jì)的精度,加窗技術(shù)的研究一直受到相關(guān)研究人員的關(guān)注[7]。合理的窗函數(shù),可以減小因?yàn)閿?shù)據(jù)截?cái)鄮淼哪芰啃孤?,繼而減小譜估計(jì)的系統(tǒng)誤差。譜估計(jì)的精度可以采用估計(jì)的偏差與估計(jì)的方差表示,小的方差表明單次估計(jì)接近真值的可能性大,是一種定性描述[3]。Welch譜估計(jì)的精度也可以定量描述,此時將譜估計(jì)結(jié)果作為一個隨機(jī)變量的一次實(shí)現(xiàn),可采用置信度分析方法獲得其置信度與置信區(qū)間。文獻(xiàn)[8—10]采用定量方法討論了Welch譜估計(jì)的精度。針對不同的分布概率,其置信度分析的重點(diǎn)各異,文獻(xiàn)[11]對置信度分析的現(xiàn)狀進(jìn)行了總結(jié),而文獻(xiàn)[12—13]對t分布變量的置信區(qū)間開展了專門研究。形式上,Welch譜估計(jì)可以表述為多個變量的平方和,與數(shù)學(xué)上定義的χ2分布變量具有類似的形式。一些經(jīng)典的譜分析論著在討論譜估計(jì)時也直接給出了與χ2分布變量相同的隨機(jī)誤差[3,14—15],卻沒有進(jìn)行詳細(xì)的說明。文中給出了Welch譜估計(jì)隨機(jī)誤差的導(dǎo)出過程,試圖證明其正確性。另外,為了進(jìn)一步理解Welch譜估計(jì)隨機(jī)誤差的物理意義,研究了Welch譜估計(jì)結(jié)果的置信概率及對應(yīng)的置信區(qū)間。通過正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)化處理,能夠?qū)ⅵ?變量的置信度分析方法應(yīng)用于Welch譜估計(jì)結(jié)果的置信度分析。

    1 χ2變量統(tǒng)計(jì)分析方法[14]

    數(shù)學(xué)上定義的χ2(n)變量為n個獨(dú)立的N(0,1)變量x1,x2,…,xn的平方和。即:

    獲得χ2(n)的均值m和方差σ2:

    以均值和方差表述隨機(jī)過程χ2(n)的隨機(jī)誤差為:

    χ2(n)變量的概率分布p(Z=χ2(n))為:

    置信概率與置信區(qū)間存在以下關(guān)系:

    式中:a,b分別為置信區(qū)間的下限和上限,可查表得到I(a,n),I(b,n)后反推獲得。自由度數(shù)較大的χ2(n)變量的分位數(shù)見表1,不同置信概率80%,95%,99%下的置信區(qū)間結(jié)果(利用了對稱性假設(shè))如圖1所示[16]。

    已知置信區(qū)間的上下限a,b時,可直接求得其對應(yīng)的置信概率;反之,已知置信概率也可以導(dǎo)出對應(yīng)的置信區(qū)間,只是此時需要假定上下限之外的概率分布。通常的做法是假定對稱[16],即小于置信區(qū)間下限的概率與大于置信區(qū)間上限的概率相等。

    表1 χ2(n)分布的概率分布Table 1 Probability contribution of large D.O.F.χ2(n)variable

    圖1 χ2(n)變量的置信區(qū)間隨統(tǒng)計(jì)自由度的變化Fig.1 Relationship between confidence interval and D.O.F.of χ2(n)variable

    2 Welch譜估計(jì)的隨機(jī)誤差

    為了導(dǎo)出Welch譜估計(jì)隨機(jī)誤差的表達(dá)式,首先回顧Welch譜估計(jì)方法。本質(zhì)上,Welch譜估計(jì)是B-T估計(jì)的一種修正,其技術(shù)特點(diǎn)是加窗、分段平滑和重疊。具體過程是:將N個數(shù)據(jù){x(0),x(1),…,x(N-1)}分為K段,每段數(shù)據(jù)長度為L,其中有L-D個數(shù)據(jù)為相鄰段的重疊數(shù)據(jù)(D≤L),則:

    第i段的L個數(shù)據(jù)為:

    對每一段數(shù)據(jù)進(jìn)行加窗處理,并分別計(jì)算其B-T周期圖,有:

    然后對各周期圖進(jìn)行平滑處理,獲得N個數(shù)據(jù)的Welch譜估計(jì):

    由公式(5),(6)可知,Welch譜估計(jì)與原始信號(已經(jīng)加窗處理)傅立葉變換的實(shí)部與虛部的平方和成正比。這樣,公式(6)可改寫為:

    可以證明,當(dāng)原始信號滿足零均值正態(tài)分布時,其傅立葉變換的實(shí)部與虛部也滿足零均值正態(tài)分布,且相互獨(dú)立[15],但是,不能保證其方差為1。為了能夠利用第1節(jié)的結(jié)論,對傅立葉變換的實(shí)部與虛部進(jìn)行正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)化處理,此時,式(7)改寫為:

    式中:θ=γλ2,λ為傅立葉變換的實(shí)部與虛部的標(biāo)準(zhǔn)差(假設(shè)其相同)。顯然,

    3 Welch譜估計(jì)的置信分析

    這樣,便可以獲得相應(yīng)的置信概率。

    4 算例及分析

    算例一[14]:假定譜估計(jì)結(jié)果S0滿足χ2分布,其分析自由度為10,則其在置信概率為80%的置信區(qū)間為(4.87,15.99),即:

    式中:SM為譜估計(jì)變量的統(tǒng)計(jì)均值。

    相應(yīng)地,99%的置信概率對應(yīng)的置信區(qū)間為:0.397S0<SM<4.63S0。

    算例二:假定S0的自由度為64,重復(fù)算例一的計(jì)算過程。其結(jié)果為:0.82S0<SM<1.28S0對應(yīng)于置信概率80%;0.66S0<SM<1.66S0對應(yīng)于置信概率99%。

    算例三:假定S0的自由度為128,重復(fù)算例一的計(jì)算過程。其結(jié)果為:0.86S0<SM<1.19S0對應(yīng)于置信概率80%;0.74S0<SM<1.41S0對應(yīng)于置信概率99%。

    從上述3個算例可以看出,隨著自由度的增加,Welch譜估計(jì)的置信區(qū)間越來越趨向于均值集中。應(yīng)用公式(12)可知,上述結(jié)果同樣適用于工程中經(jīng)常出現(xiàn)的高斯過程(均值為0,方差不等于1)的Welch譜估計(jì)。

    GJB 150.16A和MIL-STD-810F都推薦譜估計(jì)的自由度要大于120,下面針對算例三進(jìn)行專門分析。其結(jié)果表明,對應(yīng)于置信概率80%,128自由度的Welch譜估計(jì)的均值在估計(jì)值的0.86~1.19倍之間,換句話說,估計(jì)值可能是均值的0.84~1.16倍;對應(yīng)于置信概率99%,128自由度的Welch譜估計(jì)的均值在估計(jì)值的0.74~1.41倍之間,即估計(jì)值可能是均值的0.71~1.35倍。這一結(jié)果應(yīng)該引起工程界的重視,因?yàn)楂@得的Welch譜估計(jì)可能比真實(shí)的譜高,也可能低。

    128自由度的Welch譜估計(jì)的隨機(jī)誤差為12.5%,用此構(gòu)造相對置信區(qū)間,則具有相同置信概率的χ2變量的置信區(qū)間為(87.5%×128,112.5%×128),對應(yīng)的置信概率為68.4%。這是一個令人遺憾的結(jié)果,其表明128自由度的Welch譜估計(jì)結(jié)果僅有68.4%的置信概率能夠?qū)崿F(xiàn)其結(jié)果在真值的上下12.5%的范圍內(nèi)。

    為了提高置信概率(依然以均值的上下波動12.5%作為相對置信區(qū)間),增加Welch譜估計(jì)的自由度,例如自由度取512,則其置信概率為95.5%。即有95.5%的可能,保證512自由度的Welch譜估計(jì)結(jié)果在均值的上下12.5%的范圍內(nèi),此時,Welch譜估計(jì)的隨機(jī)誤差為6.25%。從這個意義上說,也許標(biāo)準(zhǔn)推薦的Welch譜估計(jì)的自由度120未必合適,尤其對于具有長數(shù)據(jù)的平穩(wěn)隨機(jī)振動的項(xiàng)目。

    5 結(jié)論

    1)Welch譜估計(jì)的隨機(jī)誤差與標(biāo)準(zhǔn)χ2變量的隨機(jī)誤差相同,僅與統(tǒng)計(jì)自由度有關(guān)。

    2)基于χ2變量的置信分析方法可以應(yīng)用于Welch譜估計(jì)的置信分析。

    3)128自由度的Welch譜估計(jì)的隨機(jī)誤差為12.5%,以此作為譜估計(jì)的相對置信區(qū)間,其置信概率僅為68.4%,若要提高置信概率到95%,則Welch譜估計(jì)的自由度要512以上,此時的隨機(jī)誤差小于6.25%。

    4)結(jié)論未考慮χ2變量概率密度函數(shù)的不對稱性。

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