解三角形與三角恒等變換

● (長河高級中學(xué) 浙江杭州 310052)

1 高考展望

1．1 考點(diǎn)回顧

(1)從近幾年的數(shù)學(xué)高考看，對三角函數(shù)的考查，一般是以1～3個客觀題和1個解答題的形式出現(xiàn)，以中、低檔題為主.解三角形與三角恒等變換是三角函數(shù)部分的重要內(nèi)容,是每年高考必考的一個重要知識點(diǎn).在涉及三角函數(shù)的求值、化簡、證明中，都需要運(yùn)用三角變換，高考中凡是與三角函數(shù)有關(guān)的問題，也都以恒等變形為研究手段.只有熟悉各個公式在恒等變形中的作用，才能在解決各種問題時合理選擇公式、靈活運(yùn)用公式、提高分析和解決三角問題的能力.在全國各地的高考試題中,主要是直接給出關(guān)系式或由向量的運(yùn)算關(guān)系或以三角形等為載體引出，以求值、證明、解不等式或結(jié)合不等式、函數(shù)最值等來呈現(xiàn).

(2)盡管對公式的要求有所降低，有“三角函數(shù)無難題”之說，但從多年來各類檢測和高考的得分情況來看，這部分試題得分率不高，部分學(xué)生對概念公式的理解不到位，實(shí)際掌握程度低.

(3)對上述內(nèi)容的考查要注意：

①三角變換問題：主要考查重要公式的靈活運(yùn)用、變換能力，一般需要運(yùn)用兩角和與差、二倍角公式，尤其是對公式的應(yīng)用與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合考查.恒等變換的問題以轉(zhuǎn)化思想為主導(dǎo)，觀察差異(或角、或函數(shù)名、或運(yùn)算結(jié)構(gòu))，尋求聯(lián)系(公式運(yùn)用或公式的逆用、變形)，遵循原則(繁為簡、切化弦、異化同、方降次等)，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化.

②三角函數(shù)的應(yīng)用：以平面向量、三角形、幾何或以實(shí)際問題等為載體，通過解三角形等來考查三角恒等變形及三角函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用的綜合能力.解有關(guān)三角形的問題必須熟練掌握正、余弦定理，三角函數(shù)以及與三角形面積、周長、內(nèi)切圓、外接圓等知識，熟知三角形如內(nèi)角和定理、邊角關(guān)系等其他隱含著的條件，通過理解這些知識、掌握各知識點(diǎn)間的關(guān)系并能夠運(yùn)用這些知識解決一些實(shí)際問題.

1.2 命題趨勢

三角函數(shù)知識是一個傳統(tǒng)考點(diǎn)，這部分知識點(diǎn)歷久不衰，越考越新，需要引起教師與學(xué)生的重點(diǎn)關(guān)注.筆者預(yù)計在今后的高考中，仍以小而活的選擇題、填空題和小型綜合題的形式出現(xiàn)；屬于容易加中檔題，屬于三基內(nèi)容，對學(xué)生而言，必須會做而且做對；命題的分值比重在20分左右.若出現(xiàn)大題,則一般放在前三大題，第一道可能性最大，屬于得分的權(quán)重章節(jié).

三角函數(shù)式的恒等變換的知識點(diǎn)有誘導(dǎo)公式、同角的三角函數(shù)關(guān)系、和差角和倍角公式，其中的倍角公式的幾個變形“降次公式”是重中之重.凡考查三角函數(shù)的圖像性質(zhì)及解三角形的題往往需要運(yùn)用三角公式進(jìn)行化簡、求值.注重三角化簡的通性通法：從函數(shù)名、角、運(yùn)算這3個方面進(jìn)行差異分析，常用的技巧有：切割化弦、異角化同角、異名化同名、高次化低次等.

解三角形問題將會以多種形式出現(xiàn)，主要考查正、余弦定理及利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能與運(yùn)算能力，以化簡、求值或判斷三角形形狀為主.

新課程改革重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用，2009年浙江省數(shù)學(xué)高考把應(yīng)用題作為填空題來考，2010年的試卷考查實(shí)際應(yīng)用題的方針不會改變，三角函數(shù)作為一個重要的數(shù)學(xué)工具，它的實(shí)際應(yīng)用不可忽視.

2 典例剖析

三角函數(shù)解答題多集中在以下幾種類型.

2.1 三角函數(shù)的變形、化簡、求值問題

( )

A.y=cos2xB.y=2cos2x

(2009年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題)

點(diǎn)評本題主要考查三角函數(shù)圖像的變換和利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式進(jìn)行化簡解析式的基本知識和基本技能,學(xué)會公式的變形.

(1)求sinθ和cosθ的值；

(2009年廣東省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解(1)由a與b互相垂直，得

a·b=sinθ-2cosθ=0，

即

sinθ=2cosθ，

代入sin2θ+cos2θ=1得

因此

從而 cosφ= cos[θ-(θ-φ)]=

點(diǎn)評(1)本題主要考查簡單的向量、三角變換及其計算，而解決三角變形問題的關(guān)鍵是掌握基本變換思想，充分運(yùn)用和角與差角、倍角與半角的變形公式.

(2)求值是三角函數(shù)的基本問題，本題是一道有關(guān)條件求值的問題.解決這類問題的關(guān)鍵是尋求條件和欲求結(jié)論之間的關(guān)系，通常從“角、名、形”這幾個方面入手進(jìn)行分析.本題首先運(yùn)用向量運(yùn)算將條件轉(zhuǎn)化為“sinθ=2cosθ”，再尋求與第(1)小題欲求結(jié)論之間的聯(lián)系；第(2)小題還遇到角的整體轉(zhuǎn)換及公式靈活運(yùn)用的問題，盡管還可以運(yùn)用直接將條件用公式展開這種比較繁瑣的方法.可以發(fā)現(xiàn)把握整體、尋求轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題的一種重要途徑.

2.2 涉及解三角形的三角函數(shù)問題

例3在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊長分別為a,b,c，已知a2-c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC,求b.

(2009年全國數(shù)學(xué)高考理科試題Ⅰ)

解法1在△ABC中,因為

sinAcosC=3cosAsinC,

所以由正弦定理及余弦定理有

化簡并整理得

2(a2-c2)=b2.

又由已知a2-c2=2b,得4b=b2,解得

b=4或b=0(舍去).

解法2由余弦定理得

a2-c2=b2-2bccosA.

因為a2-c2=2b,b≠0,所以

b=2ccosA+2.

(1)

又

sinAcosC=3cosAsinC，

所以

sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinC,

即

sin(A+C)=4cosAsinC,

從而

sinB=4cosAsinC.

b=4ccosA,

(2)

由式(1)，式(2),解得b=4.

點(diǎn)評(1)事實(shí)上此題比較簡單,但考生反應(yīng)不知從何入手.對已知條件a2-c2=2b,左側(cè)是二次的右側(cè)是一次的,學(xué)生總感覺用余弦定理不好處理,而對已知條件sinAcosC=3cosAsinC,過多地關(guān)注兩角和與差的正弦公式,甚至有的學(xué)生還想用現(xiàn)在已經(jīng)不再考的積化和差,找不到突破口而失分.

(2)在解決三角形的有關(guān)問題時，主要通過正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角互化，但也要注意一些隱含條件的利用.例如，在三角形中，內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式帶來的等量關(guān)系如“sinA=sin(B+C)，…”、三邊關(guān)系、最大及最小內(nèi)角范圍等等.

(3)近幾年高考明顯加強(qiáng)對正、余弦定理的考查，并與向量、平面幾何、解析幾何等知識交匯，在備考中應(yīng)注意總結(jié),提高自己對問題的分析和解決能力及對知識的靈活運(yùn)用能力.

2.3 三角函數(shù)與平面向量等的交匯問題

(2009年安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解設(shè)∠AOC=α，由題意得

圖1

因此x+y=

2[cosα+cos(120°-α)]=

點(diǎn)評(1)本題題型新穎，雖然是一道以向量為背景的填空題，但考生難以得分，主要是多種知識交匯，有函數(shù)思想要求：從“點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動”想到設(shè)“∠AOC=α”，并靈活應(yīng)用平面向量知識和方程思想，同時考查三角恒等變換和三角函數(shù)這一“函數(shù)”功能求最值.

(2)三角不僅是數(shù)學(xué)運(yùn)算的工具，也是重要的函數(shù)，是數(shù)學(xué)許多知識點(diǎn)的交匯中心.在多種知識點(diǎn)交匯處命題，可體現(xiàn)考試公平公正，避免學(xué)生不求理解、盲目做題，真正考出考生的解決問題能力.筆者認(rèn)為將此題設(shè)計為解答題更能體現(xiàn)今后的高考導(dǎo)向作用.

圖2

2.4 三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

(1)求該船的行駛速度(單位：海里/小時);

(2)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛,判斷它是否會進(jìn)入警戒水域，并說明理由.

(2008年湖南省數(shù)學(xué)高考試題)

又由余弦定理得

圖3

(2)如圖3所示，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別是B(x1，y1),C(x2，y2),BC與x軸的交點(diǎn)為D.由題設(shè)知

x2=ACcos∠CAD=

點(diǎn)評(1)本題是一道以海域測量為背景的實(shí)際問題，主要考查三角函數(shù)、解三角形、解析法等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)學(xué)建模、抽象概括和解決實(shí)際問題的能力.題目將數(shù)學(xué)的多個知識網(wǎng)絡(luò)交匯在一起，對于思維慎密性、書寫規(guī)范性及運(yùn)算等方面提出了較高要求.

(2)應(yīng)用題是新高考的必考內(nèi)容，數(shù)學(xué)來源于生活和生產(chǎn)實(shí)踐，又反過來為生活和生產(chǎn)實(shí)踐服務(wù).2010年仍將會加大對數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用的考查.

(3)解斜三角形的應(yīng)用問題通常需根據(jù)題意，從實(shí)際問題中抽象出一個或幾個三角形，通過解這些三角形得出所要求的量，從而得到實(shí)際問題的解，其中建立數(shù)學(xué)模型的方法是我們的歸宿，用數(shù)學(xué)手段來解決實(shí)際問題，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本目的.

精題集粹

( )

( )

( )

4.有4個關(guān)于三角函數(shù)的命題：

p2:存在x，y∈R,sin(x-y)=sinx-siny；

其中假命題的是

( )

A.p1,p4B．p2,p4C.p1,p3D．p2,p4

5.已知函數(shù)f(x)=(1+cos2x)sin2x,x∈R，則f(x)是

( )

A．最小正周期為π的奇函數(shù)

C．最小正周期為π的偶函數(shù)

(1)判斷△ABC的形狀；

11.已知向量m=(sinA,sinB)，n=(cosB,cosA)，m·n=sin2C，且A,B,C分別為△ABC的3邊a,b,c所對的角.

(1)求角C的大??；

參考答案

1.A 2.C 3.D 4.A 5.D

10.解(1)因為

bccosA=accosB,

于是

sinBcosA=sinAcosB,

即

sinAcosB-sinBcosA=0,

從而

sin(A-B)=0.

又-π

(2)由第(1)小題知a=b,因此

11.解(1)m·n= sinA·cosB+sinB·cosA=

sin(A+B),

對于△ABC，A+B=π-C,0

sin(A+B)=sinC,

即

m·n=sinC.

又因為m·n=sin2C,所以

sin2C=sinC,

(2)由sinA,sinC,sinB成等差數(shù)列，得

2sinC=sinA+sinB.

由正弦定理得2c=a+b.又已知

即

abcosC=18,a=36.

由余弦定理

c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab,

即

c2=4c2-3×36,

解得

c=6.