基于T-S模糊模型的不確定非線性系統(tǒng)的容錯(cuò)保成本控制

費(fèi)向陽(yáng)，封文娟，張國(guó)山

(天津大學(xué)電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，天津 300072)

設(shè)備運(yùn)行的可靠性越來(lái)越引起人們的重視．容錯(cuò)控制作為提高控制系統(tǒng)可靠性的一個(gè)重要手段，已成為控制理論研究的一大熱點(diǎn)．近年來(lái)，出現(xiàn)了許多有關(guān)系統(tǒng)容錯(cuò)控制的研究成果[1-5]．對(duì)于不確定系統(tǒng)保成本的控制也引起了眾多學(xué)者的關(guān)注，基于 Riccati方程和線性矩陣不等式(linear matrix inequality，LMI)的處理方法取得了許多有價(jià)值的結(jié)果[6-9]，其中文獻(xiàn)[6]研究了保成本及最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)及濾波問題，文獻(xiàn)[7]推廣了文獻(xiàn)[6]的結(jié)果，研究了范數(shù)有界不確定系統(tǒng)帶有時(shí)間乘積的保成本控制問題，該成本函數(shù)使系統(tǒng)狀態(tài)快速趨于零而暫態(tài)響應(yīng)時(shí)間縮短．文獻(xiàn)[8]研究了離散時(shí)間不確定系統(tǒng)基于狀態(tài)反饋與靜態(tài)輸出反饋的魯棒二次保成本控制，通過(guò) LMI給出控制律保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且成本函數(shù)有上界．文獻(xiàn)[9]對(duì)于給定的二次成本函數(shù)，研究了一類時(shí)滯系統(tǒng)具有有界參數(shù)不確定的無(wú)記憶狀態(tài)反饋保成本控制問題，通過(guò)基于 LMI的凸優(yōu)化方法求得控制器使成本最?。?/p>

當(dāng)被控對(duì)象含有時(shí)滯和不確定性時(shí)，往往還含有不同程度的非線性，難以建立精確的數(shù)學(xué)模型．因此近年來(lái)，已有一些采用T-S模糊模型研究狀態(tài)或控制帶有時(shí)滯的不確定非線性系統(tǒng)的容錯(cuò)與保成本控制問題論文，如文獻(xiàn)[10]應(yīng)用 LMI方法，對(duì)一類帶有時(shí)滯不確定的模糊系統(tǒng)進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，并且使得該模糊控制器能保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定和二次型性能指標(biāo)具有上界．文獻(xiàn)[11]研究了基于狀態(tài)反饋與動(dòng)態(tài)輸出反饋的非線性時(shí)滯系統(tǒng) T-S模糊模型的保成本控制問題，通過(guò)平行分布補(bǔ)償(PDC)方法，及時(shí)滯相關(guān)Lyapunov函數(shù)方法，給出了個(gè)控制器存在的充分條件，使用凸優(yōu)化獲得系統(tǒng)保持穩(wěn)定時(shí)的時(shí)滯的上界，并給出了成本函數(shù)次優(yōu)上界的最小化方法．文獻(xiàn)[12]研究了狀態(tài)具有變時(shí)滯的非線性系統(tǒng)的 T-S模糊模型的保成本控制問題，使用基于 LMI的凸優(yōu)化方法，給出了基于狀態(tài)反饋與基于觀測(cè)器的輸出反饋的保成本控制器的設(shè)計(jì)．文獻(xiàn)[13]給出了 T-S模糊系統(tǒng)的非脆弱保性能控制器存在的充分條件，并且使系統(tǒng)H2性能最小化同時(shí)具有期望的H∞指標(biāo)下的干擾抑制作用．文獻(xiàn)[14]研究了不確定時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒容錯(cuò)控制問題，基于T-S模糊模型，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論與 LMI， 給出了對(duì)于傳感器和執(zhí)行器故障的魯棒容錯(cuò)控制方法．但就筆者所知，目前鮮有針對(duì)基于T-S模糊模型、帶有控制滯后的非線性系統(tǒng)的保成本容錯(cuò)控制問題的研究．因此，研究帶有控制滯后的不確定時(shí)滯系統(tǒng)的模糊保成本容錯(cuò)控制具有一定的理論和實(shí)際意義．

為此，針對(duì)一類帶有控制和狀態(tài)滯后的不確定非線性時(shí)滯系統(tǒng)，基于 T-S模型，筆者研究了系統(tǒng)在執(zhí)行器故障時(shí)的保成本容錯(cuò)控制問題，導(dǎo)出了狀態(tài)反饋保成本控制器存在的充分條件，該條件保證了對(duì)所有允許不確定性，閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，且對(duì)于一個(gè)給定的二次型成本函數(shù)，能保證閉環(huán)成本值不超過(guò)某個(gè)界．所得結(jié)論均以線性矩陣不等式的形式給出，應(yīng)用Matlab中的LMI工具箱，給出了最優(yōu)保成本控制器的設(shè)計(jì)并通過(guò)仿真驗(yàn)證了所給方法的有效性．

1 問題描述

考慮由如下 T-S模糊模型所描述的具有控制與狀態(tài)滯后的不確定非線性時(shí)滯系統(tǒng)

Ri：MipThen

式中：Ri表示 T-S模糊模型的第i條規(guī)則，也稱為模糊子系統(tǒng)；z1( t),z2(t),… ,zp(t)為模糊規(guī)則的前件變量；Mij為模糊語(yǔ)言集合； x ( t) ∈ Rn和 u ( t) ∈ Rm分別為系統(tǒng)的狀態(tài)向量和控制向量．Ai、Adi、Bi和 B2i為已知的有適當(dāng)維數(shù)的實(shí)矩陣，ΔAi、ΔAdi和ΔBi為不確定性矩陣函數(shù)，它們反映了系統(tǒng)模型中的不確定性；τ1＞0、 τ2＞0為滯后時(shí)間常數(shù)；?(t)為實(shí)值連續(xù)向量函數(shù)．

假設(shè)不確定性是范數(shù)有界的，且滿足

式中：Di、Ε1i、E2i和Edi為已知的具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)實(shí)矩陣；Fi( t)為一個(gè)具有 Lebesgue可測(cè)元的未知矩陣，且滿足

應(yīng)用單點(diǎn)模糊化、乘積推理和中心加權(quán)反模糊化推理方法[15]，可得全局模糊系統(tǒng)模型為

式中

Mij( zj(t))表示前件變量 zj(t)對(duì)應(yīng)于模糊值 Mij的隸屬度．

對(duì)系統(tǒng)(1)定義成本函數(shù)為

其中0＞Q和0＞R是給定的加權(quán)矩陣．

基于平行分布補(bǔ)償(PDC)[16]，本文考慮如下關(guān)于模糊系統(tǒng)式(4)的模糊無(wú)記憶狀態(tài)反饋控制律

Then

全局狀態(tài)控制器可以表示為

控制系統(tǒng)在運(yùn)行的過(guò)程中，由于某些元件出現(xiàn)故障會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)失效，因此定義某執(zhí)行器輸出恒為零時(shí)為該執(zhí)行器失效，引入表示執(zhí)行器發(fā)生故障的開關(guān)矩陣iL，其形式為

式中

假設(shè)控制器設(shè)計(jì) fi1= fi2= … = fim=0是被排除的，即不會(huì)出現(xiàn)所有執(zhí)行器同時(shí)出現(xiàn)故障的情況，則含執(zhí)行器故障的不確定參數(shù)的閉環(huán)系統(tǒng)為

定義 1 對(duì)時(shí)滯模糊系統(tǒng)式(8)和性能指標(biāo)式(5)，如果存在控制器式(6)和一個(gè)正數(shù) J*，使得對(duì)所有允許的不確定性和執(zhí)行器故障，閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，且性能指標(biāo)式(5)滿足 J ≤J*，則J*稱為不確定時(shí)滯模糊系統(tǒng)式(8)的一個(gè)性能上界，控制器式(6)稱為狀態(tài)反饋容錯(cuò)保性能控制器．

引理 1[17]對(duì)于給定的適當(dāng)維數(shù)的任意常數(shù)矩陣D、E和對(duì)稱矩陣S，若

成立，其中T≤FFU，當(dāng)且僅當(dāng)存在某一常數(shù)0ε＞，有

引理2[18]對(duì)于任意適當(dāng)維數(shù)的向量x、y和矩陣Y，對(duì)任意正定矩陣U，使得

2 容錯(cuò)保成本控制器的設(shè)計(jì)

本文研究的問題：針對(duì)給定的模糊系統(tǒng)式(1)，設(shè)計(jì)相應(yīng)的模糊無(wú)記憶狀態(tài)反饋控制器式(7)，使閉環(huán)系統(tǒng)式(8)在執(zhí)行器故障時(shí)，仍能保持漸近穩(wěn)定，同時(shí)使性能指標(biāo)式(5)具有適當(dāng)?shù)某杀旧辖?，進(jìn)而，優(yōu)化這個(gè)指標(biāo)使其上界最小化．

首先，給出關(guān)于不確定時(shí)滯系統(tǒng)式(4)無(wú)記憶狀態(tài)反饋保成本控制律存在的一個(gè)充分條件．

定理 1 反饋控制律式(7)是一個(gè)保成本控制律，如果對(duì)于不確定系統(tǒng)式(8)和一常數(shù)σ＞0，存在公共正定矩陣P,U ∈ Rn×n和矩陣 Ki，使得對(duì)任意允許的不確定性 Fi( t)，有如下矩陣不等式成立，即

式中1 ≤ i, j≤ r ，且相應(yīng)的性能指標(biāo)滿足

證明 定義如下準(zhǔn)Lyapunov函數(shù)

式中，P為對(duì)稱正定矩陣，U = P2．顯然 V (x)＞0,?x≠ 0 ,則 V (x(t))沿閉環(huán)系統(tǒng)式(8)的任意運(yùn)動(dòng)軌跡的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為

對(duì)于任意實(shí)矩陣 A，ATA ≤ λmax(ATA)I成立．由假設(shè)和引理2，可以得到

同理可得

類似地

將式(13)～式(17)代入式(12)，得

由條件式(9)和式(10)，可得

因此，閉環(huán)模糊控制系統(tǒng)式(8)是漸近穩(wěn)定的．進(jìn)一步利用初始條件式(1)，可得

由定義1知，定理1的結(jié)論成立．證畢．

由于式(9)和式(10)為非線性矩陣不等式，求解困難，下面給出其LMI的形式．

定理2

(1)存在公共的對(duì)稱正定陣P和U，使得矩陣不等式(9)和(10)成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在正數(shù)εi，εij(i ＜ j )，矩陣 Wi和公共正定陣X，使得如下線性矩陣不等式成立，即

式中

(2)對(duì)于系統(tǒng)式(8)，如果線性矩陣不等式(20)、(21)有可行解 εi＞0，εij＞0(i ＜ j)，Wi，X＞0，則無(wú)記憶狀態(tài)反饋控制律

是系統(tǒng)的一個(gè)保成本控制律，且

是系統(tǒng)的一個(gè)保成本性能指標(biāo)．

證明 (1)因?yàn)?/p>

上式兩端左右同時(shí)乘1?P ，并用引理1，則等價(jià)于

令X = P?1,W =KP?1，則由 Schur補(bǔ)可得式(24)等價(jià)

i i于式(20)．同理，式(10)等價(jià)于式(21)．

(2)由定理1證明可得．證畢．

定理2提供了一組保性能控制律的參數(shù)化表示，這一參數(shù)化表示可用來(lái)求取使得性能指標(biāo)值的上界盡可能小的最優(yōu)保成本控制律．

定理 3 考慮系統(tǒng)式(1)和性能指標(biāo)式(5)，如果以下優(yōu)化問題

(1) 式(20)和式(21)成立

有解 X ,εi, εij( i ＜ j),M ,N ,Γ1，則

是系統(tǒng)的一個(gè)最優(yōu)保成本控制律．其中

證明 引進(jìn)M，其中M為對(duì)稱矩陣，使得1?＜XM，則

同理

進(jìn)一步引入矩陣N，使得 ?2TM2?2＜ N ，則

且tr(N)的最小化可以保證 t r(?2TM2?2)的最小化，且可得

又因?yàn)??2TM2?2＜ N 可等價(jià)地表示成線性矩陣不等式，定理得證．證畢．

因?yàn)槭?25)是一個(gè)具有線性矩陣不等式約束的凸優(yōu)化問題，因此，可以應(yīng)用凸優(yōu)化技術(shù)來(lái)求解該問題的全局最優(yōu)解．

如果考慮執(zhí)行器故障但執(zhí)行器的輸出不恒為零的情況，此時(shí)，取 fis= αis( 0 ＜ αis＜ 1 )，這時(shí)上面結(jié)果仍然成立．下一部分故障情況 2即給出了某些故障下αis=0.5時(shí)的仿真結(jié)果．

3 仿真研究

為了說(shuō)明控制器的有效性，以文獻(xiàn)[19]的非線性系統(tǒng)加控制滯后為例用T-S模糊模型進(jìn)行描述，即

隸屬度函數(shù)為

其中

考慮執(zhí)行器故障分2種情況

按定理3的 LMIs進(jìn)行優(yōu)化，可得到

取式(22)的控制律，以初始狀態(tài)為 x1( 0)=? 1 ,x2(0) = ? 1 .2，圖 1為系統(tǒng)在執(zhí)行器無(wú)故障時(shí)的狀態(tài)曲線，圖2為系統(tǒng)在執(zhí)行器故障情況1時(shí)的狀態(tài)曲線，圖 3為系統(tǒng)在執(zhí)行器故障情況 2時(shí)的狀態(tài)曲線，如圖 1～圖 3所示，系統(tǒng)在執(zhí)行器故障時(shí)仍能很快達(dá)到穩(wěn)定，且系統(tǒng)最優(yōu)性能指標(biāo)為31.8515= ．

圖1 系統(tǒng)正常時(shí)狀態(tài)曲線Fig.1 State curves of system in normal operation

4 結(jié) 語(yǔ)

利用模糊 T-S模型對(duì)一類不確定非線性時(shí)滯系統(tǒng)進(jìn)行建模，結(jié)合一個(gè)二次型成本指標(biāo)，采用線性矩陣不等式的方法，得到系統(tǒng)執(zhí)行器故障時(shí)的保成本容錯(cuò)控制律的一個(gè)充分條件．利用求解線性矩陣不等式的方法給出了保成本控制律的設(shè)計(jì)．最后應(yīng)用基于LMI的凸優(yōu)化方法，實(shí)現(xiàn)了針對(duì)系統(tǒng)故障的最優(yōu)保成本狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)．?dāng)?shù)值算例仿真結(jié)果表明，本文提出的保成本容錯(cuò)控制設(shè)計(jì)方法是有效的．

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