數列中的遞推方法

● (知恩中學 浙江寧海 315600)

1 考查要求

新課程考試大綱沒有涉及遞推數列，對數列的概念和簡單表示法的要求是：了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖像、通項公式)，了解數列是自變量為正整數的一類函數，強調了數列與函數的關系.

2 考點回顧

遞推是認識數列的重要手段，遞推公式是確定數列的一種方法，要掌握依據數列的遞推公式寫出數列的前幾項及探求數列通項公式的基本方法.數列的通項公式與遞推公式從2個不同側面表達這個數列的特征構造，通項公式與遞推公式有時還可以相互轉化.給出遞推公式，研究數列的通項公式，研究數列不等式是高考的一個熱點.這類題目對于考查函數與方程的思想、數形結合的思想、分類與整合思想、化歸與轉化的思想和特殊與一般的思想方法是理想的素材.縱觀近3年的數學高考試題，往往將與遞推數列有關的題目放在壓軸題.2007年、2008年和2009年數學高考理科試卷涉及遞推數列的分別有14份、15份和11份，其中2009年非新課標地區(qū)有10份，而新課標地區(qū)僅1份，淡化了對遞推數列知識的考查.

3 命題走勢

(1)填空、解答題均有可能出題，易、中、難均可體現.若為壓軸題,則綜合性更強.

(2)常規(guī)題給出遞推關系或以an與Sn為背景間接給出遞推關系；熱點題將在數列、函數、不等式的交匯處出題，條件或結論是數列遞推不等式問題，能力要求高，體現了高考的選拔功能.

(3)新課標地區(qū)弱化對遞推數列的考查，重視對數列的基本知識與基本方法、等差數列、等比數列的考查.

4 典例剖析

(2009年重慶市數學高考試題)

解由條件得

因為b1=4，所以數列{bn}是首項為4、公比為2的等比數列，于是

bn=4·2n-1=2n+1.

評注本題主要考查等比數列的定義和數列遞推公式的靈活應用.

(2)求數列{an}的前n項和Sn.

(2009年全國數學高考試題Ⅰ)

解(1)由已知得

因此

利用累差迭加即可求出數列{bn}的通項公式為

所以

評注2009年全國數學高考理科試題Ⅰ將數列題前置,考查構造新數列和利用錯位相減法求前n項和問題，一改往年的將數列結合不等式，利用放縮法作為解題的命題模式，具有讓考生和一線教師重視教材和基礎知識、基本方法和基本技能,重視兩綱的導向作用.也可看出命題人有意識降低難度和求變的良苦用心.

例3在數列{an}與{bn}中，a1=1,b1=4，數列{an}的前n項和Sn滿足nSn+1-(n+3)Sn=0,2an+1為bn與bn+1的等比中項，n∈N*.

(1)求a2,b2的值；

(2)求數列{an}與{bn}的通項公式；

(3)設Tn=(-1)a1b1+(-1)a2b2+…+(-1)anbn，n∈N*,證明：|Tn|<2n2,n≥3.

(2008年天津市數學高考試題)

(1)解由題設有a1+a2-4a1=0，a1=1，解得a2=3．又由題設有

解得

b2=9．

(2)解法1由題設nSn+1-(n+3)Sn=0，a1=1，b1=4，及a2=3，b2=9，進一步可得

a3=6，b3=16,a4=10，b4=25，

當n≥2時,用數學歸納法證明如下：

②假設當n=k(k≥2)時等式成立，即

則當n=k+1時,由題設知

kSk+1=(k+3)Sk,

(1)

(k-1)Sk=(k+2)Sk-1,

(2)

式(1)-式(2)得

kak+1=(k+2)ak，

這就是說，當n=k+1時,等式也成立．

再用數學歸納法證明:bn=(n+1)2，n∈N*．

①當n=1時，b1=(1+1)2，等式成立．

②假設當n=k時等式成立，即bk=(k+1)2，則當n=k+1時,

這就是說，當n=k+1時,等式也成立．

根據①和②可知，bn=(n+1)2對任何的n∈N*都成立．

解法2由題設得

nSn+1=(n+3)Sn，

(3)

(n-1)Sn=(n+2)Sn-1,

(4)

式(3)-式(4)得

nan+1=(n+2)an，n≥2．

因此2a3=4a2,3a4=5a3,…,(n-1)an=(n+1)an-1,n≥3,將以上各式左右2端分別相乘得

化簡得

此式對n=1,2也成立．

bn+1bn=(n+2)2(n+1)2，

即

xn=1，n≥1,

于是

即

bn=(n+1)2(n≥1)．

解法3由題設有nSn+1=(n+3)Sn，n∈N*，因此S2=4S1,2S3=5S2,…,(n-1)Sn=(n+2)Sn-1,n≥2.將以上各式左右兩端分別相乘得

1×2×…×(n-1)Sn=4×5×…×(n+2)S1，

(5)

化簡得

由第(1)小題知，式(5)對n=1,2也成立,所以

上式對n=1時也成立．

以下同解法2，可得bn=(n+1)2.

(3)略.

評注解法1通過數列遞推公式和初始條件，先求出該數列的前幾項，然后觀察這些數的規(guī)律，通過發(fā)現規(guī)律，歸納出通項公式，再用數學歸納法證明對所有正整數都成立.

解法3先用“累乘法”求出Sn，然后利用數列的前n項和Sn與數列的通項an的關系求得an.

以上3個解法實質上是數學思想指導的結果，解法1是在特殊與一般思想及有限與無限思想指導下得到的;解法2、解法3是在化歸與轉化思想指導下得到的.由遞推求通項公式只有在數學思想指導下，才能掌握解題規(guī)律，積累解題經驗，提高思維能力.

(1)猜想數列{x2n}的單調性，并證明你的結論；

(2009年陜西省數學高考試題)

又由x2>x4>x6可猜想：數列{x2n}是遞減數列.

下面用數學歸納法證明：

①當n=1時，已證命題成立.

②假設當n=k時命題成立，即x2k>x2k+2,易知x2k>0,則當n=k+1時,

即

x2(k+1)>x2(k+1)+2.

也就是說，當n=k+1時命題也成立.

結合①和②知，命題成立.

(2)證明當n=1時，

結論成立.

當n≥2時，易知0

于是 (1+xn)(1+xn-1)=

評注本題涉及遞推數列、數列的單調性、數學歸納法、不等式證明等.思想方法涉及函數與方程、化歸與轉化、特殊與一般等，用到數學歸納法、代入法、放縮法，對代數運算和推理能力都有較高的能力要求，可以考查學生進入高校繼續(xù)學習的潛能，體現了高校的選拔需要.

精題集粹

( )

A.38 B.20 C.10 D.9.

( )

( )

A．2+lnnB．2+(n-1)lnn

C．2+nlnnD．1+n+lnn

( )

5.已知數列{an}滿足：a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N*，則a2 009=______；a2 014=______.

6.設{an}是正項數列，其前n項和Sn與通項an滿足4Sn=(an-1)(an+3)，則數列{an}的通項公式是________.

7.數列{an}滿足

9.設數列{an}的前n項和為Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.

(1)設bn=an+1-2an，證明:數列{bn}是等比數列；

(2)求數列{an}的通項公式.

(1)證明：若a1為奇數，則對一切n≥2,an都是奇數；

(2)若對一切n∈N+,都有an+1>an，求a1的取值范圍.

參考答案

1.C 2.D 3.A 4.B

9.解(1)記Sn+1=4an+2，

(6)

則當n≥2時，有

Sn=4an-1+2.

(7)

式(7)-式(6)得

an+1=4an-4an-1,

可化為

an+1-2an=2(an-2an-1).

又因為bn=an+1-2an，所以

bn=2bn-1，

故{bn}是首項b1=3，公比為2的等比數列．

(2)由第(1)小題可得

bn=an+1-2an=3·2n-1，

即

從而

故

an=(3n-1)·2n-2.

另一方面，若0

若ak>3，則

根據數學歸納法，03等價于an>3,n∈N+.

綜上所述，對一切n∈N+都有an+1>an的充要條件是03.