關(guān)于Sierpinski墊片的Hausdorff測(cè)度的上界估計(jì)

王 謙， 何國(guó)龍

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引 言

在分形幾何的研究中，對(duì)于滿足開集條件的自相似集，其Hausdorff維數(shù)計(jì)算問題已完全解決，但Hausdorff測(cè)度的精確值計(jì)算仍非常困難，大多只能通過計(jì)算其上下界以逼近其準(zhǔn)確值.通過Hausdorff測(cè)度的定義可以得到其上界，當(dāng)然最好的上界就是準(zhǔn)確值，因此，如何估計(jì)出較優(yōu)的上界值是逼近準(zhǔn)確值的重要問題.Sierpinski墊片是經(jīng)典的滿足開集條件的自相似集，它的Hausdorff維數(shù)s=dimH(S)=log23，對(duì)于其Hausdorff測(cè)度，目前只有上下界的估計(jì)值.文獻(xiàn)[1]否定了1987年Marion關(guān)于Sierpinski墊片測(cè)度的猜測(cè)(Hs(S)=3s/6)，并給出上界值Hs(S)≤0.910 5；文獻(xiàn)[2]改進(jìn)上界值為Hs(S)≤0.890 0；文獻(xiàn)[3]將上述上界改進(jìn)到Hs(S)≤0.870 08…；文獻(xiàn)[4]得到了目前最好的上界估值為Hs(S)≤0.817 930 0….本文通過構(gòu)造新的覆蓋，并給出相應(yīng)的算法，通過數(shù)值計(jì)算得到了更好的上界估計(jì)值.

1 Sierpinski墊片

定義1[5]設(shè)S1,S2,…,Sm:Rn→Rn，對(duì)任意x,y∈Rn，滿足

|Si(x)-Si(y)|=ci|x-y|.

圖1 Sierpinski墊片

Sierpinski墊片S是經(jīng)典的自相似集.

圖2 標(biāo)志點(diǎn)示意圖

如圖2所示，以2-k-S的一個(gè)頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以其中一邊為x軸，建立直角坐標(biāo)系.2-k-S中包含3n個(gè)2-(n+k)-S，對(duì)構(gòu)成2-k-S的每個(gè)三角形，其橫坐標(biāo)最小的頂點(diǎn)稱為標(biāo)志點(diǎn).借鑒文獻(xiàn)[4]的方法，可以建立以下引理:

引理1設(shè)(x,y)為一個(gè)2-(n+k)-S的標(biāo)志點(diǎn)，則必有下述二進(jìn)制表示：

反之，若坐標(biāo)滿足上述二進(jìn)制表示，則必為一個(gè)2-(n+k)-S的標(biāo)志點(diǎn).

引理1與引理2均可由歸納法證明.

命題1設(shè)△OAB是一個(gè)2-k-S所在的三角形，以一個(gè)頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，以O(shè)A所在的邊為x軸建立直角坐標(biāo)系，PQ是以(x0,y0)為圓心，r為半徑的圓上的一段弧(如圖3所示)，記:

圖3 2-k-S

則曲邊三角形PQB中的2-(n+k)-S三角形個(gè)數(shù)為

由于曲邊三角形PQB中的2-(n+k)-S三角形的標(biāo)志點(diǎn)(x,y)滿足(x-x0)2+(y-y0)2≤r2，聯(lián)立方程組

化簡(jiǎn)上述方程組，即有

取yi為滿足上述不等式關(guān)系，且具有二進(jìn)制小數(shù)表示yi=0.yi1yi2…yi(n+k)(0≤yij≤xij)的最小的數(shù)，再利用引理2知曲邊三角形PQB中的2-(n+k)-S三角形個(gè)數(shù)為

2 Sierpinski墊片的Hausdorff測(cè)度的上界估計(jì)

由Hausdorff測(cè)度定義[6]，易建立引理3.

引理3若E是滿足開集條件的自相似集，s=dimHE，則

引理4若E是滿足開集條件的自相似集，s=dimHE，則

由引理4，即可得到命題2.

命題2對(duì)于Sierpinski墊片S，如果包含N個(gè)2-k-S，1≤N≤3k，則

圖4 覆蓋示意圖

構(gòu)造覆蓋：以S0的3個(gè)頂點(diǎn)A,B,C為端點(diǎn)，在S0的三邊上分別截取長(zhǎng)度為2-2的6條線段AA1,AA2,BB1,BB2,CC1,CC2，分別以點(diǎn)A1,A2,B1,B2,C1,C2為圓心，1-2-2為半徑作圓弧A1D,A2E,B1F,B2G,C1H,C2I，連接DE,FG,HI，取覆蓋U為曲十二邊形A2EDA1B2GFB1C2IHC1，|U|=1-2-2，則覆蓋U包含6個(gè)2-2-S及6個(gè)等覆蓋的曲邊三角形.

在圓弧A1D所在的2-3-S三角形OA1P上建立直角坐標(biāo)系(如圖4所示)，以O(shè)為原點(diǎn)，OA1所在的邊為x軸.

設(shè)U包含N個(gè)2-(n+3)-S，1≤N≤3n+3，則由命題2知

其中：N=6×3n+1+6×g；g為曲邊三角形A1DP中的2-(n+3)-S三角形數(shù).

圖5 2-3-S

則曲邊三角形A1DP中的2-(n+3)-S三角形個(gè)數(shù)為

所以Sierpinski墊片的Hausdorff測(cè)度的上界為

利用Matlab編程計(jì)算可得如表1所示的結(jié)果.

表1 Sierpinski墊片的上界估計(jì)

注：所有結(jié)果均采用四舍五入取八位有效數(shù)字.

圖6 局部覆蓋示意圖

由于覆蓋集的構(gòu)造極大地影響了Hausdorff測(cè)度上界值的估計(jì)，因此改進(jìn)覆蓋集可以進(jìn)一步改進(jìn)Hausdorff測(cè)度上界的估計(jì)值.

改進(jìn)覆蓋：仍取覆蓋U′為曲十二邊形A2EDA1B2GFB1C2IHC1，但AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2=1-2-2-2-8，即|U′|=1-2-2-2-8(如圖6所示).

圓弧A1D交2-8-S三角形A1QL的側(cè)邊于點(diǎn)K，交2-3-S三角形OPQ的側(cè)邊于點(diǎn)R，則曲邊三角形A1KL在2-8-S三角形A1QL中，曲邊三角形RDP在2-3-S三角形OPQ中.

設(shè)U′包含N個(gè)2-(n+8)-S，1≤N≤3n+8，則由命題2知

其中：N=6×3n+6-6×3n+6×(g1+g2)；g1，g2分別為曲邊三角形A1KL和曲邊三角形RDP中的2-(n+8)-S三角形數(shù).

利用Matlab編程計(jì)算可得Sierpinski墊片的Hausdorff測(cè)度上界有如表2所示的結(jié)果.

表2 Sierpinski墊片的上界估計(jì)

因此，計(jì)算得Sierpinski墊片的Hausdorff測(cè)度Hs(S)≤0.817 918 996….

上述Sierpinski墊片的Hausdorff測(cè)度上界的估計(jì)方法，實(shí)質(zhì)是在構(gòu)造的覆蓋集中盡可能多地計(jì)算出覆蓋集中所包含的2-(n+k)-S三角形數(shù)N，當(dāng)n越大時(shí)，覆蓋集中所包含的三角形越小，落入曲邊三角形中的2-(n+k)-S三角形數(shù)就越多，因而3n+k與N的比值減小，從而Sierpinski墊片的Hausdorff測(cè)度Hs(S)的上界估值越小.此外，Hausdorff測(cè)度上界的估計(jì)也有賴于覆蓋集構(gòu)造的好壞，若構(gòu)造的覆蓋集滿足在較小的直徑條件下能夠覆蓋較多的2-(n+k)-S，則計(jì)算得到的Hs(S)上界值越小.經(jīng)筆者改進(jìn)后的覆蓋集U′計(jì)算得到的Hs(S)上界優(yōu)于覆蓋集U，當(dāng)n=13時(shí)，Hs(S)≤0.817 918 996…，此結(jié)果優(yōu)于目前現(xiàn)有文獻(xiàn)中的已知結(jié)果.

參考文獻(xiàn)：

[1]周作領(lǐng).Koch曲線和Sierpinski墊片的Hausdorff測(cè)度[J].自然科學(xué)進(jìn)展,1997,7(4):405-409.

[2]周作領(lǐng).Sierpinski墊片的Hausdorff測(cè)度[J].中國(guó)科學(xué):A輯 數(shù)學(xué),1997,27(6):491-496.

[3]王何宇.Sierpinski墊片Hausdorff測(cè)度的上方估值[J].高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1998,20(1):93-96.

[4]王興華.關(guān)于Sierpinski墊片的Hausdorff測(cè)度估值和猜測(cè)[J].自然科學(xué)進(jìn)展,1999,9(6):448-493.

[5]Kenneth F.分形幾何數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及其應(yīng)用[M].北京:人民郵電出版社,2007:3-137.

[6]文志英.分形幾何的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].上海:上?？萍冀逃霭嫔?2000.