準(zhǔn)周期激勵(lì)非線性隔振系統(tǒng)的混沌研究

劉樹(shù)勇，朱石堅(jiān)，俞 翔

（海軍工程大學(xué)振動(dòng)與噪聲研究所，武漢 430033）

1 引 言

隨著混沌研究的不斷深入，人們?cè)诨煦缋碚摲矫嫒〉昧素S碩的成果。Smale-Birkhoff同宿軌理論揭示了混沌產(chǎn)生的機(jī)理，并指出可以用伯努利變換來(lái)刻畫(huà)混沌軌道的特征[1]；Silnikov研究表明如果三維系統(tǒng)有一條鞍焦型同宿軌道，并滿足一定條件時(shí)，就可以在奇點(diǎn)附近構(gòu)造一個(gè)Poincare映射，此映射有Smale馬蹄變換性質(zhì)，從而系統(tǒng)具有Smale意義下的混沌[2]；Melnikov方法則通過(guò)分析周期受迫振子中穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形是否橫截相交來(lái)判斷混沌的存在。特別是在近些年來(lái)，Wiggins將Melnikov方法推廣到了一類準(zhǔn)周期激勵(lì)的系統(tǒng)中，并用于對(duì)多自由度系統(tǒng)的研究，提出了系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的指標(biāo)[3]；高階Melnikov方法的建立為超次諧分叉軌道提供了有效的方法。然而，應(yīng)用這些理論對(duì)非線性隔振系統(tǒng)中的混沌進(jìn)行研究還不太多。

在非線性隔振系統(tǒng)中，如果其參數(shù)處于混沌參數(shù)區(qū)域時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。單頻輸入可以產(chǎn)生寬頻輸出，因而可以用來(lái)消減結(jié)構(gòu)噪聲中的線譜，提高艦艇的隱蔽性[4]。正是因?yàn)楦粽裣到y(tǒng)中這種“貌似隨機(jī)的”混沌具有可利用的一面，文獻(xiàn)[5]在設(shè)計(jì)一種非線性隔振系統(tǒng)后，用實(shí)驗(yàn)方法證明了該系統(tǒng)的參數(shù)處于一定范圍時(shí)其加速度響應(yīng)是混沌信號(hào)，此時(shí)隔振系統(tǒng)有良好的隔振效果。本文建立了準(zhǔn)周期激勵(lì)條件下隔振系統(tǒng)的模型，并應(yīng)用Poincare映射方法使問(wèn)題轉(zhuǎn)化到低一維的空間中進(jìn)行研究。通過(guò)Melnikov函數(shù)計(jì)算了非線性隔振系統(tǒng)的混沌區(qū)參數(shù)區(qū)域。給出了系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)時(shí)的典型相圖，計(jì)算了相應(yīng)的特征指數(shù)。

2 準(zhǔn)周期激勵(lì)條件下非線性隔振系統(tǒng)的模型

假設(shè)非線性隔振系統(tǒng)的激勵(lì)頻率為Ωr（r= 1 ，2…，l）。 如果

只有 kr=0（ r= 1 ，2…，l）才能夠成立時(shí)，系統(tǒng)被認(rèn)為具有l(wèi)-頻率準(zhǔn)周期激勵(lì)。研究表明，對(duì)于雙頻準(zhǔn)周期激勵(lì)Duffing系統(tǒng)而言，系統(tǒng)有非常復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性，系統(tǒng)中不僅會(huì)產(chǎn)生具有 （k1/ k2）ω1、 （k1/ k2）ω2頻率的響應(yīng)，而且有可能出現(xiàn)頻率為 （k1/ k2）（ω1± ω2）的響應(yīng)，在該系統(tǒng)中必將產(chǎn)生準(zhǔn)周期解，準(zhǔn)周期解進(jìn)一步失穩(wěn)[6]，則容易導(dǎo)致混沌。對(duì)于準(zhǔn)周期激勵(lì)的非線性隔振系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)微分方程可以寫(xiě)為：

式中，m表示設(shè)備的質(zhì)量，c表示隔振系統(tǒng)的阻尼，N（x）為軟彈簧隔振系統(tǒng)中的非線性作用力：

將（3）式代入（2）式后，可以得到：

其中，m是設(shè)備的質(zhì)量，c和ki（i=1，2 ）分別是阻尼系數(shù)和剛度系數(shù)，F(xiàn)jcos ΩjT是作用力在隔振系統(tǒng)上的激勵(lì)力。

構(gòu)造新的時(shí)間尺度和長(zhǎng)度尺度為：

因此，可以通過(guò)下列變換來(lái)得到無(wú)量綱變量：

將（6）式代入（4）式得到系統(tǒng)的無(wú)量綱形式：

3 應(yīng)用Melnikov方法確定非線性隔振系統(tǒng)的混沌參數(shù)區(qū)域

考慮如下系統(tǒng)：

當(dāng)ε=0，假設(shè)未擾系統(tǒng)：

其l+1維穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形相交可得：

未受擾的相空間如圖1所示。

由于（8）式的周期解K相當(dāng)于Poincare映射的不動(dòng)點(diǎn)，類似地，周期mK解相當(dāng)于Poincare映射的周期m點(diǎn)。因此，可以應(yīng)用Poincare映射的方法來(lái)研究（8）式的動(dòng)力學(xué)行為。其優(yōu)點(diǎn)是可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到低一維的空間中進(jìn)行研究，并給出系統(tǒng)全局動(dòng)力學(xué)深入的、明顯的展示[7]。數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明這樣處理是合適的。如果在Poincare截面上存在一個(gè)同宿點(diǎn)xs，那么它同時(shí)存在于穩(wěn)定流形Ws（xs）和不穩(wěn)定流形Wu（xs）上。同時(shí)可以證明只要有一個(gè)橫截同宿點(diǎn)，就必定存在無(wú)窮多個(gè)橫截同宿點(diǎn)，從而使得不變流形變得異常復(fù)雜，這種系統(tǒng)受到小的擾動(dòng)時(shí)，有可能出現(xiàn)混沌[8]。

根據(jù)以上分析，在全相空間R2×Tl固定θ的任意一個(gè)元素θi，得到截面：

定義Melnikov函數(shù)為：

如果存在t0使得M （t0）=0但dM （t0）/dt0≠0，穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形必然橫截相交，此時(shí)有可能出現(xiàn)混沌。同理，橫截異宿點(diǎn)的產(chǎn)生也將導(dǎo)致Smale意義下的混沌。為了便于研究，這里具體討論l=2的情況?？紤]（7）式中阻尼和激勵(lì)力幅值為小量時(shí)，它可以表示成如下形式：

將其寫(xiě)成矩陣的形式，

特征行列式為：

由于無(wú)擾動(dòng)系統(tǒng)為平面哈密頓系統(tǒng)，哈密頓函數(shù)滿足：

因此通過(guò)A點(diǎn)的同宿軌道滿足：

將（14）式代入（12）式可得到Melnikov函數(shù)為：

將（17）式代入（18）式，并應(yīng)用留數(shù)定理，對(duì)上式積分得：

根據(jù)前面的討論，當(dāng)Melnikov函數(shù)存在簡(jiǎn)單的零點(diǎn)時(shí)，A的穩(wěn)定流形Ws（A）和不穩(wěn)定流形Wu（A）必然產(chǎn)生同宿橫截相交，從而系統(tǒng)有可能出現(xiàn)混沌。將（19）式利用三角函數(shù)關(guān)系簡(jiǎn)化后得到非線性隔振系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的條件：

當(dāng)f1=f2=f時(shí)，根據(jù)Kazuyuki Yagasaki的證明[1]，只需要滿足：

就能夠得到使系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的 （δ， f，ω1，ω2）參數(shù)區(qū)域。 顯然，（21）式除了指明系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的參數(shù)區(qū)域以外，還說(shuō)明了系統(tǒng)出現(xiàn)混沌是輸入項(xiàng)和耗散相互競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)果。這和其他許多非線性中出現(xiàn)混沌的本質(zhì)是一致的。

4 仿真結(jié)果

（1）根據(jù)（21）式，得到如圖2所示的混沌參數(shù)區(qū)域，當(dāng)參數(shù)f/δ的取值位于曲面上方時(shí)，系統(tǒng)可能處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

（2） 當(dāng)激勵(lì)力的幅值相等，取 f1=f2=f=0.15，δ=0.04，ω1=1，ω2=時(shí)，代入（21）式，可知 f δ=3.75，J0（J1+ J2）的值為 0.427 7，滿足上述條件。根據(jù)這些參數(shù)得到系統(tǒng)的響應(yīng)如圖3中（a，b，c，d）所示，它們分別是時(shí)間歷程圖，頻譜圖，相平面圖Poincare截面圖。從中可以看出，時(shí)間歷程圖的曲線不規(guī)則，頻譜圖具有類似于隨機(jī)信號(hào)的寬譜特征[9]，相平面圖上的吸引子不同于平庸吸引子而是具有特殊結(jié)構(gòu)的奇怪吸引子。Poincare截面圖上的點(diǎn)分布于截面的一定范圍內(nèi)。計(jì)算系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)為：0.641 0，大于零的Lyapunov指數(shù)意味著非線性隔振系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

（3） 當(dāng)改變參數(shù)值， f1=f2=f=0.15，δ=0.3，ω1=1，ω2=時(shí)，可知f/δ=0.5，它也處于曲面的上方，但是系統(tǒng)表現(xiàn)出典型的擬周期運(yùn)動(dòng)。其Poincare截面為一個(gè)圓。頻譜圖具有多個(gè)譜峰特征。如圖 4中的（a，b，c，d）所示。

5 結(jié) 論

根據(jù)以上分析可知，當(dāng)非線性隔振系統(tǒng)的參數(shù)處于一定的范圍內(nèi)時(shí)，它在多頻率激勵(lì)條件下可能出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。系統(tǒng)呈現(xiàn)這種行為的重要原因是相空間中存在同宿橫截相交，從而產(chǎn)生具有Smale馬蹄意義下的混沌。應(yīng)用Melnikov方法可以確定產(chǎn)生混沌的參數(shù)區(qū)域。研究結(jié)果表明，該區(qū)域中的某些參數(shù)能使系統(tǒng)出現(xiàn)混沌而某些參數(shù)使系統(tǒng)表現(xiàn)出準(zhǔn)周期振動(dòng)形式。因此，在具體的分析過(guò)程中還應(yīng)該結(jié)合Lyapunov指數(shù)的計(jì)算和頻譜圖，Poincare截面圖等方法進(jìn)行研究。正的Lyapunov指數(shù)意味著混沌的產(chǎn)生，而且混沌的頻譜圖具有貌似隨機(jī)信號(hào)的寬頻譜特征，其Poincare截面圖不同于周期運(yùn)動(dòng)時(shí)的m周期點(diǎn)和擬周期運(yùn)動(dòng)時(shí)形成的圓。通過(guò)這些綜合分析方法能夠準(zhǔn)確判定系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，從而更深入地了解了非線性隔振系統(tǒng)的特點(diǎn)，為系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供有益參考。

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