船舶在隨機(jī)海浪上的穩(wěn)性和傾覆研究進(jìn)展

王迎光，譚家華

（上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海 200240）

1 引 言

船舶穩(wěn)性是指在外力作用下，船舶發(fā)生傾斜而不致傾覆，當(dāng)外力的作用消失后，仍能回復(fù)到原來平衡位置的能力，船舶的完整穩(wěn)性是指船舶在未破損狀態(tài)時的穩(wěn)性。船舶的完整穩(wěn)性是船舶的最重要的技術(shù)性能之一。為保證所設(shè)計的船舶有良好的完整穩(wěn)性，船舶工程師們通常都是要依據(jù)國際海事組織（IMO）制定的有關(guān)完整穩(wěn)性衡準(zhǔn)，即IMO的A.749（18）法案及其補(bǔ)充條款MSC.75（69）決議案。而IMO的A.749（18）法案主要又包含IMO在1968年的決議案A.167（ES.IV）的內(nèi)容以及它在1985年的決議案A.562（14）的內(nèi)容[1]。IMO基于對一些失事船舶的統(tǒng)計分析和船舶靜力學(xué)的原理，得出了為保證船舶完整穩(wěn)性的初穩(wěn)性高下限值和靜水中船舶扶正力臂曲線上幾個特定參數(shù)的下限值[1]，此即A.167（ES.IV）衡準(zhǔn)的內(nèi)容，可見A.167（ES.IV）幾乎是一個基于經(jīng)驗(yàn)的衡準(zhǔn)。此后為了把“在海途中影響船舶導(dǎo)致傾覆或不能接受的橫傾角的外力也考慮進(jìn)來”，IMO合并了已經(jīng)在幾個國家實(shí)施了的氣象衡準(zhǔn)而制定了A.562（14）決議案[3]。A.562（14）決議案雖然考慮了風(fēng)傾力矩和船舶橫搖角的影響，但是橫搖角幅度的計算和風(fēng)傾力矩的計算被大大地簡化了，計算中忽視了非線性的影響，而且橫傾物理模型仍然是基于假定的在靜水中的扶正力矩曲線?？梢夾.562（14）決議案仍然是一個半經(jīng)驗(yàn)的衡準(zhǔn)?？傊F(xiàn)行的IMO完整穩(wěn)性衡準(zhǔn)并不是基于一個實(shí)際的物理模型，風(fēng)、浪作用的隨機(jī)性，船舶運(yùn)動的非線性以及各自由度運(yùn)動之間的耦合效應(yīng)等因素都幾乎沒被考慮進(jìn)來，因而依據(jù)這些衡準(zhǔn)設(shè)計的船舶的安全程度并不能被確切的量化[3]。同時這些衡準(zhǔn)并不能給設(shè)計者提示應(yīng)修改哪個船舶參數(shù)才能改進(jìn)設(shè)計[3]。因而國際海事組織提出了完整穩(wěn)性衡準(zhǔn)長期的發(fā)展目標(biāo)是應(yīng)從這些約定俗成的規(guī)則（prescriptive rules）過渡到基于性能的理性規(guī)則（performance-based rational rules)[3]。即新衡準(zhǔn)應(yīng)建立在“基于第一原理分析”的基礎(chǔ)上[3]。

但是船舶在隨機(jī)海浪上傾覆卻是一個極其復(fù)雜的問題，雖然經(jīng)過了近幾個世紀(jì)時間的研究，人們?nèi)匀蝗狈A覆現(xiàn)象的完全的數(shù)學(xué)描述和透徹的物理理解[4]。至今人們在處理船舶在隨機(jī)海浪上的傾覆問題時采用的“基于第一原理”的分析方法有時域仿真、邁爾尼科夫法和首次穿越理論等。本文將結(jié)合作者研究小組的工作來對國內(nèi)外這一領(lǐng)域內(nèi)的研究進(jìn)展做出綜述。

2 時域仿真

假定船寬、吃水與船長相比是小量，并且將船舶視為一無阻尼轉(zhuǎn)動振子，威廉姆-傅汝德（William Froude）推得了船舶在正弦橫浪中的橫搖運(yùn)動表達(dá)式[5]，他的理論至今仍然是現(xiàn)代船舶在隨機(jī)海浪上傾覆研究的基礎(chǔ)。在十九世紀(jì)末，克雷羅夫（Alexei N.Krylov）延伸了傅汝德的上述理論，他根據(jù)波浪激勵的傅汝德克雷羅夫假定而建立了船舶六自由度振蕩運(yùn)動的理論[6]。以下對基于上述思想的現(xiàn)代船舶運(yùn)動理論作一簡要介紹。

2.1 船舶運(yùn)動微分方程的建立

船舶在不規(guī)則波中的響應(yīng)可被認(rèn)為是船舶在對應(yīng)于此特定不規(guī)則波譜范圍內(nèi)所有頻率的規(guī)則波中的響應(yīng)之和[7]。首先讓我們考慮一艘以定常速度U在規(guī)則正弦波中航行的船舶，船舶的航向角是任意的，在圖 1[8]中，（x,y,）z是一個對照船的平均位置而被固定的右手坐標(biāo)系，z軸通過船舶的重心而垂直向上，x的方向同船舶前進(jìn)的方向，坐標(biāo)系原點(diǎn)取在未受擾動的自由表面平面內(nèi)。在海面上航行的不受約束力的船舶將產(chǎn)生六個自由度的運(yùn)動，即船舶運(yùn)動可被認(rèn)為是由三個平移成分（縱蕩、橫蕩和升沉）和三個轉(zhuǎn)動成分（橫搖、縱搖和首尾搖）組成。在圖1中，令在x、y和z方向上的相對于坐標(biāo)原點(diǎn)的船舶平移位移分別為η1、η2和η3，那么 η1代表縱蕩位移，η2代表橫蕩位移，η3代表升沉位移。進(jìn)一步，令相對于x、y、z軸的角位移分別為 η4、η5和 η6，那么 η4代表橫搖角，η5代表縱搖角，η6代表首尾搖角。假定船舶的振蕩運(yùn)動是線性的和諧和的，則可得到六個線性的和耦合的船舶運(yùn)動微分方程。利用下標(biāo)記號，這六個船舶運(yùn)動微分方程可被簡寫為[9]：

其中Mjk是船舶的廣義質(zhì)量矩陣中的成分，Ajk是船舶的廣義附加質(zhì)量系數(shù)矩陣中的成分，Bjk是船舶的阻尼系數(shù)矩陣中的成分，Cjk是船舶的靜水復(fù)原力系數(shù)矩陣中的成分，F(xiàn)j是激勵力和力矩復(fù)數(shù)幅值，激勵力和力矩由的實(shí)部給出。F1代表縱蕩激勵力幅值，F(xiàn)2代表橫蕩激勵力幅值，F(xiàn)3代表升沉激勵力幅值，F(xiàn)4代表橫搖激勵力矩幅值，F(xiàn)5代表縱搖激勵力矩幅值，F(xiàn)6代表首尾搖激勵力矩幅值，以上諸力（力矩）又分別包括傅汝德-克雷羅夫力（力矩）和繞射力（力矩）兩部分。ω代表遭遇波浪頻率，這個頻率也等于響應(yīng)頻率。符號（·）代表對時間求導(dǎo)，因而η˙k代表速度項(xiàng)，η¨k代表加速度項(xiàng)。

在上述方程（1）中，附加質(zhì)量系數(shù)Ajk和阻尼系數(shù)Bjk可根據(jù)線性勢流理論求得，例如利用線性勢流理論求得的計算A44的公式為[9]：

利用線性勢流理論求得的計算B44的公式為[9]：

上述方程（2）和（3）中的積分是沿整個船長進(jìn)行的。a44是船舶某一個兩維切片（在應(yīng)用線性切片理論時，假定將船舶沿船長方向切成一定數(shù)目的薄片）的橫搖附加質(zhì)量系數(shù)，計算這個系數(shù)的方法將在下面介紹。b44是船舶某一個兩維切片的橫搖阻尼系數(shù)，計算這個系數(shù)的方法將在下面介紹。ξ是在x方向的積分變量。是船舶最后面的一個兩維切片的橫搖附加質(zhì)量系數(shù)是船舶最后面的一個兩維切片的橫搖阻尼系數(shù)代表粘性橫搖阻尼實(shí)際上是非線性的，但文獻(xiàn)[9]給出了其擬線性化的計算方法。

在方程（1）中，波浪激勵力或力矩也可根據(jù)線性勢流理論求得，例如利用線性勢流理論求得的計算橫搖激勵力矩幅值的公式為[9]：

其中兩維切片的傅汝德克雷羅夫“力”可按下式計算[9]:

兩維切片的繞射“力”可按下式計算[9]：

方程（4）到（6）中的數(shù)值積分是先沿切面Cx進(jìn)行，再沿整個船長進(jìn)行的，Cx是船舶某一個兩維切片的外輪廓圍線，dl是Cx的方向元素，ξ是在x方向的積分變量。α是波浪幅值，ρ是流體的質(zhì)量密度，g是重力加速度，k 代表波數(shù)，β代表航向角（隨浪時 β=0°），N2、N3和 N4是在（y-z）平面內(nèi)的兩維廣義法線，ψ4是船舶某一個兩維切片的兩維橫搖速度勢，下面將介紹求取ψ4、a44和b44的方法：

計算ψ4、a44和b44等兩維系數(shù)是船舶運(yùn)動計算過程中最復(fù)雜和最耗時的，然而為了獲得有用的最終結(jié)果，精確計算這些兩維切片上的系數(shù)又是絕對必須的。數(shù)學(xué)上，計算這些兩維切片上的系數(shù)的問題被稱為混合邊界值問題，在船舶水動力學(xué)中解決混合邊界值問題的一種最常用的方法是邊界積分法。在應(yīng)用邊界積分法時，先將某一船舶切片上的船舶橫剖線分成一系列直線段，然后在每一直線段上分布帶定常（但未知）強(qiáng)度的流體源，選擇單位源的勢函數(shù)的形式以便在自由表面和無窮遠(yuǎn)處的邊界條件被滿足，通過滿足在每一直線段的中點(diǎn)上的船體邊界條件而求得未知的源強(qiáng)。求得了源強(qiáng)以后，橫搖速度勢ψ4就可被求得，那么a44和b44可根據(jù)下列公式求出[8]：

請注意上式是通過復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等來求解的。邊界積分法的優(yōu)點(diǎn)是計算速度快，對船舶橫剖線近似的精度可通過多取直線段的辦法來提高，求得了ψ4、a44和b44等兩維系數(shù)以后，船舶的運(yùn)動響應(yīng)和穩(wěn)性就可根據(jù)方程（1）到（6）求得。所謂的用時域仿真來研究船舶在隨機(jī)海浪上的穩(wěn)性，即是用四階龍格—庫塔法來對微分方程（1）進(jìn)行數(shù)值積分，并對求得的各響應(yīng)歷經(jīng)做統(tǒng)計處理。對一般情況下的橫穩(wěn)性研究來說，這種方法可生成兩種類型的結(jié)果：達(dá)致傾覆所需的平均時間；或在一特定時間段內(nèi)超過一特定橫搖角的概率。

2.2 國內(nèi)外對船舶在隨機(jī)海浪上的穩(wěn)性的時域仿真研究

加州大學(xué)的Paulling教授從上世紀(jì)八十年代開始進(jìn)行船舶在隨機(jī)海浪上的穩(wěn)性的時域仿真研究。他和其學(xué)生開發(fā)了一個數(shù)值模型來決定船舶在惡劣波浪狀況下（包括那些能導(dǎo)致傾覆的海況）的大幅值運(yùn)動[10]。他們檢查了船舶大幅值運(yùn)動方程中的各種力成分，并進(jìn)行了分析來決定橫搖響應(yīng)對這些力成分的變化的敏感度。McTaggart等人[11]提出了用時域仿真來決定給定海途和運(yùn)營狀況下的船舶的傾覆危險的一個有效方法，最大橫搖角對波浪過程的依賴度被通過以下方法建模：將一合適的分布擬合到由中等數(shù)量的仿真得出的各最大橫搖角上。通過一驅(qū)逐艦的實(shí)例計算顯示：龔貝爾分布可很好地擬合到由不同波浪實(shí)現(xiàn)得到的各最大橫搖角上。De Kat等人[12]預(yù)報了船舶和近海平臺的極端運(yùn)動和傾覆行為，他們仔細(xì)處理了數(shù)值建模的各個細(xì)節(jié)。De Kat等人[13]提出了一個對艦船進(jìn)行傾覆概率評估的方法，他們用時域仿真得到了極端橫搖角的短期和長期統(tǒng)計分布。

近期王迎光等人[14-15]對用時域仿真分析海洋結(jié)構(gòu)物在隨機(jī)海浪上的極端響應(yīng)和穩(wěn)性的原理做了詳盡的闡述：即首先為海洋結(jié)構(gòu)物建立運(yùn)動微分方程，并以有限數(shù)目的帶不同幅值頻率和隨機(jī)相位角的三角函數(shù)疊加來仿真隨機(jī)海浪[16-17]，接著可用四階龍格—庫塔法來對運(yùn)動微分方程進(jìn)行數(shù)值積分，就可獲得該海洋結(jié)構(gòu)物位移響應(yīng)的一個時間歷經(jīng)，用同樣的方法可獲得該海洋結(jié)構(gòu)物位移響應(yīng)的一階導(dǎo)數(shù)的一個時間歷經(jīng)。將該海洋結(jié)構(gòu)物位移響應(yīng)的時間歷經(jīng)的足夠多次記錄的總體取均值可獲得結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的概率密度曲線，用同樣的方法可獲得該海洋結(jié)構(gòu)物位移響應(yīng)的一階導(dǎo)數(shù)的概率密度曲線，基于這些單個隨機(jī)變量的概率密度曲線的信息，響應(yīng)值與響應(yīng)值一階導(dǎo)數(shù)的聯(lián)合概率密度可被求得。接下來可由Rice公式求得結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的響應(yīng)的跨越某一水準(zhǔn)的比率（向上水準(zhǔn)跨越率）。最后隨機(jī)激勵下海洋結(jié)構(gòu)物極端響應(yīng)的問題可用數(shù)學(xué)上隨機(jī)過程求極值的理論來處理[18-20]。王迎光等人[15，21]并用上述程序求得了一張力腿平臺在隨機(jī)海浪上的縱蕩響應(yīng)的向上水準(zhǔn)跨越率。

2.3 時域仿真的優(yōu)缺點(diǎn)

用時域仿真分析船舶在隨機(jī)海浪上的穩(wěn)性的原理上是十分簡明的，執(zhí)行起來也很方便。而且顯見前幾節(jié)中的時域仿真的過程是一個基于“第一原理的”分析計算的過程。該方法分析的是一個現(xiàn)實(shí)的物理模型，它可將船舶本身的各個物理參數(shù)與船舶的完整穩(wěn)性表現(xiàn)關(guān)聯(lián)起來，因而可使得設(shè)計者直接得到改進(jìn)穩(wěn)性和優(yōu)化設(shè)計的具體方案。用時域仿真可方便靈活地處理復(fù)雜的非線性隨機(jī)問題，但處理在極端氣象下的極端運(yùn)動的三維非線性水動力/空氣動力模型現(xiàn)在還沒有被擺上議事日程[3]。同時也需要國際上的合作來使時域仿真計算機(jī)軟件標(biāo)準(zhǔn)化，這一目標(biāo)顯然在短時期內(nèi)是難以達(dá)到的。

用時域仿真分析船舶在隨機(jī)海浪上的穩(wěn)性的另一缺點(diǎn)是耗時巨大，王迎光[22]也用計算實(shí)例對此做了定量的說明。我們都知道在對船舶運(yùn)動微分方程進(jìn)行數(shù)值積分時，應(yīng)該給出在0時刻的運(yùn)動位移和運(yùn)動速度，即給出兩個運(yùn)動的初始條件，另外還要給出積分的時間域。積分的時間域是可以指定的，例如激勵力特征周期的50倍，但運(yùn)動的初始條件實(shí)際上確是千變?nèi)f化的。在一般情況下的橫穩(wěn)性分析時，對每一運(yùn)動的初始條件都應(yīng)對運(yùn)動方程進(jìn)行數(shù)值積分，直到船舶的橫搖角到達(dá)一預(yù)定的傾覆角。因而應(yīng)對運(yùn)動方程進(jìn)行很多次數(shù)值積分（對應(yīng)于各個不同的運(yùn)動初始條件）才能得到統(tǒng)計上有意義的“達(dá)致傾覆所需的平均時間”或“在一特定時間段內(nèi)超過一特定橫搖角的概率”。這勢必會耗費(fèi)大量的計算時間。

3 邁爾尼科夫法

國內(nèi)外的科研工作者為開發(fā)更高效的理性分析船舶穩(wěn)性的方法做出了不懈的努力，人們基于現(xiàn)代的非線性隨機(jī)動力學(xué)理論，開發(fā)出了理性分析船舶動態(tài)穩(wěn)性的邁爾尼科夫法（Melnikov method），并通過實(shí)船運(yùn)用和船模實(shí)驗(yàn)證明了邁爾尼科夫法的合理性。在一般情況下的橫穩(wěn)性分析時，邁爾尼科夫法并不直接求解船舶橫搖運(yùn)動的非線性隨機(jī)微分方程，取而代之的是，邁爾尼科夫法專注于研究系統(tǒng)的質(zhì)的方面的行為（或者更精確地說，質(zhì)的方面不同的行為間的轉(zhuǎn)變）。邁爾尼科夫法的一個重要分析結(jié)果是邁爾尼科夫（Melnikov）函數(shù)，有關(guān)邁爾尼可夫理論的闡述可見Guckenheimer John和 Holmes Philip[23]，Wiggins[24]以及 Moon[25]等人各自的專著。邁爾尼可夫函數(shù)可以預(yù)報在一定種類系統(tǒng)中的混沌的產(chǎn)生，在存在混沌的情況下，質(zhì)的方面不同的行為的相位空間域（例如，船舶橫搖運(yùn)動安全域和船舶傾覆域）可以從一個域（例如，船舶橫搖運(yùn)動安全域）被傳輸?shù)搅硪粋€域（例如船舶傾覆域）,這將導(dǎo)致船舶意料外傾覆的發(fā)生。以下對邁爾尼科夫法的原理和公式作一簡要介紹。

3.1 邁爾尼科夫法的原理和公式

在絕大多數(shù)情況下，船舶都是被設(shè)計成為左右對稱的,當(dāng)船舶左右對稱時，縱蕩與橫搖、升沉與橫搖、縱搖與橫搖之間的一階耦合均為零。但橫蕩與橫搖、首尾搖與橫搖之間的一階耦合卻不為零。在本研究中，首尾搖與橫搖之間的耦合被假定為小量，因而只需考慮橫蕩和橫搖之間的耦合。一般來講，因?yàn)橛凶枘?，橫搖和橫蕩運(yùn)動是不能被解耦的，但在一些特殊的情況下，例如無阻尼或帶成比例阻尼的船舶，我們可以證明在這些情況下船舶將像一個單擺一樣繞一個橫搖中心橫搖，因而橫搖運(yùn)動和橫蕩運(yùn)動可被解耦。當(dāng)存在一般性的阻尼時，如果假定一個偽橫搖中心存在，則我們可獲得如下的帶非線性橫搖阻尼系數(shù)的單自由度橫搖運(yùn)動微分方程[26]：

其中I4代表船舶質(zhì)量對于船舶縱軸的慣量系數(shù)，A42代表由船舶的單位橫蕩位移引起的在橫搖方向上的附加質(zhì)量系數(shù)，Rc是偽橫搖中心在船舶重心之上的距離。φ是橫搖角，符號（·）代表對時間求導(dǎo)。A44代表船舶附加質(zhì)量對于船舶縱軸的慣量系數(shù)，M代表船舶質(zhì)量系數(shù)，zc是船舶重心垂向高度，B44代表船舶在橫搖方向上的阻尼力矩系數(shù)，B24代表由船舶的單位橫搖角引起的在橫蕩方向上的阻尼力系數(shù)，A22代表船舶在橫蕩方向上的附加質(zhì)量系數(shù)，ω代表遭遇波浪頻率，Δ是船舶的排水量，GZm（φ）是非線性橫搖復(fù)原力臂的多項(xiàng)式近似。A是波浪幅值，F(xiàn)roll（ω）是每單位波浪幅值的激勵力矩，F(xiàn)roll（ω）可用一些商用的水動力軟件求出。ψ是激勵力矩和入射波之間的參考相位角。ξ（t）是一個理想的、零均值和δ相關(guān)的高斯白噪聲，這個附加的高斯白噪聲近似了對外界諧和激勵力的隨機(jī)擾動。這種做法在船舶初始設(shè)計階段是允許的，此時船舶的各個詳細(xì)參數(shù)還沒有被最后確定，還沒經(jīng)過詳細(xì)計算得出船舶的響應(yīng)幅值算子，或者還沒有進(jìn)行模型試驗(yàn)得出船舶的響應(yīng)幅值算子，用諧和激勵附加高斯白噪聲來近似實(shí)際的隨機(jī)波浪外激勵可快速地評價船舶的響應(yīng)和穩(wěn)性表現(xiàn)，以便提出改進(jìn)方案而進(jìn)入下一輪循環(huán)設(shè)計。

為研究船舶的動態(tài)穩(wěn)性，一般的做法是用四階龍格—庫塔法來對微分方程（8）進(jìn)行數(shù)值積分，在求得了船舶橫搖運(yùn)動的響應(yīng)的時間歷經(jīng)以后來與靜穩(wěn)性消失角或進(jìn)水角 （如果進(jìn)水角小于穩(wěn)性消失角的話）比較。在經(jīng)過很多次仿真以后，將所得到的結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計分析，從而找出帶規(guī)律性的結(jié)論。但是一個沒有經(jīng)驗(yàn)的仿真者可能會對微分方程（8）來進(jìn)行日復(fù)一日的數(shù)值積分，卻永遠(yuǎn)也發(fā)現(xiàn)不了其中最重要的或最關(guān)鍵的結(jié)論。

邁爾尼科夫法能夠?yàn)榇肮こ處煼治龃皠討B(tài)穩(wěn)性提供一條新的途徑，邁爾尼科夫法是建立在現(xiàn)代的非線性動力學(xué)理論的基礎(chǔ)之上的。在用邁爾尼科夫法進(jìn)行船舶動態(tài)穩(wěn)性分析的過程中得到的一個重要結(jié)果是邁爾尼科夫衡準(zhǔn)，在有些情況下，這個衡準(zhǔn)能將船舶設(shè)計參數(shù)（船舶靜穩(wěn)性臂曲線形狀和阻尼）和波浪特征參數(shù)以一個簡單的解析公式聯(lián)系起來，這將極大地提高人們理性地分析船舶動態(tài)穩(wěn)性的效率。即使是在有些情況下我們得不出邁爾尼科夫函數(shù)的解析表達(dá)式，我們也可以很直截了當(dāng)?shù)赜脭?shù)值方法來求解此函數(shù)。為了方便地應(yīng)用邁爾尼科夫分析，我們先將方程（8）寫成如下無因次形式[27]：

請注意在方程（9）中我們重新取了一個以船舶諧搖頻率ωn表示的比例時間τ，方程（9）中的求導(dǎo)是對時間τ而言的，在變換過程中我們將方程（8）兩邊同除了［I44′＋A44′（ω）］，而且非線性橫搖復(fù)原力臂取了Thompson的α-參數(shù)族復(fù)原力函數(shù)[27]。方程（9）中的c、f是在代數(shù)推導(dǎo)過程中得到的中間系數(shù)，〈η（τ）〉＝0，〈η（τ′）η（τ）〉＝kδ（τ′- τ） ，δ（…）是狄拉克 δ函數(shù)，k代表高斯白噪聲強(qiáng)度。 請注意，這里不失一般性我們?nèi)×甩?0。用統(tǒng)計線性化的辦法對平方阻尼項(xiàng)進(jìn)行等效線性化，方程（9）可被簡化為：

近期王迎光等人[28]對用邁爾尼科夫法分析船舶動態(tài)穩(wěn)性的原理做了詳盡的闡述，介紹了邁爾尼科夫法對船舶意料外傾覆機(jī)理的解釋，指出為了避免船舶意料外傾覆則邁爾尼科夫函數(shù)不應(yīng)該有簡單零點(diǎn)。如果邁爾尼科夫函數(shù)無簡單零點(diǎn)，穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形將不橫向相交，異宿纏結(jié)將不會生成。因而跨越偽分界線的相位空間傳輸將不能實(shí)現(xiàn)，船舶意料外傾覆將不會發(fā)生，王迎光等人[28]推導(dǎo)得出了下述船舶在隨機(jī)激勵下大幅值混沌橫搖運(yùn)動響應(yīng)的邁爾尼科夫衡準(zhǔn)，該衡準(zhǔn)以參數(shù)f，Ω，β，α和k表示如下[28]：

當(dāng)方程（11）中的等式成立時就可獲得混沌橫搖運(yùn)動的臨界面的均方值表達(dá)式。

3.2 國內(nèi)外對邁爾尼科夫法分析船舶穩(wěn)性的已有研究

Makoto Kan等人[29-32]的船模實(shí)驗(yàn)在邁爾尼科夫法的早期發(fā)展過程中起了很大的促進(jìn)作用。實(shí)驗(yàn)的對象是一條135m長的集裝箱船（模型船長3.5m），實(shí)驗(yàn)在日本船舶技術(shù)研究所的80m×80m的方形水池中進(jìn)行，在總共763次在不規(guī)則波和規(guī)則波的運(yùn)行中，發(fā)現(xiàn)了225次傾覆，而且發(fā)現(xiàn)其中25%的傾覆是與倍周期分叉（period doubling bifurcation)現(xiàn)象聯(lián)系的，根據(jù)非線性動力學(xué)理論，出現(xiàn)倍周期分叉現(xiàn)象是系統(tǒng)中產(chǎn)生混沌的前奏，同樣根據(jù)非線性動力學(xué)理論，邁爾尼可夫函數(shù)可以預(yù)報在一定種類系統(tǒng)中的混沌的產(chǎn)生，這即從實(shí)驗(yàn)和理論上證明了用邁爾尼可夫法預(yù)報船舶傾覆行為的可行性。Makoto Kan等人[29-32]進(jìn)一步也進(jìn)行了極大數(shù)量的仿真來預(yù)報船舶的傾覆行為，并與邁爾尼可夫法預(yù)報的結(jié)果作了比對，同樣發(fā)現(xiàn)邁爾尼可夫解析分析可以被用來作為傾覆衡準(zhǔn)（criteria for capsizing)。

Falzarano等人[33-34]用邁爾尼可夫法研究了一艘小漁船（Patti-B）的瞬態(tài)橫搖運(yùn)動，這是一條傾覆過兩次的漁船，船長22.9m。它的第一次傾覆發(fā)生在靠近海岸附近，當(dāng)時它被人們救起了。時隔兩年以后，它在遠(yuǎn)離海岸處發(fā)生了第二次傾覆，永遠(yuǎn)沉沒了。在設(shè)計過程中進(jìn)行穩(wěn)性計算時，發(fā)現(xiàn)這艘漁輪的穩(wěn)性是超出了規(guī)范要求的衡準(zhǔn)值的。這是一個典型的發(fā)生船舶意料外傾覆的例子，F(xiàn)alzarano等人在事后研究中認(rèn)為Patti-B漁船的傾覆是與現(xiàn)行靜穩(wěn)性衡準(zhǔn)還沒有考慮到的一些動態(tài)效應(yīng)有關(guān)的，他們在事后研究中導(dǎo)得了該船的橫搖運(yùn)動微分方程，并根據(jù)某線性水動力軟件計算得到了該漁輪運(yùn)動方程中的各水動力參數(shù)，接著通過重取一個比例時間將該船的橫搖運(yùn)動微分方程化成了無因次形式的。他們接著用邁爾尼可夫法和相位空間傳輸理論對該漁輪的意料外傾覆機(jī)理做了解釋，在導(dǎo)得該漁輪的邁爾尼可夫衡準(zhǔn)公式后，計算得到了導(dǎo)致該漁輪傾覆的臨界波浪橫搖激勵力矩值和臨界波高值。

Hsien，Shang-Rou等人[35]用一單自由度橫搖模型來研究船舶在隨機(jī)海浪中的傾覆問題。他們在分析中考慮了海浪譜，非線性復(fù)原力矩特性和非線性阻尼等幾個因素。通過邁爾尼可夫函數(shù)，相位空間面積通量和隨機(jī)振動的結(jié)合而開發(fā)了一套非線性概率法。獲得了用有義波高、波浪特征周期、阻尼和剛度系數(shù)表達(dá)的發(fā)生船舶傾覆的條件,他們在研究中證明了邁爾尼科夫解析解的有效性。Bikdash等人[36]用邁爾尼科夫法的觀點(diǎn)檢查了船舶橫搖平方型和立方型非線性阻尼系數(shù)之間的等效性。Lin Huan等人[26]開發(fā)了一套基于均方值的隨機(jī)邁爾尼可夫法來研究船舶在隨機(jī)激勵下的傾覆問題，但他們的運(yùn)動方程中的復(fù)原力矩都是對稱型式的。

密歇根大學(xué)的船舶科研人員Jiang等人[37-38]用隨機(jī)邁爾尼可夫法（Stochastic Melnikov method）研究了船舶在隨機(jī)海浪中的強(qiáng)非線性橫搖運(yùn)動和傾覆問題，他們考慮了船舶有初始橫傾的影響。在他們的研究中，他們應(yīng)用了非線性動力系統(tǒng)分析的最新發(fā)展。Jiang等人[38]在未受擾動系統(tǒng)模型的相平面內(nèi)定義了安全域和不安全域來區(qū)分本質(zhì)上不同的船舶傾覆運(yùn)動和非傾覆運(yùn)動。當(dāng)系統(tǒng)的解逸出安全域時就代表了傾覆的發(fā)生，Jiang等人[38]用邁爾尼科夫（Melnikov）函數(shù)和相流率的概念研究了出現(xiàn)這種解的概率，他們的研究顯示這些解析工具能夠提供有關(guān)船舶在一給定海況下傾覆的可靠的、有預(yù)見性的信息。Jiang等人[38]在研究中同時指出：蠻力仿真（brute force simulation,雖然字面上這樣翻譯，但并無貶義，這是學(xué)術(shù)界對仿真直截了當(dāng)?shù)靥幚韱栴}的一種形象描述）只能作為理性分析方法的輔助工具，卻永遠(yuǎn)也替代不了理性分析方法。

Chen[39-42]通過詳細(xì)的數(shù)學(xué)推演和將變量數(shù)降低，將邁爾尼可夫法成功地應(yīng)用于船舶的多自由度非線性運(yùn)動問題。

Thompson在其綜述文獻(xiàn)[27]中指出：邁爾尼可夫曲線總能很好的估計傾覆（稍微有點(diǎn)保守）。Scolan[43]討論了用邁爾尼可夫法研究帶高階多項(xiàng)式復(fù)原力矩的船舶橫搖的可行性。邁爾尼可夫法被逐漸應(yīng)用于一些更復(fù)雜的橫搖數(shù)學(xué)模型，Jiang等人[44]在2000年應(yīng)用邁爾尼可夫法時考慮了流體動力的記憶效果，使得所考慮的動力系統(tǒng)有無窮維。Spyron等人[45]對2000年以前邁爾尼可夫法的重要進(jìn)展應(yīng)用作了回顧。Spyrou等人[46]利用邁爾尼科夫法來評估了橫浪中一帶橫搖初始傾斜的船舶的安全性，他們獲得了表征傾覆性和將臨界波傾、橫傾量和阻尼聯(lián)系起來的閉合型關(guān)系式，在他們的研究中邁爾尼科夫公式的精確性得到了驗(yàn)證。McCue[47]指出了將邁爾尼科夫法與實(shí)驗(yàn)法聯(lián)合應(yīng)用來處理非常規(guī)船型和高性能船舶穩(wěn)性的前景。近期Spyrou[48]利用邁爾尼科夫法來研究了隨浪中船舶的非對稱縱蕩問題。

值得注意的是國內(nèi)的科研人員也在將邁爾尼科夫法積極地運(yùn)用到船舶穩(wěn)性的研究中，例如上海交通大學(xué)的沈棟[49-50]在隨機(jī)橫浪作用下船舶傾覆概率的研究中就曾采用過邁爾尼科夫法。紀(jì)剛等人[51]運(yùn)用安全池理論計算了船舶穩(wěn)性，安全池在一定條件下將發(fā)生破損，此時船舶極易傾覆，他們用邁爾尼科夫法導(dǎo)出安全池破損的條件，以某型船舶為例，計算了該船舶安全池破損的閾值，對五個海況進(jìn)行了安全性校核，并與現(xiàn)行規(guī)范采用的極限載荷法進(jìn)行了比較，通過數(shù)值仿真繪制了各參數(shù)條件下的安全池。袁遠(yuǎn)等人[52]用邁爾尼科夫法研究了船舶在規(guī)則波中的傾覆。袁遠(yuǎn)等人[53]隨后用邁爾尼科夫法研究了船舶在隨機(jī)橫浪中的傾覆，他們應(yīng)用非線性隨機(jī)動力系統(tǒng)理論，從系統(tǒng)穩(wěn)定性的角度來分析船舶在隨機(jī)橫浪上的運(yùn)動穩(wěn)定性，籍此來研究隨機(jī)海浪中船舶傾覆的機(jī)理。他們的研究發(fā)現(xiàn)隨機(jī)動力系統(tǒng)的全局分岔是導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)并導(dǎo)致船舶傾覆的一種途徑，基于這一思路借助隨機(jī)邁爾尼科夫法，通過求取相流函數(shù)零點(diǎn)得到了船舶運(yùn)動全局穩(wěn)定性喪失時海浪條件的閾值，從而可以對船舶的抗傾覆能力做出定量的考察。金咸定等人[54]基于非線性動力學(xué)理論，以系統(tǒng)運(yùn)動的全局分岔為出發(fā)點(diǎn)，來探索在規(guī)則橫浪中船舶傾覆的機(jī)理，應(yīng)用邁爾尼科夫法，通過構(gòu)造船舶運(yùn)動的邁爾尼科夫函數(shù)來獲得導(dǎo)致船舶傾覆的海浪條件的閾值，從而對船舶的安全營運(yùn)起到一定的指導(dǎo)作用。為了解決解析分析邁爾尼科夫函數(shù)的難題，他們在研究中還提出了便于工程分析應(yīng)用的邁爾尼科夫函數(shù)的數(shù)值算法。唐友剛等人[55]應(yīng)用邁爾尼科夫函數(shù)和相空間轉(zhuǎn)移率研究船舶在隨機(jī)波浪中的強(qiáng)非線性橫搖運(yùn)動及其傾覆問題，分析了波浪特征頻率、特征波高、船舶非線性復(fù)原力臂以及阻尼特性對相空間轉(zhuǎn)移率的影響。以長30.7m、寬6.9m的漁船為例，采用ISSC波浪譜，在時域內(nèi)計算了邁爾尼科夫函數(shù)，得到了相空間轉(zhuǎn)移率與邁爾尼科夫函數(shù)之間的關(guān)系以及有義波高對相空間轉(zhuǎn)移率的影響，他們的研究表明：隨著有義波高增大，相空間轉(zhuǎn)移率不斷增大，船舶航行的安全域迅速減小。從而揭示了相空間轉(zhuǎn)移率與船舶傾覆的內(nèi)在密切聯(lián)系，為船舶的設(shè)計和穩(wěn)性衡準(zhǔn)提供了有價值的參考。劉利琴等人[56]綜述了國內(nèi)采用非線性動力學(xué)理論和方法研究船舶運(yùn)動的復(fù)雜動力學(xué)行為方面的進(jìn)展，特別總結(jié)了在船舶非線性耦合運(yùn)動、橫浪運(yùn)動、縱浪上參數(shù)激勵運(yùn)動和波浪上參數(shù)與波浪聯(lián)合激勵運(yùn)動方面的研究現(xiàn)狀及取得的主要成果，介紹了船舶在隨機(jī)橫風(fēng)橫浪中安全池的分析方法及采用邁爾尼科夫法研究船舶傾覆運(yùn)動特性取得的進(jìn)展。浦金云等人[57]系統(tǒng)地分析了具有淹水艙的艦船在波浪中橫搖運(yùn)動時船和艙內(nèi)水的能量耦合作用,根據(jù)拉格朗日方程建立了具有淹水艙的艦船橫搖運(yùn)動兩自由度微分方程，并在此基礎(chǔ)上，用邁爾尼科夫法對某實(shí)船破損進(jìn)水后的橫搖運(yùn)動進(jìn)行了非線性分析，驗(yàn)證了所建模型的實(shí)用性，為進(jìn)一步分析破損進(jìn)水艦船在風(fēng)浪中的橫搖運(yùn)動特性提供了可行的數(shù)學(xué)模型。

3.3 應(yīng)用邁爾尼可夫法時應(yīng)注意的問題

我們注意到在推導(dǎo)邁爾尼科夫衡準(zhǔn)公式（11）時只考慮了橫搖和橫蕩運(yùn)動，這也就是說在用已有的邁爾尼科夫衡準(zhǔn)作實(shí)例分析時只研究了船舶的橫穩(wěn)性。因?yàn)樗械拇岸贾饕窃跈M向傾覆[58]，用邁爾尼科夫分析就可以輔助處理初始設(shè)計階段大多數(shù)的船舶穩(wěn)性問題。但是船舶的隨浪穩(wěn)性問題目前也在引起人們的注意，用邁爾尼科夫解析分析來處理此類問題看來是有局限的[48]，因?yàn)樵跀?shù)學(xué)建模時要包含作用于船上的載荷的過多細(xì)節(jié)[48]。

4 首次穿越理論

4.1 國內(nèi)外對用首次穿越理論分析船舶穩(wěn)性的已有研究

研究船舶在隨機(jī)海浪中的穩(wěn)性和傾覆問題的另一方法是利用隨機(jī)結(jié)構(gòu)動力學(xué)中的首次穿越（first passage）理論。目前對于首次穿越問題只有基于馬爾科夫（Markov）隨機(jī)過程的一階問題才有解。文獻(xiàn)[59]的作者研究了由諧和和白噪聲聯(lián)合激勵的非線性振蕩系統(tǒng)的首次穿越時間。他們首先用隨機(jī)平均法將系統(tǒng)運(yùn)動方程降階為一組伊藤（It?）隨機(jī)微分方程，接著建立了控制條件可靠性函數(shù)的后向科馬格諾夫（Kolmogorov）方程和一組控制首次穿越時間條件矩的廣義龐垂亞根（Pontryagin）方程。最后通過解帶適當(dāng)?shù)某跏己瓦吔鐥l件的后向Kolmogorov方程和廣義Pontryagin方程獲得了條件可靠性函數(shù)和首次穿越時間的條件概率密度和條件矩。他們用數(shù)值仿真驗(yàn)證了其解析解。以上即是解決首次穿越問題的一般步驟。已故英國學(xué)者Roberts[60-64]不但對首次穿越理論的發(fā)展貢獻(xiàn)頗多，而且首先應(yīng)用首次穿越理論來進(jìn)行船舶在隨機(jī)海浪中的橫搖和傾覆研究。他[65-67]首先采用基于能量包線的隨機(jī)平均法來預(yù)報受不規(guī)則波激勵的船舶和運(yùn)輸駁船的橫搖響應(yīng)的平均首次穿越時間，基于能量包線的隨機(jī)平均法并不受外激勵水平高低的限制。但是應(yīng)該指出文獻(xiàn)[65]、[66]和[67]研究的重點(diǎn)是開發(fā)船舶橫搖運(yùn)動的隨機(jī)理論，有關(guān)船舶穩(wěn)性的首次穿越理論并沒有被完整地系統(tǒng)地闡述出來，所提供的計算的例子也太過于簡化。近期王迎光等人[68]在Roberts的初步工作的基礎(chǔ)上做了進(jìn)一步的研究，他們利用一組基于廣義諧和函數(shù)的變換首先將船舶橫搖方程降階為一組一階隨機(jī)微分方程，接著利用一個新的隨機(jī)平均程序獲得了幅值過程微分方程的平均漂移和擴(kuò)散系數(shù)的閉合形表達(dá)式，接下來建立了控制橫搖幅值過程平均首次穿越時間的Pontryagin-Vitt方程。推導(dǎo)了Pontryagin-Vitt方程的兩個邊界條件，通過數(shù)值求解該邊界值問題獲得了平均首次穿越時間和首次穿越概率值。他們還首次研究了非線性阻尼系數(shù)對平均首次穿越時間的影響。

Cai等人[69-70]采用基于能量包線的隨機(jī)平均法研究了在隨機(jī)海浪中遭受外激和參激聯(lián)合作用的船舶的首次穿越問題。Yim[71]等人在2005年研究了一艘駁船的非線性耦合運(yùn)動，建立了一個擬二自由度隨機(jī)模型，并進(jìn)行了在隨機(jī)海浪中的穩(wěn)性分析。由于非線性橫搖和升沉運(yùn)動的耦合效應(yīng)是明顯的，通過利用觀測到的升沉幅值試驗(yàn)測量結(jié)果和波浪高程的強(qiáng)依賴性，他們將二自由度橫搖升沉模型中的升沉值表示為波高的函數(shù)，因而開發(fā)了一個精確和有效的擬二自由度模型。利用此擬二自由度模型基于首次穿越時間公式對此駁船進(jìn)行了隨機(jī)穩(wěn)性分析。根據(jù)美國海軍制定的運(yùn)營和生存海況（1到9級），結(jié)果顯示在7級以上海況運(yùn)營時，該駁船的可靠性顯著降低。

4.2 應(yīng)用首次穿越理論時應(yīng)注意的問題

建立在馬爾科夫擴(kuò)散過程理論和隨機(jī)平均法之上的首次穿越理論是很嚴(yán)密和精深的，將其應(yīng)用于船舶在隨機(jī)海浪上的穩(wěn)性和傾覆預(yù)報可以說是一種非常積極和有意義的探索。但是對首次穿越理論本身的理解和將理論應(yīng)用于具體問題都是有相當(dāng)難度的，尤其是要達(dá)到使工業(yè)界的船舶工程師能理解這套理論并應(yīng)用于日常的設(shè)計實(shí)踐中難度將更大，因而還需船舶教學(xué)和科研工作者們繼續(xù)為此做出不懈的努力。

5 研究展望

在新概念船型的初始開發(fā)過程中，特別是一些高性能特殊船型和一些軍用的高速艦船的初始開發(fā)設(shè)計中，穩(wěn)性問題將是一個突出的問題，因?yàn)楝F(xiàn)行的穩(wěn)性規(guī)范衡準(zhǔn)僅在應(yīng)用于普通常規(guī)船型時才是可靠的，在這方面，邁爾尼科夫分析可被用作為一個分析船舶動態(tài)穩(wěn)性的高效的輔助工具。筆者認(rèn)為諸如此類的針對邁爾尼科夫法的應(yīng)用研究是很值得進(jìn)行的。另外，在一些用邁爾尼科夫解析分析來處理有局限的問題上，例如船舶的隨浪穩(wěn)性問題，是否可將邁爾尼科夫法和時域仿真配合起來使用？即先用邁爾尼科夫分析縮小應(yīng)研究的船舶初始條件和控制參數(shù)的范圍，然后再有針對性地進(jìn)行時域仿真，這將大大提高時域仿真的效率，作者認(rèn)為在這方面也值得進(jìn)行進(jìn)一步的研究。

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