改進(jìn)的以x(1)(n)為初始條件的GM模型

尹方平

（廣東機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣州 510515）

0 引言

影響GM（1,1）模型預(yù)測(cè)精度的原因有兩個(gè)，其一是模型中背景值的構(gòu)造方法；其二是預(yù)測(cè)公式中初值的選取。經(jīng)典GM(1,1)模型的初始值選取問(wèn)題，在原有初始值選取的基礎(chǔ)上，出現(xiàn)了多種改進(jìn)方法的討論[1-7]。本文對(duì)灰色GM（1,1）模型的預(yù)測(cè)精度進(jìn)行了分析，提出了一種修正初值法來(lái)提高模型的精度，對(duì)以x(1)(n)為初始條件的GM模型進(jìn)行了改進(jìn)，使所建的模型的精度大為提高，最后通過(guò)具體的實(shí)例驗(yàn)證了模型的實(shí)用性與可靠性。

1 以x(1)(n)為初始條件的GM模型

以x(1)(n)為初始條件的GM模型是根據(jù)新信息優(yōu)先原理和最少信息原理提出的灰色GM模型的一種改進(jìn)的方法。

定義1 稱方程x(0)(k)+az(1)(k)=b為灰色微分方程，此模型為 GM（1,1）模型。

其中a和b為待確定的常數(shù)。其中a為發(fā)展系數(shù)，它的大小及符號(hào)反映了x(0)(k)及x(1)(k)的發(fā)展態(tài)勢(shì)。如果a為負(fù)，那么態(tài)勢(shì)是增長(zhǎng)的，a的絕對(duì)值越大，增長(zhǎng)越快；如果a為正，那么態(tài)勢(shì)是減弱的，a的絕對(duì)值越大，衰減越快。b為系統(tǒng)的灰作用量，它是從背景值挖掘出來(lái)的數(shù)據(jù)，反映數(shù)據(jù)變化的關(guān)系。

則GM(1,1)模型x(0)(k)+az(1)(k)=b的最小二乘估計(jì)參數(shù)列滿足

由定理1及白化方程的離散解不難得：

以x(1)(t)為初始條件的GM模型白化方程+ax(1)=b的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為：

從上述模型可以看出，GM（1，1）模型的擬合和預(yù)測(cè)精度不但跟常數(shù)a,b有關(guān)，還跟x(1)(n)的取值有關(guān)。因此合理的選擇初值對(duì)于提高模型的預(yù)測(cè)精度有著重要的作用。本文在最小化指定指標(biāo)函數(shù)的情況下，提出了改進(jìn)x(1)(n)初值的方法。

2 改進(jìn)的以x(1)(n)為初始條件的GM模型

由于初始條件x(1)(n)是由原始序列X(0)累加生成的，原始序列信息通過(guò)x(1)(n)都可以得到充分反映，因此把它作為GM模型的初始條件可以克服GM建模與x(1)(1)的弊端?；谛滦畔?yōu)先原理以及合理的初值選擇原理的應(yīng)用，本文假設(shè)模型的初值取αx(1)(1)，并把該初值代入

我們采用最小二乘原則的方法，建立一個(gè)無(wú)約束優(yōu)化模型，求解x^(1)(k)和x^(1)(k)誤差平方和最小，也就是求解優(yōu)化問(wèn)題：minJ

為了求出指標(biāo)函數(shù)值最小時(shí)的待辨識(shí)參數(shù)α，先用如下梯度法求?。?/p>

3 實(shí)例與討論

發(fā)電量是衡量一個(gè)國(guó)家發(fā)展水平和人民生活水平的一個(gè)重要指標(biāo)，所以建立發(fā)電量模型并預(yù)測(cè)其未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)具有重要的現(xiàn)實(shí)意義?，F(xiàn)用本文提出的方法建立1989-1999年我國(guó)上海市的發(fā)電量《上海統(tǒng)計(jì)年鑒-2002》的GM（1，1）模型[8]，并預(yù)測(cè)2000-2002年的上海市發(fā)電量。

用傳統(tǒng)的GM（1，1）方法建立的模型為：

x^(1)(k)=4927.7le0.058366(k-1)-4652.96,k≥1

表1 模型值比較表 (單位：kw:h)

x^(0)(k+1)=279.49e0.058366,k≥1

x^(0)(k)=278.33

用αx(0)(1)以為初始條件的GM改進(jìn)模型Ⅰ為：

其中 α=0.99493。

用以αx(1)(n)為初始條件的GM改進(jìn)模型Ⅱ?yàn)椋?/p>

計(jì)算結(jié)果如表1所示：

4 小結(jié)

（1）本文對(duì) GM（1，1）模型的預(yù)測(cè)精度進(jìn)行了分析，認(rèn)為初值x(1)(n)的選取對(duì)模型的精度有重要的影響，提出了一種修正初值法來(lái)提高模型的精度，對(duì)以x(1)(n)為初始條件的GM（1，1）模型進(jìn)行了改進(jìn)。該方法保留了GM（1，1）模型建模計(jì)算簡(jiǎn)便和易于應(yīng)用的優(yōu)點(diǎn)，不存在復(fù)雜的計(jì)算。

（2）從實(shí)例分析上看，該方法能得到比原 GM（1，1）模型和以αx(1)(n)為初始條件的GM改進(jìn)模型更高的精度和適應(yīng)性，因而具有重要的理論價(jià)值和實(shí)踐意義。

[1]譚冠軍.GM（1,1）模型的背景值構(gòu)造方法和應(yīng)用(Ⅰ)[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2000,20（5）.

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[8]李俊峰,戴文戰(zhàn).GM(1,1)改進(jìn)模型的研究及在上海市發(fā)電量建模中的應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2005,3(3).