平面三自由度并聯(lián)機構(gòu)動力學優(yōu)化設(shè)計

魯開講 師俊平 張鋒濤

1.西安理工大學，西安，710048 2.寶雞文理學院，寶雞，721007

0 引言

最大限度地提高機構(gòu)的運動速度，是機器人機構(gòu)的發(fā)展趨勢，機器人在最大加速或最高速度作業(yè)時，構(gòu)件的慣性力、離心力和哥氏力也隨之增大，成為阻礙機器人向高速發(fā)展的主要因素。為了評定機器人機構(gòu)的動力學性能，眾多學者［1－4］提出了多種動力學性能指標來量化機構(gòu)的動力學品質(zhì)?；诓煌阅苤笜耍瑢崿F(xiàn)了機構(gòu)的運動學［5］和動力學［6－8］優(yōu)化，改善了機構(gòu)的動態(tài)品質(zhì)。機器人的工作空間也是衡量機器人性能的重要指標，機構(gòu)的動力學性能和工作空間往往是矛盾的，為了獲得較好的動力性能，就須以犧牲工作空間為代價。優(yōu)化設(shè)計是協(xié)調(diào)各種指標之間的矛盾并使它們達到均衡的可行方法。本文以機構(gòu)在預定設(shè)計空間內(nèi)全局動力學性能最優(yōu)為目標，對機構(gòu)的尺度參數(shù)進行了優(yōu)化設(shè)計，兼顧了機構(gòu)對工作空間和動力學性能兩個方面的要求。

1 并聯(lián)機構(gòu)速度及加速度分析

平面三自由度并聯(lián)機構(gòu)的運動平臺通過相同的3條支鏈與基座相連，每條支鏈包括1個連架桿、1個連桿和3個轉(zhuǎn)動副，基座和動平臺上的轉(zhuǎn)動副中心分別位于兩個等邊三角形的頂點上，這兩個三角形的邊長分別為a和b，如圖1所示。選取參考坐標系Oxy，原點位于三角形A1A2A3的中心，x軸平行于A1A2。取與動平臺固連的坐標系Px′y′，坐標原點P位于三角形C1C2C3的中心，x′軸平行于C1C2。

圖1 平面三自由度并聯(lián)機構(gòu)運動簡圖

當已知動平臺的速度矢量，可求得該分支關(guān)節(jié)相對速度：

2 并聯(lián)機構(gòu)的凱恩方程

在給出動平臺的運動后，所有關(guān)節(jié)的相對速度和加速度都可以由式（1）和式（2）求得，因此選取動平臺的位姿為廣義坐標。

2.1 構(gòu)件廣義主動力和廣義慣性力計算

將構(gòu)件的角速度及構(gòu)件質(zhì)心的速度用獨立速度表示：

構(gòu)件對各獨立速度的廣義主動力和廣義慣性力為

其中，RG和MG分別為構(gòu)件對質(zhì)心簡化的主矢和主矩；分別為構(gòu)件對質(zhì)心的慣性力和慣性力矩：

式中，m為構(gòu)件的質(zhì)量；aG為質(zhì)心的加速度；r′為質(zhì)量微元d m相對簡化中心的矢徑；a′為微元d m相對簡化中心的加速度。

對于長度是L1，質(zhì)量是m1的輸入桿，設(shè)其上作用的驅(qū)動力矩為τr，則有

對于動平臺，其質(zhì)量是m，面積密度為q，其上作用的操作力偶和操作力為M、Fx、Fy，則有

式中，x′、y′為微元的局部坐標。

2.2 機構(gòu)動力學方程

將所有構(gòu)件上的廣義主動力和廣義慣性力分別求和，得到機構(gòu)相對于各個獨立速度的廣義主動力和廣義慣性力：

機構(gòu)的動力學方程可以表示為

從中求得主動關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩矢量：

式中，V（x）為操作空間的慣性矩陣，V（x）∈R3×3；B（x）為離心力、哥氏力對關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩的影響，B（x）∈ R3×3×3；F（x）為克服外界負載和補償重力的部分。

3 動力學性能優(yōu)化

3.1 機構(gòu)的工作空間與設(shè)計空間

動平臺參考點可以到達的所有點的集合稱為可達工作空間，靈活工作空間是參考點可以從任何方向到達的點的集合。如圖2所示的平面3R機構(gòu)，末端桿能從任何方向到達P點的條件是機構(gòu)的結(jié)構(gòu)尺寸滿足曲柄存在的條件：L3＋L1≤L2＋L4，L3＋L2≤L1＋L4，L3＋L4≤L1＋L2且以最短桿L3為連架桿。機構(gòu)的靈活空間是以A為中心環(huán)形區(qū)域：

圖2 平面3R機構(gòu)運動簡圖

平面三自由度并聯(lián)機構(gòu)的靈活空間即是3條支鏈（平面3R機構(gòu)）靈活空間的交集，以其內(nèi)切圓作為并聯(lián)機構(gòu)的設(shè)計空間，如圖3所示，則機構(gòu)的結(jié)構(gòu)尺寸應滿足的條件：

圖3 機構(gòu)的靈活工作空間與設(shè)計空間

給定機構(gòu)的尺度后，設(shè)計空間的半徑可以由式（4）確定。機構(gòu)在制造或裝配時，兩轉(zhuǎn)動副的中心距的限制條件為

3.2 機構(gòu)動力學性能指標

機器人動力學的復雜性不僅在于結(jié)構(gòu)的復雜性，也由于作業(yè)情況的多樣性和影響因素的可變性，在進行軌跡規(guī)劃或?qū)嶋H控制時，必須考慮在整個設(shè)計空間以及機構(gòu)運行速度和加速度的范圍內(nèi)，關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩的最大值，它反映了機器人在工作空間的總體性能，為此定義加速性能指標Ta、高速性能指標Ts和綜合性能指標Tz3個全局性能指標：

3.3 機構(gòu)動力學優(yōu)化設(shè)計

與傳統(tǒng)的串聯(lián)機器人相比，并聯(lián)機構(gòu)最大的不足就是工作空間相對較小。另外在工作空間中心部位，動力學性能良好，由里向外，機構(gòu)的動力特性變差［7，9］。對機構(gòu)進行動力學優(yōu)化設(shè)計，就是要兼顧設(shè)計空間與動力學性能這對矛盾的兩方面，將動力學優(yōu)化描述成：給定機構(gòu)的設(shè)計空間，確定一組結(jié)構(gòu)參數(shù)和動力學參數(shù)，在結(jié)構(gòu)參數(shù)滿足工作空間要求的幾何約束條件下，使機構(gòu)的某種全局性能指標在整個設(shè)計空間最優(yōu)。有實用意義的優(yōu)化模型有：

（1）對于僅在低速運行的機構(gòu)，為了使機構(gòu)結(jié)構(gòu)最緊湊，占用的空間最小，應使其尺度參數(shù)的總和最小，即在滿足設(shè)計空間的約束條件式（4）和式（5）下，使

（2）對于加減速頻繁和高速運行的機構(gòu)，使機構(gòu)的某項動力性能最優(yōu)化的設(shè)計，即在滿足設(shè)計空間的約束條件式（4）和式（5）下，使

式（6）的性能指標的含義是：在給定的結(jié)構(gòu)參數(shù)b下，使動平臺在整個設(shè)計空間任意運動，對于設(shè)計空間的某一點，動平臺以允許范圍的任意速度和加速度，且能從任意方向到達該點，3個主動關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩的最大值作為該點的驅(qū)動力矩τ，它在整個設(shè)計空間的最大值作為給定參數(shù)下的性能指標。動力學優(yōu)化是以結(jié)構(gòu)參數(shù)為設(shè)計變量，為了避免探索中的盲目性，采用了靈敏度分析。在迭代的每一輪，得到了一組結(jié)構(gòu)參數(shù)b（k），并且知道機構(gòu)在這組結(jié)構(gòu)參數(shù)下，動平臺位于設(shè)計空間的一點x（k）時，式（6）的關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩最大。求優(yōu)的目標就是改變結(jié)構(gòu)參數(shù)b（k），使得關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩τ（k）在整個設(shè)計空間下降，當然先得在該點下降，為此將關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩看作結(jié)構(gòu)參數(shù)的多元函數(shù)，計算關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩對各結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度：

它反映了由于結(jié)構(gòu)參數(shù)bj的變化所引起τ（k）變化的方向和變化程度。從而得到影響關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩最敏感的結(jié)構(gòu)參數(shù)，同時由靈敏度的正負號知道，改變該參數(shù)將使關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩變化的方向。優(yōu)化的目標是希望τ的絕對值下降，因而可以按照下面的準則確定的變化方向：當?shù)姆栂喾?；當τ（k）＜的符號一致。

由于機構(gòu)動力性能指標是結(jié)構(gòu)參數(shù)極其復雜的函數(shù)，無法得到靈敏度的解析表達（超出了MATLAB符號運算能力），因而將其用差商表示：

在滿足工作空間的幾何約束的條件下，優(yōu)先考慮修改靈敏度高的參數(shù)，并以滿足約束的靈敏度構(gòu)造探索方向，沿該方向必然使關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩在x（k）處下降。探索步長可以用實驗校正法確定，其準則是：步長保證結(jié)構(gòu)參數(shù)修改后，機構(gòu)在預定設(shè)計空間的x（k）處關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩下降，而在x（k）以外的其他位置，關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩小于τ（k）。

4 應用實例

根據(jù)要求，機構(gòu)設(shè)計空間包含半徑為0.5m的圓，且在該圓內(nèi)任意一點，動平臺可以從任何方向到達該點。動平臺運行的最大速度和加速度分別為，且要求每個構(gòu)件上的兩轉(zhuǎn)動副的中心距不小于120mm，即 min（a，b，L1，L2）≥0.12m。先確定滿足設(shè)計空間的一組結(jié)構(gòu)參數(shù)：L1＝0.79m，L2＝0.675m，a＝1.36m，b＝0.25m，動力學參數(shù)：桿AB和BC為均質(zhì)桿，直徑52mm，動平臺為厚50mm的等邊三角形均質(zhì)板。

對于優(yōu)化模型式（8），求解困難的原因是關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩的表達式極其復雜，如果要考慮運行速度、加速度及設(shè)計空間的所有情形，則計算式（6）時間將十分冗長，在迭代求優(yōu)過程中，需要將式（6）計算多次，這將使優(yōu)化模型式（8）的求解無法實現(xiàn)。為了對問題進行簡化，又不失求解的準確性，作如下分析。首先由式（3）可見，在給定結(jié)構(gòu)參數(shù)前提下，關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩τ取決于動平臺的位姿及運行的速度和加速度，在機構(gòu)的每個位姿上，動平臺的速度和加速度與主動關(guān)節(jié)的速度和加速度之間保持式（1）和式（2）的傳遞關(guān)系，如果提高動平臺的速度和加速度，就必須增加關(guān)節(jié)運動速度和加速度，式（3）中，由加速度和速度引起的關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩也必然隨之增大。因而將式（6）中限制運行速度和加速度的不等式按等式處理，所得的最優(yōu)解與原問題等價。在所給的結(jié)構(gòu)參數(shù)下，讓動平臺以最大速度和加速度沿著設(shè)計空間作不同半徑的圓周運動時，在圓上的每一點處，使動平臺從不同方向到達該點，計算每個方向上3個主動關(guān)節(jié)的驅(qū)動力矩，取其最大值，再從所有方向的最大值中取極大值，作為該點的驅(qū)動力矩。關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩在設(shè)計空間的變化規(guī)律如圖4所示，由圖4可見，使動平臺產(chǎn)生同樣大小的速度和加速度，在設(shè)計空間內(nèi)由里向外，關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩遞增。因而在計算性能指標Ta、Ts、Tz時，為了提高求解速度只需要考慮動平臺以最大速度和加速度沿著設(shè)計空間的邊界運行時的情形。

圖4 關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩在設(shè)計空間的變化規(guī)律

以機構(gòu)尺度參數(shù)為設(shè)計變量，b＝ （L1，L2，a，b），求解優(yōu)化模型式（7）和式（8），得到機構(gòu)不同性能指標下的最優(yōu)尺度參數(shù)，如表1所示。與初始方案相比，各項性能得到了較大幅度的改善。以綜合性能的優(yōu)化結(jié)果為例，優(yōu)化后關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩在設(shè)計空間的變化比優(yōu)化前平緩，且最大值減小了56.55%，如圖5所示。

圖5 優(yōu)化后關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩在設(shè)計空間的變化曲線

L1（m）L2（m）a（m）b（m）T＊c（m）T＊a（N·m）T＊s（N·m）T＊z（N·m）初值 0.790 000 00 0.675 000 00 1.360 000 00 0.250 000 00 3.075 000 0 1393.990 60 2035.380 00 2070.998 90尺度最優(yōu) 0.569 282 03 0.569 282 03 0.986 025 40 0.120 000 00 2.244 589 5 1.292 087 2×108 9.246 817 8×1010 9.259 738 7×1010加速性能 1.014 599 60 2.008 009 20 3.236 685 70 0.142 218 52 6.401 513 0 292.994 72 1012.508 70 1029.040 10高速性能 2.174 505 80 1.283 522 80 3.627 559 20 0.120 000 00 7.205 587 8 1597.050 90 451.406 60 1939.727 40綜合性能 1.674 176 40 0.953 729 89 2.553 841 90 0.120 000 00 5.301 748 2 410.385 21 629.278 46 899.898 16

為了驗證所得結(jié)果的正確性，分別賦予機構(gòu)各種動力性能最優(yōu)的尺度參數(shù)，使動平臺以給定的最大加速度和最高速度經(jīng)過預定設(shè)計空間的每一點，得到關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩的絕對值在設(shè)計空間的分布，如圖6～圖8所示，結(jié)果顯示，關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩在整個設(shè)計空間沒有十分巨大的數(shù)值，且變化平緩，變化范圍小，這預示著，在優(yōu)化所得的尺度參數(shù)下，機構(gòu)在預定的設(shè)計空間始終具有較好的動力學性能。并且關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩的最大值始終出現(xiàn)在設(shè)計空間的邊界圓上，說明沿著設(shè)計空間的邊界計算所得的性能指標Ta、Ts、Tz能夠衡量機構(gòu)在整個設(shè)計空間的性能。

圖6 按加速性能優(yōu)化后關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩在設(shè)計空間的變化規(guī)律

為了量化結(jié)構(gòu)參數(shù)變化引起的動力學性能的變化程度，僅以綜合性能最優(yōu)的結(jié)果為例，使各參數(shù)以b＊為中心，在一定范圍內(nèi)變化：

圖7 按高速性能優(yōu)化后關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩在設(shè)計空間的變化規(guī)律

圖8 按綜合性能優(yōu)化后關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩在設(shè)計空間的變化規(guī)律

在滿足工作空間約束條件下，依次改變其中的一個機構(gòu)參數(shù)bj，而保持其他的參數(shù)不變，其相對變化量在滿足設(shè)計空間約束的前提下，計算機構(gòu)相應構(gòu)型的關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩，繪制關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩隨結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化曲線，如圖9所示。由圖9可見，在極值點附近，動力性能指標隨結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化比較平緩，這意味著即使參數(shù)有擾動，關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩也不會有太大的變化，機構(gòu)的動力性能還能保持在接近最佳的狀態(tài)。

圖9 優(yōu)化后關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩隨尺度參數(shù)的變化曲線

為了反映機構(gòu)運動速度及加速度對動力學性能的影響，給定動平臺的運動規(guī)律：

計算并繪制關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩隨機構(gòu)運動的變化規(guī)律，如圖10所示，隨著動平臺向著設(shè)計空間的邊界運動及速度和加速的的增大，關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩迅速增大。在給定運動條件下的關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩比優(yōu)化所得的極小值還要小得多，這是因為，優(yōu)化設(shè)計是以運行速度和加速度及設(shè)計空間所有情形下的最壞情況為準則的，對于任意指定的運動，機構(gòu)的動力學性能距離最壞情況還有較大的裕度。

圖10 給定運動下關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩的變化規(guī)律

在實際應用中，還存在一些需要引起注意的情況，以尺度最優(yōu)的結(jié)果是滿足設(shè)計空間要求的最緊湊的結(jié)構(gòu)方案，但在設(shè)計空間中存在奇異位形。在按加速性能和高速性能設(shè)計的參數(shù)中，存在較長的桿件（長度超過2m），在應用中，要分析構(gòu)件的彈性變形引起的振動和位姿誤差。

5 結(jié)束語

基于凱恩方法，建立了平面三自由度并聯(lián)機構(gòu)的剛體動力學方程，提出了量化機構(gòu)動力學性能的3種指標：加速性能、高速性能和綜合性能指標。以這些全局性能指標為基礎(chǔ)，實現(xiàn)了機構(gòu)的動力學優(yōu)化設(shè)計，得到了兼顧設(shè)計空間大小和動力學性能的最優(yōu)尺度參數(shù)，對于優(yōu)化后的機構(gòu)，關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩在預定設(shè)計空間的變化趨于平緩，且峰值大幅度減小。

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