線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法及實踐

姜忻良，王 菲

(天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300072)

動態(tài)子結(jié)構(gòu)法是近年來對大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)進行數(shù)值分析的常用方法．它通過將整體結(jié)構(gòu)劃分為多個子結(jié)構(gòu)，再充分利用各子結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性最大限度地縮減自由度數(shù)，以簡便計算過程，最終獲得可靠的原系統(tǒng)動力特性參數(shù)或動態(tài)響應(yīng)[1]，無疑是大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)進行地震響應(yīng)分析的有效方法．動態(tài)子結(jié)構(gòu)法按照子結(jié)構(gòu)連接方式的不同，可以分為約束模態(tài)綜合法[2-3]、自由界面模態(tài)綜合法[4]和混合界面模態(tài)綜合法等．其中，約束模態(tài)綜合法由于概念清晰，易于理解，不會出現(xiàn)懸浮子結(jié)構(gòu)[5]，并且計算過程中自由度較少，具有較高的計算效率，因此，應(yīng)用較為廣泛．然而，從理論上講，動態(tài)子結(jié)構(gòu)法僅適合于求解線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動力問題，這就使得動態(tài)子結(jié)構(gòu)法對于非線性結(jié)構(gòu)體系的進一步應(yīng)用受到了限制．

經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)[5]，在許多實際工程中，整體結(jié)構(gòu)在荷載作用下，并非全部構(gòu)件都進入非線性階段，而是僅僅在某些位置才出現(xiàn)非線性特征，這就說明了結(jié)構(gòu)存在局部塑性區(qū)域的特點．例如橋墩在地震作用下，墩底首先進入非線性階段；懸臂梁在自由端作用一豎向荷載后，固定端會很快出現(xiàn)非線性特征直至破壞等等．而這其中，土與結(jié)構(gòu)相互作用問題也是一個典型的例子，在地震響應(yīng)分析問題中，僅僅與上部結(jié)構(gòu)鄰近的地基土區(qū)域會產(chǎn)生塑性應(yīng)變，出現(xiàn)非線性特征，而遠離上部結(jié)構(gòu)的地基土區(qū)域在整個加載過程中卻始終處于線性階段．據(jù)此若能將局部非線性區(qū)域單獨劃分子結(jié)構(gòu)，并與縮減后的線性子結(jié)構(gòu)綜合，將會更大程度上縮減非線性體系的自由度，降低計算本．

基于上述考慮，筆者提出了線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法，并在理論上論證了該方法的可行性．此外，還提出了基于勢能判據(jù)的子結(jié)構(gòu)主模態(tài)的截斷準則，利用勢能判據(jù)的收斂性得出了子結(jié)構(gòu)主模態(tài)最佳截斷階數(shù)．最后將線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法以及基于勢能判據(jù)的截斷準則應(yīng)用到高層建筑-地基土非線性地震響應(yīng)分析問題中，并與有限元直接法進行了對比分析，以驗證所提出方法的有效性．

1 線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法

對于非線性結(jié)構(gòu)的動力分析問題，若以局部非線性來代替整體結(jié)構(gòu)的非線性，而對局部非線性以外的線性部分采用約束模態(tài)綜合法，那么首先就需要證明約束模態(tài)綜合法是否能夠解決僅對線性子結(jié)構(gòu)進行自由度的縮減，而對其余非線性子結(jié)構(gòu)不進行縮減的混合問題，即能否同時在物理坐標和廣義坐標下進行綜合求解的問題．為了論證這一線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法在原理上的正確性和可行性，下面以一個懸臂梁(見圖1)為例，來進行公式推導(dǎo)．

圖1 懸臂梁示意Fig.1 Diagram of cantilever beam

該懸臂梁由4個單元組成，分為2個子結(jié)構(gòu)：靠近固端的非線性子結(jié)構(gòu)(子結(jié)構(gòu) 1)和自由端的線性子結(jié)構(gòu)(子結(jié)構(gòu) 2)．對于非線性子結(jié)構(gòu)，不做自由度的縮減，而直接采用物理坐標來表示其運動方程，即

將非線性子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣和荷載矩陣按照內(nèi)部節(jié)點(用 I表示)和邊界節(jié)點(用 B表示)的形式分塊表示，則式(1)寫為

式(3)即為非線性子結(jié)構(gòu)在物理坐標下的運動方程．

對于線性子結(jié)構(gòu)，可用約束模態(tài)綜合法進行自由度的縮減，同樣將其特性矩陣、荷載矩陣和位移向量等按照內(nèi)部節(jié)點和邊界節(jié)點進行分塊處理，則有

約束模態(tài)綜合法的子結(jié)構(gòu)坐標變換矩陣由 2部分組成，一是邊界約束的子結(jié)構(gòu)主模態(tài)矩陣KΦ；二是約束模態(tài)矩陣CΦ[6]，且有

對于綜合后含有非線性子結(jié)構(gòu)的非線性運動方程(12)，只需采用常用的非線性方程求解方法(如Newmark-β法、Wilson-θ法等)，即可得到體系的動力響應(yīng)，求得的位移響應(yīng)中既包括線性子結(jié)構(gòu)在廣義坐標下的位移解也包括非線性子結(jié)構(gòu)在物理坐標下的位移解，即通過式(14)，即可返回各子結(jié)構(gòu)在物理坐標下表示的位移解

由上述推導(dǎo)可見，線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法在理論上是合理可行的，它將原本不易進入非線性階段的部分劃分成線性子結(jié)構(gòu)進行自由度縮減，而不必在整體非線性模型中反復(fù)進行迭代計算，最終通過與非線性子結(jié)構(gòu)的綜合來求解整體非線性方程，這樣就可以極小的計算成本，獲得非線性體系的動力解，極大程度地降低了計算成本、提高了計算效率．

2 基于勢能判據(jù)的截斷準則

在上述求解過程中，對于線性子結(jié)構(gòu)，一個突出的問題就是如何從完備的子結(jié)構(gòu)主模態(tài)nφ(n為完備的子結(jié)構(gòu)模態(tài)總階數(shù))中截取kφ(kn＜)用以形成坐標變換矩陣，使得既能大幅度的縮減自由度，又能盡量減小因丟棄高階模態(tài)所引起的截斷誤差．很多文獻針對這一問題提出了模態(tài)截斷準則，然而，這些模態(tài)截斷準則往往存在不確定性．有些準則依靠經(jīng)驗來確立，但隨著研究對象的不同，會給計算結(jié)果帶來誤差；有些則依靠基本的動力學(xué)理論來確立，大都需要一定試算后才可確定截斷數(shù)量．因此，尋找有效的截斷準則仍是迫切需要解決的問題，本文根據(jù)勢能判據(jù)提出了一種新的模態(tài)截斷準則．

3 高層建筑-地基土非線性地震響應(yīng)分析

在高層建筑-地基土非線性地震響應(yīng)分析問題中，土體是半無限系統(tǒng)，在利用有限元分析時，需要將半無限空間的土體有限化，當有限化的土體取到一定范圍時，可以忽略側(cè)向入射波和散射波的影響[10]．但是，當考慮了土體的非線性特性時，有限元計算也會帶來龐大的計算量．然而研究表明，在地震作用下，僅與建筑物鄰近的地基土會隨著加載而逐漸進入非線性階段，而遠離建筑物的土體區(qū)域仍會保持線性特征．這樣，就可以根據(jù)經(jīng)驗劃分出非線性區(qū)域，采用線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法，來達到降低計算成本的目的．

以一個15層三跨框架結(jié)構(gòu)為例，分別采用線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法和有限元直接法進行非線性動力時程分析．該框架層高3.2,m，跨度6,m．柱截面尺寸為 600,mm×600,mm，梁截面為300,mm×600,mm，各層樓面質(zhì)量 19,600,kg．承臺高2,m，寬 18,m，E = 3.25× 1 010N/m2．土體區(qū)域沿承臺兩側(cè)寬度各取 91,m，沿深度方向取 40,m．地基土地質(zhì)參數(shù)見表 1．在水平方向輸入地面波，采用天津地區(qū)地震動加速度時程曲線，如圖 2所示，采樣頻率為0.02,s，地震動加速度峰值為3.10 m/s2．

表1 地基土地質(zhì)參數(shù)Tab.1 Geologic parameters of soil

圖2 輸入地震動加速度時程Fig.2 Time history acceleration of earthquake ground motion

采用線性-非線性混合的約束模態(tài)法分析過程中，計算模型的子結(jié)構(gòu)劃分方法如圖 3所示，與框架結(jié)構(gòu)相鄰的地基土為非線性子結(jié)構(gòu)．在計算中，對非線性子結(jié)構(gòu)直接引入非線性 DP本構(gòu)模型，按照非線性模式進行求解．而對于周圍土體區(qū)域則應(yīng)采用線性本構(gòu)模型．對于非線性區(qū)域的劃分，經(jīng)過試算，可取計算區(qū)域中心至人工邊界的距離為 5倍的非線性土層深度，且計算區(qū)域中心至非線性區(qū)域邊界的寬度與其土層深度之比大于 1.5[10]．經(jīng)過試算可以確定，對于上述算例，承臺中心至人工邊界取可為 100,m，承臺中心位置至非線性區(qū)域的邊界的寬度 D可取為60,m，非線性土體深度H可取為23.5,m．

圖3 子結(jié)構(gòu)示意Fig.3 Diagram of substructure

按照線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法的基本原理，需對線性子結(jié)構(gòu)進行縮減，采用基于勢能判據(jù)的截斷準則，可得到各個線性子結(jié)構(gòu)的勢能隨截取主模態(tài)階數(shù)的變化曲線，如圖 4所示．由此可確定，線性子結(jié)構(gòu) 1、2、3分別需截取其各自主模態(tài)的前 48、48和108階投入綜合．

計算得到的框架頂層位移、速度、加速度時程曲線，以及最大層間位移時程曲線如圖 5所示．從圖中可以看出，考慮局部非線性后所得的結(jié)果與未作該假定時的結(jié)果之間的相對誤差很小．2種方法得到的結(jié)果曲線基本吻合，然而采用線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法后卻節(jié)省了大量機時，2種方法(均采用Intel 3.20 GHz，16 GB內(nèi)存的計算站進行計算)所消耗的計算時間對比如表 2所示．可以看出，它僅以直接法耗時的 0.66%就達到了與其同樣的計算精度，無疑是解決非線性土-結(jié)相互作用問題的有效手段．

圖 6給出了采用有限元直接法計算得到的塑性應(yīng)變云圖，可以清晰地看出，僅框架結(jié)構(gòu)下方的土體進入了非線性階段，產(chǎn)生了塑性應(yīng)變，而遠離建筑物的周圍土體仍然保持在線性階段．因此進一步證明了采用本文所提出的線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法是合理、有效的．

圖4 勢能隨截取主模態(tài)階數(shù)的變化曲線Fig.4 Variation of potential energy with mode cutoff number

圖5 框架地震響應(yīng)時程曲線Fig.5 Time history curves of displacement，velocity and acceleration of frame

表2 計算效率對比Tab.2 Comparison of computational efficiency

圖6 塑性應(yīng)變云圖Fig.6 Plastic strain contour plot

5 結(jié) 論

(1)本文根據(jù)結(jié)構(gòu)存在局部塑性區(qū)域的特點，提出了線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法．即將整體體系中未進入非線性階段的部件，將其劃分為線性子結(jié)構(gòu)，而將進入塑性變形階段的局部部件獨立劃分為非線性子結(jié)構(gòu)，通過坐標變換來縮減線性子結(jié)構(gòu)的自由度，并最終與非線性子結(jié)構(gòu)進行綜合求解，使動力子結(jié)構(gòu)方法得以擴充，在降低計算成本的同時，又能夠合理的對結(jié)構(gòu)的材料非線性特征加以考慮，為求解大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)非線性動力問題開辟了新的途徑．

(2)針對約束模態(tài)綜合法，定義了由不同主模態(tài)截斷階數(shù)產(chǎn)生的位移向量組成的線性空間，建立了該空間上的范數(shù)，并以該范數(shù)的最大值定義勢能判據(jù)，據(jù)此提出了一種基于勢能判據(jù)的子結(jié)構(gòu)主模態(tài)截斷準則——勢能判據(jù)截斷準則，計算表明截斷準則適用于線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法．

(3)通過高層建筑-地基土相互作用的地震響應(yīng)分析算例，進一步驗證了本文所提出的線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法的可行性與精確性．

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