不等式恒成立問題分析與展望

● (西湖高級中學(xué) 浙江杭州 310002) ● (學(xué)軍中學(xué) 浙江杭州 310012)

恒成立問題，因?yàn)槠湓O(shè)問靈活，能夠在考查思維的靈活性、創(chuàng)造性能力方面起到獨(dú)特的作用，也有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，因此成了高考命題的一個(gè)熱點(diǎn).自2005年以來，盡管浙江省數(shù)學(xué)高考試題中的“恒成立問題”僅出了3道，但其特色明顯、含義深刻.從題型上看，有選擇題、填空題和壓軸題;從數(shù)學(xué)思想方法來看，幾乎囊括了函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合以及分類討論等.本文擬對不等式恒成立問題的一般題型和解題方法進(jìn)行分析，并對未來可能出現(xiàn)的“恒成立問題”作出展望.

1 一般題型和解題方法分析

下面通過具體的例題全面介紹“不等式恒成立”問題的一般題型和解題方法.

例1已知對任意θ都有cos2θ-2msinθ-2m-2恒小于0，求m的取值范圍.

解法1(函數(shù)最值分析法)設(shè)

y=cos2θ-2msinθ-2m-2=

-(sinθ+m)2+m2-2m-1.

因?yàn)?1≤sinθ≤1,所以考查函數(shù)的最小值:

(1)當(dāng)-1≤m≤1時(shí),得sinθ=-m，y的最大值為m2-2m-1.由m2-2m-1<0,得

于是

(2)當(dāng)m>1時(shí),得sinθ=-1，y的最大值為-2<0恒成立.

所以

即

例2某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同.為了保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量應(yīng)不超過多少輛？

略解設(shè)2001年末的汽車保有量為a1，以后每年末的汽車保有量依次為a2,a3…，每年新增汽車x萬輛.由題意得

原題可轉(zhuǎn)化為求當(dāng)an≤60恒成立時(shí)x的取值范圍.于是解得

右端是關(guān)于n的減函數(shù).當(dāng)n→+∞時(shí)，它趨于3.6，故要對一切自然數(shù)n滿足an≤60，應(yīng)有x≤3.6,即每年新增汽車應(yīng)不超過3.6萬輛.

例3設(shè)不等式2x-1>m(x2-1)對滿足|m|≤2的一切實(shí)數(shù)m的取值都成立,求x的取值范圍.

說明求解本題的關(guān)鍵是變換角度，以參數(shù)m作為自變量構(gòu)造函數(shù)式，不等式問題變成函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題.本題有別于關(guān)于x的不等式2x-1>m(x2-1)的解集是[-2,2]時(shí)求m的值、關(guān)于x的不等式2x-1>m(x2-1)在[-2,2]上恒成立時(shí)求m的范圍.

一般地，在一個(gè)含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問題中，確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問題更明朗化.或者在含有參數(shù)的函數(shù)中，將函數(shù)自變量作為參數(shù)，而參數(shù)作為函數(shù)，更具有靈活性，從而巧妙地解決有關(guān)問題.

2 不等式恒成立問題熱點(diǎn)命題展望

(1)數(shù)列與不等式結(jié)合是構(gòu)造恒成立問題的熱點(diǎn).

f(n+1)-f(n)=

因此

f(n+1)>f(n).

解得

(2)含參數(shù)二次函數(shù)(三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù))在某一區(qū)間上恒成立問題或零點(diǎn)存在問題也是熱點(diǎn).

例5已知函數(shù)f(x)=x2+ax+3-a，在R上f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍.

解Δ=a2-4(3-a)=a2+4a-12≤0,

解得

-6≤a≤2.

變式1若當(dāng)x∈[-2,2]時(shí)，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍.

分析要使x∈[-2,2]，f(x)≥0恒成立，只需f(x)的最小值g(a)≥0即可,解得

-7≤a≤2.

變式2若當(dāng)x∈[-2,2]時(shí)，f(x)≥2恒成立，求a的取值范圍.

分析要證明f(x)≥2在[-2,2]上恒成立，若把2移到等號的左邊，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間[-2,2]時(shí)恒大于等于0的問題.

解令g(x)=x2+ax+3-a-2≥0，

則原題可轉(zhuǎn)化為求g(x)=x2+ax+1-a≥0在[-2,2]上恒成立的a的取值范圍.

方法1(1)當(dāng)Δ=a2-4(1-a)≤0時(shí),解得

(2)當(dāng)Δ=a2-4(1-a)>0時(shí),得方程組

解得

方法2(運(yùn)用根的分布)

g(a)=f(-2)=7-3a≥2,

解得

因此a不存在.

解得

因此

g(a)=f(2)=7+a≥2,

解得a≥-5,因此

-5≤a<-4.

(3)把不等式進(jìn)行合理的變形后，利用數(shù)形結(jié)合思想解題仍然是熱點(diǎn),這種方法對于選擇題、填空題顯得更靈活、快捷.

精題集粹

( )

A.0 B.1 C.2 D.3

(2005年湖北省數(shù)學(xué)高考試題)

2.對于滿足|a|≤2的所有實(shí)數(shù)a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范圍______.

4．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an,前n項(xiàng)和為Sn，且an是Sn與2的等差中項(xiàng)，數(shù)列{bn}中,b1=1，點(diǎn)P(bn,bn+1)在直線x-y+2=0上.

(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式an,bn;

5．若函數(shù)

的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案

1.B

2.(-∞,-1)∪(3,+∞) 3.-1≤a≤0

4.略解(1)an=2n,bn=2n-1.

(2)Bn=1+3+5+…+(2n-1)=n2，

故

(1)

(2)

式(1)-式(2)得

即

又

所以滿足條件Tn

解得a=1.

(2)當(dāng)a2-1≠0，即

時(shí)，有

解得

1

綜上所述，f(x)的定義域?yàn)镽時(shí)，a∈[1,9].