何謂集合

□姚從軍 [湖南科技學院 永州 425100]

何謂集合

□姚從軍 [湖南科技學院 永州 425100]

人們通常用康托集合論來判斷ZFC系統(tǒng)的合法性，它對集合有兩種主要解釋：大小限制概念和疊置概念。大小限制概念把一個收集的統(tǒng)一性或客觀現(xiàn)實性看作與該收集自身的大小相關(guān),它不能對基公理和冪集公理的存在性提供合法的解釋。集合的疊置觀點對于集合的形成存在一個時態(tài)的限制，它可證明子集公理和冪集公理的合法性，但是它不能為代換公理提供一個解釋。對疊置構(gòu)造強加一個大小限制條件，可以成功地用來解釋代換公理，它不能用來說明冪集公理的合法性。結(jié)構(gòu)觀點認為一個集合是打開一個可能結(jié)構(gòu)的模式，集合的同一性應該由它們的打開模式的同一性確定，在這種概念下，沒有理由把這種可能的結(jié)構(gòu)限制在良基上。

限制大小; 疊置; 結(jié)構(gòu)打開; 代換公理; 基公理; 冪集公理

引言

人們通常用康托集合論來判斷最廣泛接受的集合論系統(tǒng)（ZFC）的合法性。這種集合論對集合有兩種主要解釋：大小限制概念和疊置（累加）概念。這兩種解釋都是基于Barwise和Moss1991年提出的盒子（box）隱喻基礎(chǔ)上：“一個集合像一個盒子，形成一個集合就像把東西放在一個盒子里?！盵1]這是對集合的一種十分直觀的描述，被稱為集合的顛倒（bottom-up）觀點：把東西收集起來放在盒子里。

ZFC系統(tǒng)是由Zermelo提出并且由Fraenkel和von Neumann通過增加代換公理而加強的公理系統(tǒng)。所有經(jīng)典的數(shù)學理論和概念可在ZFC里定義和推出，這個系統(tǒng)是所有數(shù)學研究的標準基礎(chǔ)。任意合理的“擇換集合論”應該可以通過證明一個傳遞類V的存在來保持ZFC 的所有優(yōu)點，這里（V，∈）是ZFC 的模型。這個模型是標準的，也就是在形成集合的運算下封閉。

系統(tǒng)ZFC-是通過去掉ZFC系統(tǒng)中的基公理得到的。正如許多學者所述，基公理是對集合結(jié)構(gòu)的一種人為限制，這種限制的主要理由是純技術(shù)性的：這種限制使得集合的概念更加明確，允許我們按照屬于關(guān)系進行歸納來證明一些結(jié)論。但是，基公理對于我們在集合論里發(fā)展任意的具體的數(shù)學分支并非都是必需的。我們可以簡單地在ZFC-系統(tǒng)里定義所有的良基集合類WF，并且證明這個類是系統(tǒng)ZFC的一個傳遞的標準模型。

除了外延公理和選擇公理之外，ZFC-的所有公理都是通常的天真的概括原則（斷言每個可定義的類是一個集合）的特例。實際上，這些公理是Zermelo使用一種方式削弱天真的概括原則得到的：不出現(xiàn)悖論，但是經(jīng)典的數(shù)學和康托的超窮基數(shù)理論仍舊可以發(fā)展，并且康托的良序原則可被證明是一個定理。

但是，除了這些有用性之外，什么理由使我們恰好保留天真概括原則的這些實例而不是其他實例呢？人們很自然地去尋找一個直觀的集合概念，它比天真的集合概念要有更多的限制，但是對于它們來說，ZFC的擬概括公理仍然是真的。

一、大小限制的觀念

Fraenkel、Bernays、von Neumann、Levy的大小限制概念把一個收集(collection)的統(tǒng)一性或客觀現(xiàn)實性看作與該收集自身的大小相關(guān)：一個類如果不太大可被視為一個對象。那個根本的空間比喻對盒子作了一個基數(shù)限制：不能把太多的東西放在同一個盒子里面。Fraenkel使用了圓形封閉墻的比喻：

“集合把它們圍成一座封閉的墻，這座墻把它們與外部的世界隔離開來，”然而為了形成真類，“必須從每座墻的外面取得元素，不管如何形成圍墻?！盵2]

他也說真類是“矛盾的因為它們的無限擴展”。順便提一下，這是對前康托概念（認為一個收集的現(xiàn)實性與其大小有關(guān)）的一個復歸：對于亞里士多德和中世紀哲學家來說，所有無窮的類是真類，因為僅僅有窮的收集是實在的，而基數(shù)大于每個自然數(shù)的所有收集僅有一個潛在的存在性?，F(xiàn)在這個柵欄被提升了，因此所有小于某個大類（比如域U）的類被視為集合，所有其他的類（真類）只有一個潛在的現(xiàn)實性。

把集合和類的區(qū)別等同于小和大的區(qū)別的觀點相當普遍，筆者不堅持這種觀點，因為：類是一個松散的潛在的收集，不一定形成一個統(tǒng)一體；集合是作為統(tǒng)一體的現(xiàn)實的類。

雖然小的收集是集合，但是沒有充足的理由認為所有的集合是小的；這樣的一個假設(shè)似乎是對于Russel和Burali-Forti悖論的一種特別的解決方式，也就是僅僅為了除掉不一致的羅素類R={x: x?x}和不一致的所有序數(shù)類On，扔掉完全良性的大類。畢竟，人們很容易轉(zhuǎn)向康托的針對亞里士多德以大小為基礎(chǔ)的把無窮等于純潛在性的論證。也許，R和On過于大不是它們不具有完全性的原因，而是它們的不可結(jié)束的特點。

加之，大小限制的概念不能實現(xiàn)它的諾言：它不能解釋ZFC的所有公理，并且它的精神實際上與ZFC的某些公理是相矛盾的。很容易證明空集公理、對集公理、代換公理、和子集公理存在的合法性；對于代換公理來說，大小限制概念實際上是此刻可得到的有關(guān)它存在合理性的僅有的解釋：代換公理簡單斷言任一（在基數(shù)上）不大于一個已知集合的收集是一個集合?？蓪@個概念進行特別的改造使之容納無窮公理和并集公理。但是大小限制概念沒有對基公理和冪集公理的存在性提供合法的解釋。為什么一個小集合的冪集還是小的呢？即使這是真的，這也是不明顯的。相反，Cohen和Easton的結(jié)論蘊涵了一個無窮集a的大小和它的冪集Pa的大小之間的聯(lián)系是不可證的；一個無窮集的冪集打消了我們“想通過大小刻畫它的所有念頭”[3]；加之無窮集的非絕對性，它與整個域的大小緊密相關(guān)。因此，對于大小限制概念來說，冪集公理至少是反直觀的。人們也許會基于某些證明被迫地接受它，但不是作為一條公理。用M. Hallet的話來說，“冪集公理不過是一個秘密?！盵4]

總之，大小限制觀念分離出一種重要的集合的收集：小收集。大小區(qū)別在集合論中處于核心位置，小集合的行為方式不同于大集合。

二、疊置觀念

Zermelo、Schoenfield、Scott、Wang、Godel的關(guān)于集合的疊置觀點基于對盒子比喻的時態(tài)理解基礎(chǔ)上：盒子是分層形成的，并且被放在新盒子里面。對于集合的形成存在一個時態(tài)的限制：不能把一個還沒有創(chuàng)造的對象放在一個盒子里面。因此，一個收集的客觀實在性又一次根據(jù)實在和潛在的區(qū)別得到理解：每一時刻，只有已被創(chuàng)造的集合是實際存在的，并且因此可作為新集合的構(gòu)造之磚。還沒被創(chuàng)造的集合僅僅具有潛在的存在性。像所有集合的集合這樣的全體在任何時刻都不可形成，因為這將牽涉到也許在將來才會形成的集合的立即實在化。這些全體包含了在任一較遲的時期出現(xiàn)的集合作為元素，因此它們的收集永遠形成不了。這樣的全體不可完成并因此被判定永遠處于一個潛在的狀態(tài)。

更精確地說，假定我們有一個邏輯的時間感覺，它是由具有先后順序的階段構(gòu)成。這些階段與序數(shù)具有同一性，這意味著邏輯時間是超窮的和良序的。理想化的數(shù)學家按照時間構(gòu)造集合的域。在每一個階段他用較早階段形成的集合構(gòu)造所有的收集。他把這些新收集放到儲存集合的倉庫中，然后再進行下一階段的構(gòu)造活動。這個過程有一個記憶：它把已經(jīng)形成的所有集合累積在一起。

累積的觀點是有力和直觀的，并且變成現(xiàn)代集合論中占支配地位的概念。藉此很容易證明對集公理、并集公理、無窮公理和基公理的合法性。它也能證明子集公理和冪集公理的合法性。但是，很顯然它不能為代換公理提供一個解釋：不存在明顯的原因使得先前階段形成的某個集合的函數(shù)的像不在任一稍后階段出現(xiàn)。

標準的答案是：一旦我們有了一個函數(shù)F，我們能夠想像在任一舊階段之外的一個新階段，并且形成該函數(shù)在這個新階段的值域。有許多理由認為這個反應是有缺陷的。一個可定義的函數(shù)僅僅是一個公式，新階段的每次加入和域的每次擴張也許會改變公式的意義。在增加了一個新階段之后，實際上我們能夠形成與F的舊值域相對應的集合，但是這將不是F在新全域下的值域。

有時這個答案又要采用一個大小比喻的形式：與在過程中所形成的每個集合相比較而言，人們假定階段（邏輯時間）的收集是大的。存在比任意集合中的元素更多的階段。換句話說，在任一階段創(chuàng)造的集合比所有階段的收集要小。這似乎是一個可信的假設(shè)，并且把時態(tài)疊置比喻與大小空間比喻合并起來實際上能夠證明代換公理的合法性。但是，我們怎么來理解這兩個比喻的混合物的一致性呢？預先我們怎么保證可以得到的時間長度將會長于在這個時間內(nèi)形成的任一集合序列呢？

一些作者根據(jù)時間沒有終點的觀點來理解這一問題：他們把時態(tài)階段看作是根據(jù)時間伴隨著集合而構(gòu)造的。在某一個階段創(chuàng)造了一個集合a之后，我們不是僅僅增加了下一個新階段，而是可能增加足夠多的階段，以至于可以枚舉在階段a創(chuàng)造的集合。如果這個圖是一致的，實際上證明了代換公理的合法性。但是，這個觀點明顯是不一致的，盡管它具有明顯的直覺特征：按照時間構(gòu)造時間是什么意思？更糟糕的是，我們注意到按照這種觀點，通過增加與某個階段相關(guān)的集合，我們一次不僅僅創(chuàng)造一個階段，而是在構(gòu)造與某些階段相聯(lián)系的集合之前，可以提前創(chuàng)造無窮多的未來階段。這樣的一個假設(shè)致使構(gòu)造集合的基本的疊置概念（用一種擬構(gòu)造方式一個階段接一個階段連續(xù)地構(gòu)造）無意義。

盡管一直在說時間是沒有終點的，但是筆者認為一個合理的和一致的關(guān)于疊置圖的理解把可以得到的時態(tài)階段的收集看作是已知的。我們按照時間創(chuàng)造集合，其中一些集合也許從同構(gòu)意義上反映了時態(tài)階段的結(jié)構(gòu)；但是我們不能跳出邏輯時間創(chuàng)造更多的時間。

但是，如果把階段的收集On看作已知的，那么如何保證被連續(xù)創(chuàng)造的集合比On本身小呢？最自然的方式是對疊置構(gòu)造強加一個大小限制條件：在每一個階段僅僅由先前所形成的集合生成小收集，這里小被理解成比所有階段的收集On小。原則上說，用這種方式，僅僅能夠形成在將來某個階段可以枚舉的集合。這個觀點可以成功地用來解釋代換公理。但是不幸的是，它不能用來說明冪集公理的合法性；由于同樣的原因，單一的大小限制觀念也不能做到這一點：沒有什么可以保證一個小集合的冪集本身是小的。

對于冪集公理來說無論如何也存在一些問題：用完全非直謂的可以接受的方式來說，這個公理與疊置概念的擬構(gòu)造特點相沖突。我們最終構(gòu)造出一個集合的所有子集，但是這不蘊涵能夠把所有這些子集收集成一個統(tǒng)一體。一個更加現(xiàn)實的對疊置圖的理解堅持在每一個階段我們可得到由先前形成的對象構(gòu)成的所有的集合。但是，這是否能夠證明冪集公理的合法性是有爭議的，存在合理的論證表明我們從來不能構(gòu)造成一個無窮集合的滿冪集：隨著域的擴展，冪集也會增加。

三、結(jié)構(gòu)觀點

Barwise和Moss1991年提出忘記結(jié)構(gòu)比喻作為對Aczel反良基公理的一種直覺理解和對通常的盒子比喻的一種擇換，這種理論認為集合是一個復雜東西的結(jié)構(gòu)。

通過忘記組成部分的本質(zhì)，剩下的唯一東西是整體和部分之間的集合體或非集合體關(guān)系，也就是屬于關(guān)系結(jié)構(gòu)。這個結(jié)構(gòu)是點結(jié)構(gòu)，因為它有一個根：通過連續(xù)地分解方式打開結(jié)構(gòu)的內(nèi)在過程有一個起點，也就是當下考慮的對象。因此我們把集合看作點二元結(jié)構(gòu)。

我們可以把這個概念看作是在一個疊置圖的上端旋轉(zhuǎn)它：不是從底層開始，使用已知對象的收集逐層構(gòu)造集合，現(xiàn)在從一開始我們就被給予了一個統(tǒng)一體（對象），我們把它分解成組成部分，依次對組成部分進行分解，這樣一層層分解……這是一種從上到下的分析集合的觀點。根據(jù)盒子比喻，我們不是把東西放在盒子里，它們處于盒子里面。Moschovakis1994年使用了一個恩賜比喻引進Aczel的非良基集合：我們接受每個盒子作為來自宇宙的一個恩賜；我們僅僅打開盒子看看盒子里面裝的是什么東西，并且繼續(xù)打開在這個過程中遇到的新盒子。通過忘掉除這種打開模式之外的每件東西我們得到一個集合。

注意到在這種概念下，沒有理由把這種可能的結(jié)構(gòu)限制在良基上，包含無限可分的對象一定是可以想像的。因此基公理必須走開，但是這立即提出了確定集合同一性問題：一個集合的本質(zhì)特征是什么？正如許多人指出的（如Forster）那樣，關(guān)于集合最基本的和爭議最少的原則是：我們知道的關(guān)于一個集合的存在是它的元素。假設(shè)基公理，這個原則可歸約到外延公理：具有相同元素的集合具有同一性?；碓试S我們使用這個原則根據(jù)∈-遞歸定義集合上的恒等關(guān)系。在沒有基公理的情況下，我們需要某個更強的概念確定集合的相等性。

在結(jié)構(gòu)觀點的背景下，存在外延性原則的一個自然的擴展：一個集合不過是我們假設(shè)的打開一個可能結(jié)構(gòu)的模式，因此集合的同一性應該由它們的打開模式的同一性確定。

我們獲得一個基于分析行為的同一性的結(jié)構(gòu)等價性概念：兩個結(jié)構(gòu)是等價的當且僅當它們的打開模式是相同的。這等價性叫做觀察等價性，因為上面的分析可被視為對當前考慮的對象執(zhí)行的一系列觀察。存在各種嚴格地定義這一概念的方式，所有定義對小結(jié)構(gòu)是等價的，并且都具有這樣的性質(zhì)：一個集合的打開通過打開該集合的元素而實現(xiàn)；用純結(jié)構(gòu)術(shù)語來說，一個具有根點g的點結(jié)構(gòu)的打開通過打開以g的后繼為根點的點結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)。

我們可以把上面的集合同一性標準陳述為：具有觀察等價的結(jié)構(gòu)的集合是同一集合。我們稱這個原則是強外延性原則或超強外延性原則。根據(jù)它的超強公式，這個原則可被看作刻畫了已知的關(guān)于集合斷言（集合僅僅由它們的元素確定）的滿結(jié)構(gòu)內(nèi)容，這是因為一個集合的打開模式由它的元素的打開模式唯一確定。

這不是把集合的同一性簡單地歸約到結(jié)構(gòu)的同構(gòu)性，因為集合概念不具有“打開”特點：集合的組成部分本身被看作集合。換句話說，集合是由集合組成的結(jié)構(gòu)。

例如，取一個對象，它恰好是一個由組成部分構(gòu)成的非空的集合體，每個組成部分本身又是一個非空的集合體，如此類推……顯然每個組成部分與初始對象有相同的分析行為：如果我們忘記除這個分析模式之外的每件東西，那么所有的組成部分與初始對象是同一的。最后的集合僅有一個元素，即它自身，這就是Aczel的集合Ω={Ω}，這是使人感到灰心的恩賜：一個盒子里面裝有一個盒子，里面的盒子也裝有一個盒子，以此類推，無窮無盡。

現(xiàn)在我們陳述結(jié)構(gòu)觀念的主要原則：

極大性原則（結(jié)構(gòu)完全性原則）：打開結(jié)構(gòu)的每個可能的模式是打開某個集合的模式。

唯一性原則（超強外延性原則）：兩個具有觀察等價性（具有相同的打開模式）的集合是同一集合。

依賴于觀察等價性的精確定義，這些原則將通過Aczel的反良基公理和Baltag的超反良基公理得到體現(xiàn)。簡單地說，第二個原則（唯一性原則）就是上面提到的（超）強外延原則；第一個原則（極大性原則）可被看作這些公理的存在性方面。它是一個極大性假設(shè)，斷定每個可能的結(jié)構(gòu)模式是可以被認識的。通過理解一個可能的模式是什么，我們獲得了AFA、SAFA和FAFA的存在性。

在任一形式化中，很容易看作上面兩個原則的合取揭示了下面的斷言：

每個點二元結(jié)構(gòu)與一個唯一的集合是觀察等價的。

這就斷定了集合的本質(zhì)是純結(jié)構(gòu)的基本觀點。把點二元關(guān)系結(jié)構(gòu)描述為集合的結(jié)構(gòu)不需要對結(jié)構(gòu)強加任何限制，只要我們對相對于觀察等價性而言的唯一描述滿意。加之，存在好的理由對這樣的一個描述滿意：一般來說，根據(jù)唯一性或超強外延性我們不能希望有一個更好的描述，因為觀察等價集合一定是同一集合。

當然，對于具體的結(jié)構(gòu)，我們有完美的集合描述：它們也許與某個集合的結(jié)構(gòu)是同構(gòu)的。但是，如果尋找相對于同構(gòu)的描述，可以看到（超）強外延原則仍就對可能得到的那類二元結(jié)構(gòu)強加了某些限制。也就是說，這些結(jié)構(gòu)將一定是（超）強外延的。

上面的討論明顯是非形式的：我們還沒有明確說明我們的背景假設(shè)是什么；我們還沒有試圖定義結(jié)構(gòu)和觀察等價性概念。首先是Aczel的非良基集合論ZFA，它通過削弱這個理論的背景假設(shè)使我們能夠加強我們的結(jié)構(gòu)概念和觀察等價性概念使之與天真集合論中非形式對應物相匹配。最終的理論被Baltag簡單地稱為集合的結(jié)構(gòu)理論（STS）。

[1] BARWISE J, MOSS L. Hypersets[J]. The Mathematical Intelligencer, 1991, 13(4): 31-41.

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[3] COHEM A. Numerical analysis[M]. New York : Wiley, 1973:122-135

[4] HALLET M. Cantorian set theory and limitation of size[M]. Oxford: Clarendon Press ,1984:125

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[6] BARWISE J, MOSS L. Vicious circles: on the mathematics of non – well – founded phenomena [M].Stanford: CSLI Publications , 1996.

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[10]ZERMELO E. Uber Grenzaahlen und Mengenbereiche[J]. Fundamenta Mathematische, 1930, (16): 2

What is the Set

YAO Cong-jun
(Department of Politics Hunan University Yongzhou 425100 China)

The Cantorian definition of sets, which are commonly used to justify ZFC, has two main readings for sets: the limitation-of-size conception and iterative conception. The limitation-of-size conception understands the unity or the thingness of a collection as related to its size, but it offers no justification for either the foundation axiom or the power-set axiom. The iterative idea of set imposes a temporal restriction on the set-formation, and it justifies separation axiom and power set axiom, but it fails to offer an explanation for replacement axiom. The most natural way to do it would be to impose a limitation-of-size on the iterative, which can explain replacement, axiom but fails to justify power set axiom. Structural conception considers set as a pattern of unfolding a possible structure, so the identity of sets should be given by the identity of their analytical patterns. Under this conception there is no reason to limit the possible structure to the well-founded one.

limitation-of-size conception; iterative conception; structure unfolding; replacement axiom; foundation axiom; power-set axiom

B026

A

1008-8105(2010)05-0058-04

編輯 劉波

2009 ? 12 ? 01

2008年國家社科基金“超集、互模擬以及在模態(tài)邏輯、計算機科學中的作用研究”資助項目（08BZX049）。

姚從軍（1971 ? ）男，哲學博士，湖南科技學院思政部教師.