含參題型與高考走勢

● (武嶺中學 浙江奉化 315502) ● (奉化中學 浙江奉化 315500)

1 高考展望

1.1 考點回顧

含參數問題歷來是各地高考的必考內容，在選擇題、填空題和解答題上均有廣泛分布.這類題型涉及的知識點多，綜合性強，難度大，要求高，常和函數、方程、數列、不等式、導數、圓錐曲線等內容有機結合.與傳統(tǒng)的不含參數問題相比，含參問題無論是對問題的理解、研究和分析，還是解題的方法和思路，都有更高的要求，考生往往感到比較困難，而參數問題的廣泛性、抽象性和靈活性也決定了其作為高考常客的必然性.

從浙江省近3年的高考試題來看，含參問題一般為1～2道客觀題和1～2道主觀題，約占全卷分值的20%，且理科難度明顯高于文科.在其分值比例大體穩(wěn)定的前提下，含參問題在試卷中的位置相對靠后，顯示了近幾年高考對這方面的要求較高.

1.2 命題走勢

隨著新課程改革的逐步深入，根據《考試大綱》對數學基礎知識的考查“既要全面又要突出重點，并注重學科的內在聯系和知識的綜合性”及對創(chuàng)新意識的考查“構造有一定深度和廣度的數學問題，注重問題的多樣性和思維的發(fā)散性”的要求，對含參問題的考查重點將突出“用變量和函數的觀點來思考和解決相關問題”.在解決這類問題時，需從分析問題的結構入手，找到其主要特征，抓住某一關鍵參變量，選取變元進行替換，或者通過尋找問題中已知量和參變量之間的數量關系，構造函數關系式，從而使問題獲得解決.此外，《考試大綱》所要求重點掌握的函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想、分類討論思想等重要數學思想和一些常規(guī)的解題方法也會通過對含參題型的考查而得到充分體現.

2 典例剖析

2.1 函數中的含參問題

(1)求函數f(x)的單調區(qū)間.

(2)設g(a)為f(x)在區(qū)間[0,2]上的最小值.

①寫出g(a)的表達式；

②求a的取值范圍，使得-6≤g(a)≤-2.

(2008年浙江省數學高考試題)

分析本題主要考查函數的單調性、導數的應用、分段函數的表示方法等基礎知識，同時考查分類討論思想以及綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力.

解(1)由題意得函數的定義域為[0,+∞)，則

若a≤0，則f′(x)>0，f(x)有單調遞增區(qū)間[0,+∞)．

(2)①若a≤0，因為f(x)在[0,2]上單調遞增，所以

g(a)=f(0)=0．

若a≥6，f(x)在[0,2]上單調遞減，則

點評根據參數的不同取值，結合分類討論思想，確定函數的單調性和取值，是高考的一種常見題型.在解題時,要認真分析參數變化與結論的因果關系，注意特殊情形，提高解題速度，簡化解題過程，避免或減少失誤.

2.2 方程中的含參問題

例2已知以T=4為周期的函數f(x)，當x∈(-1,3]時，

其中m>0.若方程3f(x)=x恰有5個實數解，則m的取值范圍為

( )

(2009年重慶市數學高考試題)

答案B.

分析本題以一個分段函數為載體來判斷方程解的問題，考查的知識點包括：函數周期性，含絕對值函數圖像的畫法，以及圓錐曲線的性質、圖像.

圖1

(9m2+1)x2-72m2x+135m2=0.

令Δ>0,解得

點評在解決這類交點或實數根個數問題時，可根據方程的解與相應函數的圖像和軸交點之間的關系，以及函數零點與方程根之間的關系，利用數形結合的思想，將問題有效轉化.本題的難點是周期性對半橢圓位置的影響，求參數的范圍時也可以通過變量分離方法轉化為求函數的值域問題，但求解過程相對較為困難.

2.3 不等式中的含參問題

(1)已知函數f(x)在x=1處取得極值，求a的值；

(2)已知不等式f′(x)>x2-x-a+1對任意a∈(0,+∞)都成立，求實數x的取值范圍.

(2008年安徽省數學高考試題)

分析本題主要考查函數的極值和不等式的恒成立問題，難點在于對含參數不等式的恒成立含義的準確解讀.

解(1)f′(x)=ax2-3x+(a+1).由于函數f(x)在x=1處取得極值，因此f′(1)=0,即

a-3+a+1=0,

解得a=1.

(2)由題設知

ax2-3x+(a+1)>x2-x-a+1

對任意a∈(0,+∞)都成立，即

a(x2+2)-x2-2x>0

解得

-2≤x≤0,

故x的取值范圍是-2≤x≤0.

點評含參數的不等式恒成立問題是近幾年高考的熱點，往往具有一定的綜合性.解決這類問題經常運用如下的等價轉化數學思想：若函數f(x)的定義域為D，則當x∈D時，有f(x)≥M恒成立?f(x)min≥M；f(x)≤M恒成立?f(x)max≤M.因而，含參數不等式的恒成立問題可根據不等式的結構特征，恰當地構造函數，等價轉化為含參數函數的最值問題加以解決.

另外，本題還可以a為主元，構造函數g(a)=a(x2+2)-x2-2x(a∈R),則對任意x∈R，函數g(a)單調遞增(a∈R)，因此對任意a∈(0,+∞)，使g(a)>0恒成立的充分必要條件是g(0)≥0，即-x2-2x≥0，于是x的取值范圍是-2≤x≤0.像這樣，以某一參變量為主元，而將其余的參變量看作常量，是解決含參問題行之有效的一種方法.

2.4 線性規(guī)劃中的含參問題

(2008年浙江省數學高考試題)

分析若由ax+by≤1恒成立得

1≥ax+by=zmax，

于是

再用線性規(guī)劃知識求解，則顯得十分繁難.如果通過消元選擇某個未知數為主元，再根據條件確定參數范圍，那么可使問題順利獲解.

解由x+y≤1得到y(tǒng)≤1-x，則

ax+b(1-x)≤1

對x∈[0,1]恒成立，即

(a-b)x+b-1≤0

對x∈[0,1]恒成立.令f(x)=(a-b)x+b-1，則

解得

0≤a≤1,0≤b≤1.

所以點P(a,b)所形成的平面區(qū)域的面積等于1.

點評本題主要考查線性規(guī)劃中的平面區(qū)域問題，其難點是含雙參數的一次不等式恒成立的幾何意義.解題的關鍵是通過多元化歸、分離主元等方法確定參數a,b的取值范圍.

本題也可利用如下特殊與一般的思想求解：由ax+by≤1恒成立,知當x=0時，by≤1恒成立，從而

所以

0≤b≤1，

同理可得0≤a≤1.故以a,b為坐標的點P(a,b)所形成的平面區(qū)域是一個邊長為1的正方形，面積為1.

2.5 導數中的含參問題

例5設函數f(x)=xekx(k≠0).

(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

(2)求函數f(x)的單調區(qū)間；

(3)若函數f(x)在區(qū)間(-1,1)內單調遞增，求k的取值范圍.

(2009年北京市數學高考試題)

分析本題主要考查利用導數求曲線的切線方程、研究函數的單調性等基礎知識，以及分類討論和綜合分析、解決問題的能力．

解(1)f′(x)=(1+kx)ekx,則

f′(0)=1,f(0)=0,

曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=x.

(2)由f′(x)=(1+kx)ekx=0，得

綜上所述，函數f(x)在(-1,1)內單調遞增時，k的取值范圍是[-1,0)∪(0,1].

點評導數進入中學數學教材，給傳統(tǒng)的中學數學內容注入了生機與活力，也為中學數學問題的研究提供了新的視角和方法，拓寬了高考的命題空間.在導數中引入參數，結合函數性質對參數進行分類討論，是近幾年高考的熱點之一.

2.6 圓錐曲線中的含參問題

圖2

(1)求橢圓C的方程.

(2)若AB為垂直于x軸的動弦，直線l:x=4與x軸交于點N，直線AF與BN交于點M.

①求證：點M恒在橢圓C上；

②求△AMN面積的最大值.

(2008年福建省數學高考試題)

分析本題主要考查直線與橢圓的位置關系、軌跡方程、不等式等基本知識，考查運算能力和綜合解題能力.

解(1)由題設得a=2,c=1,從而

b2=a2-c2=3,

(2)①由題意得F(1,0),N(4,0).設A(m,n),則B(m,-n)(n≠0),從而

AF與BN的方程分別為

n(x-1)-(m-1)y=0;

n(x-4)+(m-4)y=0.

設M(x0,y0),則

(1)

(2)

由式(1)，式(2)得

所以點M恒在橢圓C上.

(3t2+4)y2+6ty-9=0.

設A(x1,y1),M(x2，y2)，則

令3t2+4=λ(λ≥4)，則

因為λ≥4，得

點評本題看似不含參數，但在點的坐標、直線方程和求函數的最值時引入適當的參數，從而得到關于參數的方程或不等式，這是解析幾何的重要內容，體現了引參求變、變中求定的思維策略.

另外，本題第(2)①小題也可通過如下的“交軌法”來求：由直線AF與BN的方程可得

這種利用曲線和方程對應關系直接消參的技巧值得仔細品味.