導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的題型與高考走勢(shì)

● (浙江大學(xué)附屬中學(xué) 浙江杭州 310007)

1 考查要求

掌握函數(shù)在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，熟記基本導(dǎo)數(shù)公式，掌握2個(gè)函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件(導(dǎo)數(shù)要極值點(diǎn)2側(cè)異號(hào))，能用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間、求函數(shù)的極值與最值的問題，應(yīng)用于解決實(shí)際問題.

2 考點(diǎn)回顧

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的工具，導(dǎo)數(shù)進(jìn)入新教材之后，給函數(shù)問題注入了生機(jī)和活力，開辟了許多解題新途徑，拓展了高考對(duì)函數(shù)問題的命題空間.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題也是近幾年高考的熱點(diǎn)問題,在解題中要求考生能以導(dǎo)數(shù)為工具，它常與解析幾何、不等式、函數(shù)等知識(shí)交匯，并且明顯加大了考試力度，更注重對(duì)考生能力的考查.一般有1～2個(gè)客觀題，1個(gè)解答題，分值占20～25分.

3 命題走勢(shì)

通過對(duì)近幾年高考中出現(xiàn)的有關(guān)導(dǎo)數(shù)考題的探索和研究，可以預(yù)測(cè)2010年高考涉及導(dǎo)數(shù)知識(shí)的試題大致可分為3個(gè)層次：(1)導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義、求導(dǎo)公式和法則.(2)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)及簡(jiǎn)單應(yīng)用，包括判斷圖像、求函數(shù)的極值、單調(diào)區(qū)間，證明函數(shù)的增減性等.(3)綜合考查，落實(shí)在知識(shí)的交匯處設(shè)計(jì)試題，包括以函數(shù)為模型運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決的應(yīng)用問題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和不等式、函數(shù)的單調(diào)性等結(jié)合在一起；以導(dǎo)數(shù)的幾何意義為背景設(shè)置導(dǎo)數(shù)與解析幾何、函數(shù)的綜合題已成為高考的熱點(diǎn).第(1)、(2)次層次要求以選擇題和填空題的形式為主，第(3)層次主要出現(xiàn)在解答題的中檔題或壓軸題中.

4 典例剖析

(1)掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義,常用求導(dǎo)公式.四則運(yùn)算求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則等的靈活運(yùn)用.

分析在導(dǎo)數(shù)定義中，增量Δx的形式是多種多樣的，但不論Δx選擇哪種形式，Δy也必須選擇相對(duì)應(yīng)的形式.利用函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式.

(2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線問題.

( )

分析“曲線在點(diǎn)P處的切線”只有1條，且P為切點(diǎn)；“曲線過點(diǎn)P處的切線”有2條,P則不一定是切點(diǎn).注意“曲線在點(diǎn)P處的切線”與“曲線過點(diǎn)P的切線”的區(qū)別.

于是y′(x0)=k,即

解得

x0=-3或x0=-15,

因而

及

(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、極值和最值,研究函數(shù)性質(zhì)和圖像,與函數(shù)、不等式綜合在一起，解決單調(diào)性、參數(shù)的范圍等問題.單調(diào)性問題可轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的一元二次不等式或高次不等式的問題求解，從而達(dá)到考查分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

例3已知函數(shù)f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),其中a∈R.

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率；

(2009年天津市數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及分類討論的思想方法.

解(1)當(dāng)a=0時(shí)，

f(x)=x2ex,

則

f′(x)=(x2+2x)ex,

因此f′(1)=3e,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的斜率為3e.

(2)f′(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex.

令f′(x)=0，解得

x=-2a或x=a-2.

-2a≠a-2.

以下分2種情況進(jìn)行討論.

表1 f ′(x),f(x)的變化表

所以f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)上是增函數(shù)，在(-2a,a-2)上是減函數(shù)，函數(shù)f(x)在x=-2a處取得極大值f(-2a)，且f(-2a)=3ae-2a;在x=a-2處取得極小值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2.

表1 f ′(x),f(x)的變化表

所以f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)上是增函數(shù)，在(a-2,-2a)上是減函數(shù).故函數(shù)f(x)在x=a-2處取得極大值f(a-2)，且f(a-2)=(4-3a)ea-2;在x=-2a處取得極小值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a.

圖1 圖2

例4設(shè)函數(shù)f(x)=x3+3bx2+3cx有2個(gè)極值點(diǎn)x1,x2，且x1∈[-1,0],x2∈[1,2].

(1)求b,c滿足的約束條件，并在如圖1所示的坐標(biāo)平面內(nèi)，畫出滿足這些條件的點(diǎn)(b,c)的區(qū)域；

(2009年全國數(shù)學(xué)高考理科試題)

(1)解f′(x)=3x2+6bx+3c.

依題意知，方程f′(x)=0有2個(gè)根x1,x2，且x1∈[-1,0],x2∈[1,2].這等價(jià)于

f′(-1)≥0,f′(0)≤0,f′(1)≤0,f′(2)≥0,

由此得b,c滿足的約束條件為

滿足這些條件的點(diǎn)(b,c)的區(qū)域?yàn)閳D2的陰影部分.

(2)證明由題設(shè)知

則

因?yàn)閤2∈[1,2]，而由第(1)小題知c≤0，所以

又由第(1)小題知c∈[-2,0],因此

(4)以函數(shù)為模型運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際的應(yīng)用問題.

在生產(chǎn)、生活等實(shí)際問題中，常常需要研究一些成本最低、利潤最大、用料最省的問題.我們先把實(shí)際情景翻譯為數(shù)學(xué)語言，找出情景中主要的關(guān)系，抽象出具體的數(shù)學(xué)問題，化歸為研究目標(biāo)函數(shù)的最大(小)值，從而可利用導(dǎo)數(shù)方法簡(jiǎn)捷求解，此類問題稱為優(yōu)化問題.在解答此類問題時(shí)，需要抓住3個(gè)基本步驟：①建立函數(shù)關(guān)系；②求極值點(diǎn)，確定最大(小)值；③回歸優(yōu)化方案．

(1)將y表示成x的函數(shù).

(2009年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析本題主要考查了函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用,運(yùn)用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的能力和運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性確定最值問題.

圖3

令y′=0,得

18x4=8(400-x2)2,

例6某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元(3≤a≤5)的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元(9≤x≤11)時(shí)，一年的銷售量為(12-x)2萬件.

(1)求分公司一年的利潤L(萬元)與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤L最大，并求出L的最大值Q(a).

(2007年福建省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析本題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力.解決這類問題的關(guān)鍵在于從實(shí)際問題中建立函數(shù)模型，然后利用導(dǎo)數(shù)來求最值,特別要注意確定其定義域.

解(1)分公司一年的利潤L(萬元)與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為

L=(x-3-a)(12-x)2,x∈[9,11].

(2)由第(1)小題得

L′(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=

(12-x)(18+2a-3x).

令L′=0,得

因?yàn)?≤a≤5，所以

Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a)．

故