數(shù),科學(xué)的語(yǔ)言

基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的教師應(yīng)該站在更高的視角(高等數(shù)學(xué))來(lái)審視、理解初等數(shù)學(xué)問(wèn)題，《數(shù)，科學(xué)的語(yǔ)言》對(duì)從事數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)教育的廣大讀者具有啟示作用。

伯特蘭·羅素在自傳中回憶:“有一條小路，穿過(guò)田野，通向新南蓋特，我經(jīng)常獨(dú)自一人到那里去觀看落日，并想到自殺。然而，我終于不曾自殺，因?yàn)槲蚁敫嗟亓私鈹?shù)學(xué)?！笔郎暇褂腥绱蓑\(chéng)地皈依數(shù)學(xué)的人。

“羅素一定是瘋了，天才就是瘋子!”在我讀過(guò)《數(shù)，科學(xué)的語(yǔ)言》之后，我自己瘋了。一下子從書店捧回了10本《數(shù)，科學(xué)的語(yǔ)言》，花了我15.5元，要知道那時(shí)的月工資才30元。1985年，我有幸成了此書中譯本的第一批讀者，而且是最虔誠(chéng)的讀者，我前后讀了不下10次。

日前，想找《數(shù)，科學(xué)的語(yǔ)言》出來(lái)看看，竟然連1本也找不到了。10本啊，連同我原先的1本，25年間，被我陸續(xù)送給了學(xué)生。正著急時(shí)，我想到了網(wǎng)絡(luò)。不到10分鐘，就下載了它的電子版本。在網(wǎng)上我搜到了2個(gè)版本，商務(wù)印書館1985年的版本和上海教育出版社2000年的版本，均是蘇仲湘在1949年前譯出的。但由于種種原因，被耽擱下來(lái)，直到1985年才出第一版。

本書作者T·丹齊克，原籍為沙俄統(tǒng)治下的立陶宛，后入美國(guó)籍，先后在哥倫比亞大學(xué)、馬里蘭大學(xué)等校講授數(shù)學(xué)。T·丹齊克非常擅長(zhǎng)將嚴(yán)肅的數(shù)學(xué)面孔變得生動(dòng)。打開目錄:第一章“指印”;第二章“空位”;第三章“數(shù)話”……從章節(jié)的標(biāo)題，您甚至看不出是一本數(shù)學(xué)讀物，如將標(biāo)題數(shù)學(xué)化:第一章“談數(shù)的語(yǔ)言起源”;第二章“談數(shù)的位值原則”;第三章“談?wù)麛?shù)”……如果這樣，我相信一定能嚇走幾萬(wàn)讀者。語(yǔ)言的生動(dòng)更是隨處可見:“無(wú)論怎么說(shuō)，笛卡兒幾何也不會(huì)是無(wú)母的孤兒。而我更可以幽默地說(shuō)一句，笛卡兒的概念不但有一位令堂——即希臘的幾何，而且還有一位孿生昆仲?！?/p>

讓我們的視線聚焦到第一章“指印”。原文的表述非常精彩，從人和動(dòng)物的數(shù)覺開始談起。所謂數(shù)(shù)覺，就是不通過(guò)數(shù)(shǔ)，一眼看出物體的多寡。像人的數(shù)覺很少能超過(guò)四的，一般只能達(dá)到三。比如四個(gè)物體或五個(gè)物體，人的數(shù)覺很難進(jìn)行區(qū)分，而是通過(guò)將之分成兩堆:2和2還是2和3來(lái)區(qū)分是四還是五。書中還介紹了鳥類的數(shù)覺:“鳥巢里若有四個(gè)卵，那么可以安然拿去一個(gè);但是如果拿掉兩個(gè)，這鳥通常就要逃走了。鳥會(huì)用某種奇怪的方法來(lái)辨別二和三?！?/p>

除此之外，書中還有許多有關(guān)數(shù)覺的趣聞。書中寫道:“一種比鳥類高強(qiáng)不了多少的原始的數(shù)覺，就是產(chǎn)生我們數(shù)概念的核心。毫無(wú)疑問(wèn)，如果人類單憑這種直接的數(shù)覺，在計(jì)算的技術(shù)上，就不會(huì)比鳥類有什么進(jìn)步。但是經(jīng)歷了一連串的特殊的環(huán)境，人類在極為有限的數(shù)知覺之外學(xué)會(huì)了另一種技巧來(lái)給他幫忙，這種技巧注定了使他們未來(lái)的生活受到巨大的影響。這技巧就是計(jì)數(shù)，并且，正是由于有了計(jì)數(shù)，我們贏得了用數(shù)來(lái)表達(dá)我們的宇宙的驚人成就?！?/p>

要計(jì)數(shù)就得有計(jì)數(shù)的基底，是選擇十進(jìn)制、八進(jìn)制還是十二進(jìn)制，書中作了有趣地分析:人類采用十進(jìn)制乃是一種生理上的湊巧，或是因?yàn)槿擞惺畟€(gè)指頭，或是因?yàn)槿耸鞘聭烟?。并指?“設(shè)想要是人類沒有屈伸自如的手指，而只有兩只‘不分關(guān)節(jié)’的禿拳，整個(gè)文化史會(huì)成什么樣子，這是一個(gè)有趣的問(wèn)題。在這種情形下，假如最終也會(huì)發(fā)展出某種計(jì)數(shù)法的話，它很可能是二進(jìn)制的。”

但如果讓一群專家來(lái)選擇基底的話，十根本不會(huì)被考慮，數(shù)學(xué)家要選用素?cái)?shù)做基底，如七或十一;而實(shí)用家則會(huì)選擇因數(shù)多的數(shù)做基底，如十二。雖然十是舉世公用的基底，而在大多數(shù)的度量衡中，都有著以十二或它的倍數(shù)為基底的單位。如一年12個(gè)月，一天24小時(shí)，一小時(shí)60分鐘，一周角360度等。

本章的最后一段:“從文化史的觀點(diǎn)來(lái)看，改變數(shù)制的基底，即使可行，也是極不受歡迎的。只要人類一直用十來(lái)計(jì)數(shù)，他的十個(gè)手指就一直會(huì)使他意識(shí)到，他的精神生活的這一最重要方面，也起源于人類自身。因此，就讓十進(jìn)制作為下述名言的見證而永存下去吧:人是萬(wàn)物的尺度?！?/p>

窺一斑而見全豹，我不打算用介紹第一章的方法繼續(xù)下去，而要留下更多的時(shí)間和空間，讓您直接去書中遨游，下面幾個(gè)看點(diǎn)不要錯(cuò)過(guò)。

一、詩(shī)一般的開頭

全書以昂利·彭加勒的“源頭茫昧雖難覓，活水奔流喜不休。”開始，又以這樣一段結(jié)束:“聰明人重新拾起他的活計(jì)，紡織著今天的幻想，它可能成為明天的現(xiàn)實(shí)，同時(shí)，他向遙遠(yuǎn)的山峰投以最后一瞥，在這些山峰之后，思想的源頭消失了”。

不僅整本書這樣安排，每一章節(jié)的開頭都有一段貼近內(nèi)容的名言或詩(shī)歌。第四章“最末一數(shù)”，開頭:“說(shuō)過(guò)一遍的話，可以永遠(yuǎn)重復(fù)”。說(shuō)明數(shù)學(xué)上的無(wú)限概念。第六章“不可說(shuō)”，開頭:“上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其余都是人類的作品”。談代數(shù)數(shù)和超越數(shù)的發(fā)現(xiàn)。第八章“演變之道”，是尼采的一句話:“我們來(lái)計(jì)算，不需要更多的假定;但要我們能夠計(jì)算，就必須先行作出假定”。第11章“無(wú)限之解剖”，引用康托爾的一句話:“數(shù)學(xué)之精髓在于它的自由”。

二、活靈活現(xiàn)的人物

在文學(xué)、藝術(shù)領(lǐng)域，雖然我們不知道莎士比亞為什么要寫十四行詩(shī)，而沒有寫菜譜，凡高為什么要畫油畫，而沒有畫廣告畫，但我們知道他們是偉大的。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，同樣存在偉大的人物創(chuàng)造了偉大的定理。本書給我們呈現(xiàn)了許多活靈活現(xiàn)的人物，總計(jì)不少于150個(gè)。我們暫不說(shuō)偉大的歐幾里德、阿基米德、歐拉為數(shù)學(xué)殫精竭慮，單說(shuō)數(shù)學(xué)中的兩個(gè)“憤青”阿貝爾和伽羅瓦。書中寫道:“最奇怪的是阿貝爾和伽羅瓦兩人的性格和外表如此相異，居然會(huì)對(duì)同一問(wèn)題感興趣，而且用了相似的求解方法。二人都從五次方程入手，都相信用方根求解是可能的;當(dāng)時(shí)阿貝爾年齡十八，伽羅瓦年齡十六?！彼麄儾坏昝赖亟鉀Q了五次方程問(wèn)題，更重要的是開辟了數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要分支:群論。

他倆的故事到這里結(jié)束已夠精彩，但還遠(yuǎn)沒有完結(jié)。翻開近世數(shù)學(xué)的教科書和專門著作，阿貝爾這個(gè)名字是屢見不鮮的:阿貝爾積分、阿貝爾函數(shù)、阿貝爾群、阿貝爾級(jí)數(shù)、阿貝爾極限定理等等。很少幾個(gè)數(shù)學(xué)家能使自己的名字同近世數(shù)學(xué)中這么多的概念和定理聯(lián)系在一起。然而他卻只活了短短的27年。損失難以估計(jì)，正如埃爾米特所說(shuō):阿貝爾留下的后繼工作，夠數(shù)學(xué)家們忙上五百年。最可悲的是，在他生前，他的才能和成果并沒有得到公正的承認(rèn)。

伽羅瓦更是短命，只活到21歲。伽羅華死于一次決斗，一說(shuō)他是政治上的激進(jìn)分子，另一說(shuō)他是為愛情而決斗。在決斗的前夜，給朋友寫信，倉(cāng)促地把自己生平的數(shù)學(xué)研究扼要寫出，并附以論文手稿。他不時(shí)的中斷，在紙邊空白處寫上“我沒有時(shí)間，我沒有時(shí)間”，然后又接著寫下一個(gè)極其潦草的大綱。他在天亮之前那最后幾個(gè)小時(shí)寫出的東西，為一個(gè)折磨了數(shù)學(xué)家們幾個(gè)世紀(jì)的問(wèn)題找到了真正的答案，并且開創(chuàng)了數(shù)學(xué)的一片新的天地。他被公認(rèn)為數(shù)學(xué)史上幾個(gè)最具浪漫主義色彩的人物之一，他的死使數(shù)學(xué)的發(fā)展被推遲了幾十年。

三、充滿哲學(xué)思考

幾乎每一章節(jié)都有一些發(fā)人深思的問(wèn)題。第四章“最末一數(shù)”:“無(wú)限的概念雖然不是由邏輯或經(jīng)驗(yàn)強(qiáng)加給我們的，但它卻是一種數(shù)學(xué)的必然。那么，當(dāng)一個(gè)動(dòng)作一旦可能，我們的心靈就能夠設(shè)想這個(gè)動(dòng)作的無(wú)限次重復(fù)，這種心靈的背后究竟是什么呢?”尤其是第十二章“數(shù)學(xué)的實(shí)在性”，完全就是一場(chǎng)哲學(xué)大討論:數(shù)的觀念和我們感官所得的實(shí)在性之間的關(guān)系。要說(shuō)懷疑無(wú)理數(shù)的實(shí)在性的話，因?yàn)樗婕暗綗o(wú)限算法，那連同自然數(shù)都值得懷疑，因?yàn)樽匀粩?shù)是建筑在加一可以重復(fù)無(wú)限次的假定之上的。

甚至“一”也可以看作無(wú)限數(shù)列1/2，2/3，3/4，4/5，5/6，……中的最末一個(gè)數(shù)，怎么也繞不開這個(gè)無(wú)限。正如希爾伯特在紀(jì)念維爾斯特拉斯的有名演講里所說(shuō):“無(wú)限啊!從來(lái)沒有別的問(wèn)題這么深刻地打動(dòng)人類的精神;也沒有別的觀念這么有效地刺激起人類的智慧;然而也沒有別的概念能像無(wú)限概念這么需要澄清……，當(dāng)我們開始討論無(wú)限的精髓是什么的時(shí)候，我們必須首先使自己明白無(wú)限在實(shí)在性上的意義……”由此，他繼續(xù)談到現(xiàn)實(shí)中不存在無(wú)限可分的均勻連續(xù)統(tǒng)，數(shù)學(xué)只是假設(shè)了這種實(shí)在性。本書最后指出:“數(shù)學(xué)的概念如何來(lái)審查呢?它是不受審查的!數(shù)學(xué)是最高審判官;它判決之后，再不能上訴了?！?/p>

書中看點(diǎn)不斷，當(dāng)您讀完全書，一定會(huì)與希臘評(píng)注家普羅克洛斯產(chǎn)生共鳴:“這就是數(shù)學(xué):她賦予自己的發(fā)現(xiàn)以生命;她令思維活躍，精神升華;她燭照我們的內(nèi)心，消除了我們與身俱有的蒙昧與無(wú)知”。

(作者單位:江蘇南通師范二附小)

責(zé)任編輯李淳