基于CVaR的投資組合優(yōu)化模型及實(shí)證*

王寶森，梁 奉

(1.北京物資學(xué)院 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，北京 101149;2.北京物資學(xué)院 研究生部，北京 101149)

現(xiàn)代組合投資決策都是依靠數(shù)量化、模型化的方法來(lái)確定最優(yōu)投資組合。根據(jù)投資組合優(yōu)化理論，針對(duì)投資者的期望收益率和風(fēng)險(xiǎn)等約束條件，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型的求解，給出在風(fēng)險(xiǎn)約束下或者以風(fēng)險(xiǎn)最小化為目標(biāo)的投資組合有效前沿和資金在各類資產(chǎn)上的投資比例，使投資者可以了解所有的投資機(jī)會(huì)和各種風(fēng)險(xiǎn)收益狀況，然后再根據(jù)各自的偏好，在權(quán)衡每一個(gè)組合后，從中選擇滿足自己要求的最優(yōu)投資組合。

關(guān)于最優(yōu)投資組合策略問(wèn)題，具有奠基性的成果是美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家H.Markowitz提出的經(jīng)典理論—均值-方差投資組合理論。50多年來(lái)，該理論取得了重大進(jìn)展，如一些學(xué)者將風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR方法引入到投資組合的研究中。Alexander等分析了基于VaR約束的允許賣空情況下的投資組合有效前沿的結(jié)構(gòu)特征。遲國(guó)泰等研究了允許賣空情況下基于VaR約束的均值-方差投資組合的有效前沿和最優(yōu)投資比例。在現(xiàn)有投資組合理論模型中，是以方差來(lái)度量風(fēng)險(xiǎn)的。然而，方差并不是一個(gè)精確計(jì)量風(fēng)險(xiǎn)的度量方法，它既包含人們不愿面對(duì)的虧損，又包括人們努力追求的超額回報(bào)，并且它也不能確切地指出投資組合損失的可能性到底有多大。因此推出了基于VaR的風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量模型，以VaR值作為度量風(fēng)險(xiǎn)的大小。

但是當(dāng)今金融市場(chǎng)錯(cuò)綜復(fù)雜，資產(chǎn)收益率分布存在尖峰、肥尾等現(xiàn)象。即便收益率分布給定且滿足風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR管理，在極端情況下?lián)p失依舊可能很大(即超過(guò)VaR的損失值可能是災(zāi)難性的)，從而給投資者造成無(wú)法接受的災(zāi)難性損失。綜合考慮以上因素，在合理地估計(jì)投資組合收益率下，提出以組合的條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR為最小目標(biāo)函數(shù)，以組合的VaR為約束條件，通過(guò)二次規(guī)劃的方法，建立投資組合優(yōu)化模型。這樣避免了災(zāi)難性的損失，并可以把損失限制在可接受的范圍內(nèi)。

1 模型的設(shè)計(jì)

VaR方法成為金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量的主流方法，但是VaR只適合于在市場(chǎng)正常波動(dòng)的情況下。由于VaR不滿足一致性的要求且在市場(chǎng)在不正常情況下無(wú)法估計(jì)其損失(特別極端事件下)，而且沒(méi)有考慮當(dāng)VaR值被超過(guò)時(shí)損失究竟是多少的問(wèn)題，所以當(dāng)真實(shí)損失超過(guò)了VaR的度量時(shí)，無(wú)法進(jìn)一步識(shí)別風(fēng)險(xiǎn)是可以忍受的還是災(zāi)難性的。針對(duì)VaR的不足，提出了一種VaR的修正方法CVaR，它具有VaR的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)也滿足次可加性、凸性等良好的性質(zhì)。鑒于此，此處試用CVaR來(lái)度量風(fēng)險(xiǎn)，僅把VaR作為約束條件。CVaR的簡(jiǎn)化模型如下:

其中K*即為置信水平取1-c時(shí)的VaR，滿足P(L≤K*)=1-c;CVaR是指損失超過(guò)K*的條件均值，它代表了超額損失的平均水平，反映了損失超過(guò)K*時(shí)可能遭受的平均潛在的損失大小。

假設(shè)超過(guò)K*的L值服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布L(0，1)，即其密度函數(shù)為:

記P(L＜-u1-c)=1-c;則VaR=-u1-c，其中-u1-c為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布關(guān)于c的下側(cè)分位數(shù)。

優(yōu)化的基本原理就是以投資組合的CVaR最小為目標(biāo)函數(shù)，以VaR為約束條件，在合理的區(qū)間內(nèi)選擇目標(biāo)收益率，求解各股票在投資組合中的比重。

2 基于CVaR風(fēng)險(xiǎn)度量和VaR風(fēng)險(xiǎn)約束的貸款組合優(yōu)化模型

2.1 投資組合確定

假設(shè)有n種股票的投資組合，rti為第i只股票在t時(shí)的收益率(t=1，2…m;i=1，2…n)。則第i只股票的期望收益為:

假設(shè)xi為第i只股票在投資組合中所占的比重。則投資組合的期望收益為:

2.2 目標(biāo)函數(shù)的確定

2.2.1 投資組合方差的確定

利用現(xiàn)有的收益率和收益率數(shù)據(jù)，可對(duì)各項(xiàng)投資組合方差和協(xié)方差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)估計(jì)。，σij(i=1，2，…，n;j=1，2，…，n)分別代表投資組合收益率的方差和協(xié)方差的無(wú)偏估計(jì):

則投資組合的整體風(fēng)險(xiǎn)為:

式中的xi(i=1，2，…，n)為投資組合中第i只股票所占的比重。X=(x1，x2，…，xn)T，U可以用下面式子表示:

2.2.2 CVaR風(fēng)險(xiǎn)度量的確定

對(duì)于投資組合，當(dāng)有正收益時(shí)，意味著無(wú)損失;當(dāng)組合收益為負(fù)時(shí)，意味著有損失。從而可以定義損失L=-μ。則存在:

若 μi(i=1，2，3，…，n)服從正態(tài)分布，則L也服從正態(tài)分布，即L～(-μ(X)，σ(X)2)，經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化后得出:

根據(jù)式(3)和相關(guān)數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)可得出:

由于式(13)和式(14)兩式子的左邊相等，從而可得出:

2.2.3 目標(biāo)函數(shù)的建立

將CVaR最小值為投資組合優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，這樣可以降低投資組合發(fā)生災(zāi)難性風(fēng)險(xiǎn)的可能性。目標(biāo)函數(shù)為:

模型以CVaR最小作為目標(biāo)函數(shù)的好處是反映了損失超過(guò)VaR時(shí)可能遭受的平均潛在損失的大小。解決了VaR方法無(wú)法進(jìn)一步識(shí)別風(fēng)險(xiǎn)是可以忍受的還是災(zāi)難的問(wèn)題，彌補(bǔ)VaR不能反映損失尾部信息的缺失，能防范小概率極端金融風(fēng)險(xiǎn)，降低投資組合發(fā)生災(zāi)難的可能性。

2.3 基于VaR的組合風(fēng)險(xiǎn)控制

以VaR作為約束條件目的是用組合的VaR收益率最大損失來(lái)控制投資組合收益率風(fēng)險(xiǎn)限額，直接反應(yīng)了風(fēng)險(xiǎn)承受能力。

2.4 模型的建立

目標(biāo)函數(shù):

2.5 VaR約束的解釋

聯(lián)立方程(17)和(18)，消除共同項(xiàng)，可以得到CVaR和μ(X)的關(guān)系式如下:

2.6 投資組合收益率合理區(qū)間的確定

目標(biāo)收益率μ(X)應(yīng)該在模型的有效前沿選取，利用拉格朗日乘子法可以得到有效前沿上最小的CVaR點(diǎn)(圖1中的F點(diǎn))對(duì)應(yīng)的收益率μ(rpm)，其中:

圖1 在CVaR～μ(X)空間的VaR約束

3 實(shí)證

3.1 歷史數(shù)據(jù)收集

數(shù)據(jù)分別取來(lái)自不同行業(yè)的5只股票，收益率時(shí)間段按每天來(lái)計(jì)算，總共19 d。其收益率的計(jì)算為:rti=(PT-PT-1)/pt-1.其中t(t=1，2，…，19;i=1，2，…，5)為天數(shù)。根據(jù)收集的數(shù)據(jù)確定組合的收益和方差，并得出收益向量為:R=(R1，R2，R3，R4，R5)=(0.003 7，-0.000 5，0.001 8，0.004 1，-0.00 1)T。其中Ri為第i只股票的平均收益率。

3.2目標(biāo)函數(shù)確定

3.3 VaR約束條件的確定

在限制賣空的情況下，各只股票在投資組合中所占的比例應(yīng)該大于等于零，即xi≥0(i=1，2，…，5)，且

根據(jù)其風(fēng)險(xiǎn)承受能力，選定VaR=5%，置信水平1-c=95%，根據(jù)正態(tài)分布，得出Ф-1(1-c)=1.65，從而有 1.65σ(X)-μ(X)≤0.05。

3.4 投資組合優(yōu)化模型的建立

綜合以上，可得出組合優(yōu)化模型為:

其中σ(X)=

3.5 模型求解及分析

結(jié)合Matlab軟件和lingo軟件求解得出各只股票的投資比例，X=(0.52 0.00 0.17 0.31 0.00)T，最優(yōu)值即條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR=0.022 1。各只股票的收益均值、方差及分配比例如表1:

表1 股票的收益均值、方差及分配比例

從表1中分析可以得出:投資組合主要集中于收益率高，方差較小的股票1、股票3、股票4。其中為了保證收益率，投資沒(méi)有把資金分配于股票2和股票5，同時(shí)為了能保證投資組合不發(fā)生災(zāi)難性風(fēng)險(xiǎn)，投資組合也沒(méi)有把過(guò)多的資金投資于收益率最高但風(fēng)險(xiǎn)較大的股票4，這與經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)是相符的。

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