“3個(gè)二次”的命題趨勢(shì)、題型與策略

● (學(xué)軍中學(xué) 浙江杭州 310012)

在高中數(shù)學(xué)中，“3個(gè)二次”是以二次函數(shù)為中心，運(yùn)用二次函數(shù)的圖像、性質(zhì)把其余“2個(gè)二次”串聯(lián)起來(lái)，構(gòu)成知識(shí)系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，而且這“3個(gè)二次”也是研究其他內(nèi)容的基礎(chǔ)工具.高考對(duì)“3個(gè)二次”的考查往往滲透在其他知識(shí)的考查之中，并且大都出現(xiàn)在解答題之中，特別是與不等式、導(dǎo)數(shù)以及解析幾何等高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)的結(jié)合成為其一大亮點(diǎn).其考查的重點(diǎn)是二次函數(shù)的圖像與最值、一元二次方程以及根的分布等內(nèi)容.在2009年全國(guó)新課程高考數(shù)學(xué)的理科試卷中，每套均含有有關(guān)“3個(gè)二次”的試題.

1 命題趨勢(shì)

二次函數(shù)與二次方程、二次不等式的交匯自然貼切、一脈相承，縱觀(guān)歷年的高考試題，以“3個(gè)二次”為紐帶編制而成的綜合題立意新穎、靈活性強(qiáng)，對(duì)各種能力和思想方法都提出了很高的要求.2010年高考命題的趨勢(shì)主要表現(xiàn)在：(1)與二次函數(shù)的圖像、性質(zhì)有關(guān)的選擇題、填空題；(2)以二次方程的根的分布、在限定區(qū)間上的二次函數(shù)的最值、含參數(shù)的二次不等式恒成立、二次不等式的解法、二次方程的解法為基點(diǎn)與其他知識(shí)的交匯，尤其是與三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、解析幾何的交匯問(wèn)題.

2 題型與策略

題型1二次函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題

解決有關(guān)二次函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題，關(guān)鍵是熟悉二次函數(shù)的圖像、定義域、值域、對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性、奇偶性等.

( )

A.{1,2} B.{1,4}

C.{1,2,3,4} D.{1,4,16,64}

(2009年福建省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析利用換元法，設(shè)f(x)=y，原方程化為my2+ny+p=0,根據(jù)此一元二次方程的根的情況與二次函數(shù)f(x)的圖像的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行分析.

題型2限定區(qū)間上的二次函數(shù)最值(值域)問(wèn)題

求限定區(qū)間上的二次函數(shù)的最值(值域)問(wèn)題，要看開(kāi)口方向以及對(duì)稱(chēng)軸在該區(qū)間的相對(duì)位置，即對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間的左側(cè)、右側(cè)、區(qū)間內(nèi)，因而引起分類(lèi)討論.二次函數(shù)在閉區(qū)間上必存在最大值和最小值，它們分別在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得.

例2已知二次函數(shù)f(x)=-x2+2x，是否存在實(shí)數(shù)m,n(m

分析這是限定區(qū)間上的二次函數(shù)的值域(最值)問(wèn)題，按常見(jiàn)思路需要分類(lèi)討論;若根據(jù)二次函數(shù)f(x)在[m,n]上的值域是二次函數(shù)f(x)在R上的值域的子集，則可以避免分類(lèi)討論.

解假設(shè)滿(mǎn)足題設(shè)條件的m,n存在.因?yàn)?/p>

f(x)=-(x-1)2+1≤1,

所以

[4m,4n]?(-∞,1]，

即

解得

又m

題型3一元二次方程的根的分布問(wèn)題

解決這類(lèi)問(wèn)題有2種基本策略：一是利用韋達(dá)定理，如一元二次方程ax2+bx+c=0在(1,+∞)上有2個(gè)不等的實(shí)根,等價(jià)于

二是利用二次函數(shù)的圖像，譬如一元二次方程ax2+bc+c=0(a>0)在(1,+∞)上有2個(gè)不等的實(shí)根,等價(jià)于

其中f(x)=ax2+bx+c.

例3已知函數(shù)f(x)=|x2-1|+x2+kx.

(1)若k=2，求方程f(x)=0的解;

分析根據(jù)絕對(duì)值的意義，將含有絕對(duì)值的方程化為一元二次方程或一元一次方程.

解(1)當(dāng)x2-1≥0,即x≤-1或x≥1時(shí)，2x2+2x-1=0,解得

因?yàn)榉匠?+kx=0在(0,1]上至多有1個(gè)實(shí)根，方程2x2+kx-1=0在(1,2)上至多有1個(gè)實(shí)根，結(jié)合已知，可得方程f(x)=0在(0,2)上的2個(gè)解x1,x2中的1個(gè)解在(0,1]上，1個(gè)解在(1,2)上，不妨設(shè)x1∈(0,1],x2∈(1,2).由f(x)=0,得

作出函數(shù)

圖1

的圖像，如圖1所示.因此

且

故

評(píng)注在第(2)小題中，利用了“若ac<0，則一元二次方程ax2+bx+c=0有2個(gè)異號(hào)的實(shí)根”，從而確定x1,x2所在的范圍.

題型4含參數(shù)一元二次不等式恒成立問(wèn)題

含參數(shù)的一元二次不等式在限定區(qū)間上恒成立的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為在限定區(qū)間上的二次函數(shù)的最值問(wèn)題或一元二次方程的根的分布問(wèn)題,有如下的結(jié)論：

設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a>0)，則

(1)求函數(shù)f(x)的極大值；

(2)若當(dāng)x∈[1-a,1+a]時(shí)，恒有-a≤f′(x)≤a成立(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))，試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析第(2)小題就是含參數(shù)的一元二次不等式在x∈[1-a,1+a]上恒成立，求參數(shù)的范圍問(wèn)題.

解(1)f′(x)= -x2+4ax-3a2=

-(x-a)(x-3a).

令f′(x)=0，解得

x=a或x=3a.

當(dāng)x∈(-∞,a)或x∈(3a+∞)時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x∈(a,3a)時(shí)，f′(x)>0.因此f(x)在(-∞,a)上單調(diào)遞減，在(a,3a)上單調(diào)遞增，在(3a,+∞)上單調(diào)遞減，于是函數(shù)f(x)的極大值為f(3a)=1.

(2)由已知得,-a≤-x2+4ax-3a2≤a在x∈[1-a,1+a]時(shí)恒成立.

①由-x2+4ax-3a2≥-a,可得x2-4ax+3a2-a≤0在x∈[1-a,1+a]時(shí)恒成立.設(shè)g(x)=x2-4ax+3a2-a,則

即

解得

②由-x2+4ax-3a2≤a,得x2-4ax+3a2+a≥0在x∈[1-a,1+a]時(shí)恒成立.因?yàn)?

Δ=16a2-4(3a2+a)=4a(a-1)<0，

因此x2-4ax+3a2+a≥0在x∈[1-a,1+a]時(shí)恒成立.

評(píng)注第(2)小題在處理x2-4ax+3a2+a≥0在x∈[1-a,1+a]時(shí)恒成立時(shí)，注意到Δ<0，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算.

題型5含參數(shù)的一元二次不等式有解問(wèn)題

根據(jù)特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題，將含參數(shù)的一元二次不等式有實(shí)數(shù)解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的一元二次不等式恒成立的問(wèn)題.

例5已知函數(shù)f(x)=x2,g(x)=x-1．若存在x∈R,使得f(x)

分析含參數(shù)的一元二次不等式f(x)

解先求使不等式f(x)≥b·g(x)，即x2-bx+b≥0對(duì)任意x∈R都成立時(shí)實(shí)數(shù)b的取值范圍.由Δ=b2-4b≤0,解得

0≤b≤4.

因此，所求的實(shí)數(shù)b的取值范圍是b<0或b>4.

評(píng)注解決本例也可直接利用二次函數(shù)的圖像，得Δ=b2-4b>0,解得b<0或b>4.

精題集粹

1．已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(p-2)x+p，若在區(qū)間[0,1]內(nèi)至少存在1個(gè)實(shí)數(shù)c，使得f(c)>0，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是

( )

A．(1,4) B．(1，+∞)

C．(0，+∞) D．(0，1)

2．已知方程ax2+bx-1=0(a,b∈R且a>0)有2個(gè)不等的實(shí)根，其中1個(gè)根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則a-b的取值范圍為

( )

A．(-1,+∞) B．(-∞,-1)

C．(-∞,1) D．(-1，1)

3．已知函數(shù)f(x)=2x2+(4-m)x+4-m，g(x)=mx,若對(duì)于任一實(shí)數(shù)x，f(x)與g(x)至少有1個(gè)為正數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

( )

A．[-4,4] B．(-4，4)

C．(-∞,4) D．(-∞,-4)

4．已知關(guān)于x的方程4x-2x+1+3m-1=0有2個(gè)實(shí)根，則m的取值范圍________.

5．已知3x2+2y2-6x=0,則z=x2+y2的最大值為_(kāi)_______.

6．關(guān)于x的方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0，給出下列4個(gè)命題：

①存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；②存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；③存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；④存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根.

其中真命題的是________．

(2)若函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為[s,t]，求|s-t|的取值范圍.

8．已知f(x)=ax3+bx2+cx+d是定義在R上的函數(shù)，其圖像交x軸于點(diǎn)A，B，C.若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，0)，且f(x)在[-1，0]和[4，5]上有相同的單調(diào)性，在[0，2]和[4，5]上有相反的單調(diào)性.

(2)在函數(shù)f(x)的圖像上是否存在一點(diǎn)M(x0,y0)，使得f(x)在點(diǎn)M的切線(xiàn)斜率為3b？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)求|AC|的取值范圍.

參考答案

1．C 2．B 3．C

(2)|s-t|的取值范圍為[2,4).