范例教學(xué)在離散數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

羅佩芳,黃 贊

(1.廣東培正學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程系, 廣東 廣州 510830;2.廣東培正學(xué)院 人文學(xué)科與基礎(chǔ)教學(xué)部, 廣東 廣州 510830)

離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)科學(xué)的重點(diǎn)基礎(chǔ)理論課程.隨著時(shí)代的發(fā)展，各行各業(yè)對(duì)計(jì)算機(jī)的需求越來(lái)越大，因此作為支撐學(xué)科的離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也變得越發(fā)重要.離散數(shù)學(xué)課程具有內(nèi)容廣泛，理論抽象，專業(yè)應(yīng)用性強(qiáng)等特點(diǎn)，它所涉及的概念、方法和理論，大量地應(yīng)用在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)庫(kù)系統(tǒng)、編譯原理、人工智能、計(jì)算機(jī)體系結(jié)構(gòu)、算法分析與設(shè)計(jì)、軟件工程、多媒體技術(shù)、數(shù)字電路、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)等專業(yè)課程以及信息管理、信號(hào)處理、模式識(shí)別、數(shù)據(jù)加密等相關(guān)課程中.離散數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí)非常有益于學(xué)生概括抽象能力、邏輯思維能力、歸納構(gòu)造能力的提高，十分有益于學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、完整、規(guī)范的科學(xué)態(tài)度的培養(yǎng).這些能力與態(tài)度是一切軟、硬件計(jì)算機(jī)科學(xué)工作者所不可缺少的，也為學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)科學(xué)的后續(xù)課程、從事科研或工程技術(shù)工作以及進(jìn)一步提高科學(xué)技術(shù)水平奠定理論基礎(chǔ).針對(duì)計(jì)算機(jī)科學(xué)專業(yè)以及離散數(shù)學(xué)課程本身的特點(diǎn)，在實(shí)踐教學(xué)中，如何能使學(xué)生更好地學(xué)懂相關(guān)知識(shí)，培養(yǎng)良好的邏輯性思維和創(chuàng)造性思維，成為教學(xué)中一直在攻克的難題.范例教學(xué)作為一直很受歡迎的教學(xué)模式在許多課程教學(xué)中都有應(yīng)用，在離散數(shù)學(xué)中恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用范例教學(xué)模式同樣可以得到非常理想的教學(xué)效果.

1 范例教學(xué)在離散數(shù)學(xué)教學(xué)中的積極作用

在離散數(shù)學(xué)教學(xué)中，一個(gè)恰當(dāng)?shù)膶?shí)例，可以對(duì)教學(xué)過程起到非常積極的作用，主要表現(xiàn)在以下方面.

1.1 運(yùn)用范例教學(xué)有利于激發(fā)學(xué)生的求知欲望[1]

在數(shù)學(xué)家的眼中，離散數(shù)學(xué)很美，離散數(shù)學(xué)很有意思，可是在學(xué)生眼中離散數(shù)學(xué)卻很枯燥，很沒興趣.“興趣是最好的老師”，布魯納曾經(jīng)指出，最好的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)是學(xué)生對(duì)研究的東西有著內(nèi)在的興趣，學(xué)生一旦對(duì)所學(xué)知識(shí)產(chǎn)生興趣，就會(huì)產(chǎn)生愉悅的情緒，從而集中注意力去積極地思考問題.

在實(shí)際教學(xué)中以實(shí)例作為課程引入可以很好地激發(fā)學(xué)生的求知欲望.講到圖論部分時(shí)，在介紹抽象概念之前，先舉哥尼斯堡七橋問題[2]作為引入.當(dāng)說(shuō)明這個(gè)問題的背景后，提出哥尼斯堡問題：一個(gè)散步者能否一次走遍7座橋，而且每座橋只許通過一次，最后仍回到起始地點(diǎn)？當(dāng)描述完問題后，學(xué)生們都躍躍欲試，在練習(xí)紙上不停地勾畫，這樣的引入使學(xué)生產(chǎn)生深厚的興趣，帶著想要解決問題的求知欲望，進(jìn)而悅?cè)唤邮苤R(shí)，然后教者再將哥尼斯堡七橋問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的圖和圖論問題，既介紹了數(shù)學(xué)史的知識(shí)，又引入了歐拉圖的一個(gè)重要背景.抽象的概念總是相對(duì)難以理解和接受，而生動(dòng)的實(shí)例總是更引人入勝的.從而能很大程度上激發(fā)學(xué)生的求知欲望.

1.2 運(yùn)用范例教學(xué)有利于對(duì)理論知識(shí)的深入理解

在離散數(shù)學(xué)中概念非常多，很多理論也相對(duì)很抽象，學(xué)生很難理解，特別是一些有關(guān)運(yùn)算方法理論的教學(xué)，方法理論講清楚了，學(xué)生會(huì)做運(yùn)算了，但是如果沒有一些相對(duì)應(yīng)的實(shí)例進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用去加深知識(shí)的理解，學(xué)生學(xué)過不用多久，如果兩周時(shí)間不提這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，就會(huì)差不多忘記了，不能真正地建構(gòu)到學(xué)生自己的知識(shí)體系中.面對(duì)這一問題，范例教學(xué)是很好的解決方法.

在講到數(shù)理邏輯中有關(guān)主析取范式的求法時(shí)，求解方法以及步驟的講解用了大量的時(shí)間，從課本求主析取范式的例題到課后作業(yè)，邊講邊總結(jié)求法，學(xué)生基本都掌握了求解方法，但是學(xué)生還是不太清楚如何去用這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，用這個(gè)知識(shí)做什么？難道只是為了求公式的主析取范式嗎？當(dāng)然不是，學(xué)習(xí)這門課程的意義并不在于此，而在于課程中所反映的思想，如何能去真正用到實(shí)際問題中.針對(duì)這種情況，上課時(shí)一個(gè)恰當(dāng)?shù)膶?shí)例應(yīng)用，能讓學(xué)生更深一步理解理論知識(shí)，同時(shí)更有利于理解學(xué)習(xí)這一知識(shí)點(diǎn)的真正意義.實(shí)際教學(xué)中為了更吸引學(xué)生的注意力，舉了有關(guān)五個(gè)上課同學(xué)在內(nèi)的這樣一個(gè)實(shí)例.

例1 某公司要從趙妍、錢福泰、孫博、李奕欣、周毅峰五名新畢業(yè)的大學(xué)生中選派一些人出國(guó)學(xué)習(xí).選派必須滿足以下條件：

(1)若趙妍去，錢福泰也去；(2)李奕欣、周毅峰兩人中至少有一人去；(3)錢福泰、孫博兩人中有一人去且僅去一人；(4)孫博、李奕欣兩人同去或同不去；(5)若周毅峰去，則趙妍、錢福泰也去.

試用主析取范式法分析該公司如何選派他們出國(guó)？

解①設(shè)p：派趙去，q：派錢去，r：派孫去，s：派李去，u：派周去.

②(1)(p→q)；(2)(s∨u)；(3)((q∧r)∨(q∧r))；(4)((r∧s)∨(r∧s))；(5)(u→(p∧q)).

③(1)～(5)構(gòu)成的合取式為

A=(p→q)∧(s∨u)∧((q∧r)∨(q∧r))∧((r∧s)∨(r∧s))∧((u→(p∧q))

④A?(p∧q∧r∧s∧u)∨(p∧q∧r∧s∧u)

⑤結(jié)論:由④可知，A的成真賦值為00110與11001，因而派孫博、李奕欣去(趙妍、錢福泰、周毅峰不去)或派趙妍、周毅峰、周去(孫博、李奕欣不去).

這個(gè)實(shí)際中的問題實(shí)質(zhì)上在運(yùn)用主析取范式法進(jìn)行求解的，通過這個(gè)實(shí)例后，學(xué)生對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)有了更深一步的理解，并能運(yùn)用到實(shí)際生活中.由此可見，范例教學(xué)有利于對(duì)理論知識(shí)的深一步理解.

1.3 運(yùn)用范例教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生多維思維能力

離散數(shù)學(xué)所涉及的思想可以培養(yǎng)學(xué)生良好的邏輯思維能力與思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，提升抽象思考和嚴(yán)格推理能力，為學(xué)生提高專業(yè)理論水平打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，能為后續(xù)專業(yè)理論課的學(xué)習(xí)作好準(zhǔn)備.而邏輯思維能力的培養(yǎng)與思維嚴(yán)謹(jǐn)性的形成是一個(gè)漫長(zhǎng)而艱難的過程，而一些好的實(shí)例則非常有利于這一過程的形成[4].

在實(shí)際教學(xué)中，抽象思維的鍛煉非常重要，一個(gè)恰當(dāng)?shù)膶?shí)例，在學(xué)習(xí)過程中往往起到事半功倍的作用.在講到圖論部分時(shí)，有關(guān)“握手定理”的內(nèi)容是很容易理解，教學(xué)中經(jīng)常會(huì)應(yīng)用“握手定理”去判斷所給的數(shù)列是否能構(gòu)成圖的度數(shù)列，這種例子也只是停留在定理表面的應(yīng)用，為了更深刻地理解定理，訓(xùn)練學(xué)習(xí)的抽象思維，可參見以下實(shí)例[3].

例2 證明3維空間中不存在具有奇數(shù)個(gè)面且每個(gè)面都具有奇數(shù)條棱的多面體.

此題剛一看似乎與“握手定理”沒有關(guān)系，在實(shí)際講解要把握這一點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)習(xí)進(jìn)入抽象思維的境界，在這里將多面體中的每個(gè)面抽象為圖中的點(diǎn)，而面與面之間的公共的棱抽象為圖的邊，問題就轉(zhuǎn)化為是否存在具有奇數(shù)個(gè)頂點(diǎn)，且每個(gè)頂點(diǎn)的度都為奇數(shù)的圖的問題.當(dāng)如此抽象把問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)習(xí)過圖的問題時(shí)學(xué)生們豁然開朗，感覺到思考問題的這樣抽象的過程是一個(gè)非常有意思的活動(dòng)，進(jìn)而產(chǎn)生積極情緒去完成學(xué)習(xí).

上例的證明過程如下：用反證法.假設(shè)存在這樣的多面體,作無(wú)向圖G=,其中V={v|v為多面體的面},E={(u,v)|u,vV∧u與v有公共的棱∧u≠v}.根據(jù)假設(shè),|V|為奇數(shù)且?v∈V,d(v)為奇數(shù).則可得奇數(shù)個(gè)項(xiàng)點(diǎn)每個(gè)頂點(diǎn)的度都是奇數(shù)，那么所有頂點(diǎn)的度數(shù)之和一定是奇數(shù)，這與握手定理矛盾所以假設(shè)不成立，結(jié)論正確.

一個(gè)生活中的實(shí)際問題的實(shí)例，更能讓學(xué)生接受，也更有利于培養(yǎng)學(xué)生的多維思維的能力.實(shí)際生活經(jīng)常會(huì)有同學(xué)去參加婚禮，而在婚禮中來(lái)的賓客都是男女雙方的朋友或親戚，他們不一定都是認(rèn)識(shí)，對(duì)于這一大家非常熟悉的現(xiàn)象，引入以下實(shí)例.

例3 小王與小趙的結(jié)婚宴會(huì)上請(qǐng)了一些客人，宴會(huì)主持人走到其中一個(gè)10人圍成的圓桌前，問他們各自認(rèn)識(shí)其余的9人中的幾個(gè)人，結(jié)果他們的回答結(jié)果各不相同，請(qǐng)問這可能嗎？試說(shuō)明理由.(注意：這里的“認(rèn)識(shí)”是相互的，即A認(rèn)識(shí)B，B也認(rèn)識(shí)A.)

當(dāng)問題提出后，學(xué)生的思維是活躍的，對(duì)于一個(gè)實(shí)際問題的感興趣是很積極的向?qū)В笇?dǎo)著學(xué)生的思維.雖然思考問題的過程是一個(gè)復(fù)雜的思維過程，但是如果經(jīng)過鍛煉后，思維的趨向性還是很容易形成的，很快學(xué)生們就能將10個(gè)人抽象為10個(gè)點(diǎn)，將兩人之間的認(rèn)識(shí)關(guān)系抽象為點(diǎn)與點(diǎn)之間的邊，則問題實(shí)際是轉(zhuǎn)化為討論是否可能存在由10個(gè)點(diǎn)且每個(gè)點(diǎn)的度都各不相同的簡(jiǎn)單無(wú)向圖.

對(duì)于上述例子的情況是不可能的.學(xué)生們利用“握手定理”便可導(dǎo)出矛盾.此例更能體現(xiàn)范例教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生的多維思維能力.

2 范例教學(xué)在離散數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意的問題

離散數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容比較多，反映的原理有些很抽象，很難理解應(yīng)用，針對(duì)這些特點(diǎn)，在離散數(shù)學(xué)教學(xué)中，適當(dāng)引入實(shí)例有利于教學(xué)，能有效地提高教學(xué)效率，但在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)用實(shí)例時(shí)應(yīng)把握時(shí)機(jī)，把握分寸，適時(shí)地引入恰當(dāng)?shù)膶?shí)例才能更有利于教學(xué).

2.1 范例教學(xué)的內(nèi)容引入要適當(dāng)，盡量有趣

在引入實(shí)例時(shí)，內(nèi)容至關(guān)重要.第一，要考慮有可接受性，盡量有一定的趣味性，同時(shí)要適當(dāng)接受知識(shí)的人群，以便引起學(xué)生的興趣，產(chǎn)生積極的求知情緒，主動(dòng)參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中.實(shí)例中涉及到的知識(shí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)盡量結(jié)合學(xué)生已有的知識(shí)體系及當(dāng)前階段正學(xué)習(xí)的內(nèi)容，問題難度應(yīng)當(dāng)適中，處理過程不要過于復(fù)雜，以免令學(xué)生產(chǎn)生抵觸情緒，反而防礙教學(xué).在內(nèi)容的安排上，所涉及的理論、方法和計(jì)算都不要太復(fù)雜，要進(jìn)入的門檻“低”，同時(shí)要接近大多數(shù)學(xué)生的實(shí)際水平，以使他們能切實(shí)參加到實(shí)例中.第二，在內(nèi)容又應(yīng)該留有充分余地，以利于不同水平的學(xué)生發(fā)揮使他們各得其所，尤其要讓某些同學(xué)的創(chuàng)新意識(shí)或突出能力有可能在實(shí)例中不同環(huán)節(jié)的得到顯示.第三，取材應(yīng)盡可能廣泛，考慮實(shí)際背景，而且盡可能反映多種領(lǐng)域，反映新學(xué)科分支，同時(shí)要盡可能反映現(xiàn)實(shí)生活.在實(shí)際教學(xué)中，可供選擇的實(shí)例很多，有警察推案問題(如“到底誰(shuí)是小偷的推理問題”)，也有金融問題(“使用二叉樹方法”)，有涉及信息技術(shù)的問題(“Hill密碼的加密、解密和破譯”)，也有非線性科學(xué)問題.在具體使用時(shí)根據(jù)學(xué)生的知識(shí)背景適當(dāng)選擇，可以豐富生動(dòng)的題材有利于擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)面，同時(shí)提高對(duì)數(shù)學(xué)作用的認(rèn)識(shí).

2.2 引入實(shí)例要適時(shí)，把握時(shí)機(jī)

離散數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容有些比較抽象，難理解，引入實(shí)例來(lái)讓學(xué)生理解是非常必要的，但要注意把握引入的時(shí)機(jī)，不要過早，要做到適時(shí).在新課程引入時(shí)一般不引入理論性強(qiáng)的實(shí)例，如果想引入實(shí)例應(yīng)該考慮一些有關(guān)知識(shí)背景的數(shù)學(xué)史方面的，一些有趣的小故事，往往可以引起學(xué)生的興趣，激發(fā)求知欲望；在課程內(nèi)容傳授過程中，要在所學(xué)知識(shí)的基本理論已經(jīng)講授后，學(xué)生對(duì)這一方面的知識(shí)有一定了解時(shí)，再結(jié)合所正在學(xué)習(xí)的知識(shí)引入實(shí)例，目的是加深前面知識(shí)的理解，同時(shí)能充分去應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).當(dāng)然引入實(shí)例時(shí)要考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)程度，在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過這一方面知識(shí)，并且已經(jīng)達(dá)到理解，運(yùn)用自如時(shí)，就不能再引入那些很容易理解，顯然易見的例子，那樣做無(wú)非會(huì)引起學(xué)生的厭煩，沒有積極性，引入實(shí)例沒有起到任何實(shí)際教學(xué)效果，毫無(wú)意義，可能還會(huì)起到消極影響.所以實(shí)例在引入時(shí)要注意把握時(shí)機(jī)，適時(shí)地引入恰當(dāng)?shù)膶?shí)例才能提高教學(xué)效果.

2.3 運(yùn)用范例教學(xué)法時(shí)要注意講授方法

在選取適當(dāng)實(shí)例的基礎(chǔ)上，并能把握好時(shí)機(jī)地引入實(shí)例，同時(shí)也要注意講授實(shí)例的方法.針對(duì)離散數(shù)學(xué)課以及計(jì)算機(jī)專業(yè)的特點(diǎn)，一般可以采用講授與訓(xùn)練相結(jié)合，課內(nèi)與課外相結(jié)合，理論推導(dǎo)及運(yùn)算與上機(jī)操作相結(jié)合等方式.當(dāng)講授到一些理論推理實(shí)例時(shí)，最好采用講授與訓(xùn)練相結(jié)合，教師講授問題的轉(zhuǎn)化，然后讓學(xué)生嘗試練習(xí)完成推理.當(dāng)引入帶有理論及運(yùn)算的實(shí)例時(shí)，最好要與上機(jī)操作相結(jié)合，教師先講授實(shí)例的理論背景與實(shí)例考察的知識(shí)要求，然后布置任務(wù)，讓學(xué)生分組討論后再上機(jī)操作，比如講授到最佳前綴碼時(shí)，這種方法比較好.這樣做可以讓學(xué)生在理論指導(dǎo)下解決實(shí)例的同時(shí)進(jìn)行上機(jī)操作輔導(dǎo)解答或是驗(yàn)證結(jié)論，這樣訓(xùn)練有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，同時(shí)有利于學(xué)生將學(xué)習(xí)的知識(shí)應(yīng)用到計(jì)算機(jī)專業(yè)的其他課程中，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).對(duì)于一些需要學(xué)生切身參與的實(shí)例，可以采用課內(nèi)與課外相結(jié)合的方式，教師課內(nèi)布置實(shí)例內(nèi)容，然后學(xué)生課后切身參與解答，以報(bào)告的形式反饋給教師，教師再在課堂內(nèi)總結(jié).總之，在運(yùn)用范例教學(xué)法時(shí)，要根據(jù)具體的教學(xué)實(shí)際內(nèi)容來(lái)選擇適當(dāng)?shù)闹v授方法，但并無(wú)定式，目的是為了能讓學(xué)生更好地從實(shí)例中所反映的知識(shí)中受益，更大程度地提高教學(xué)效率.

3 結(jié)論

離散數(shù)學(xué)作為一門計(jì)算機(jī)科學(xué)的重點(diǎn)基礎(chǔ)理論課程，可以培養(yǎng)學(xué)生的良好的邏輯思維及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰?，能為后續(xù)學(xué)習(xí)其他專業(yè)課打下良好的基礎(chǔ).在教學(xué)中運(yùn)用范例教學(xué)法可以有利于激發(fā)學(xué)生的求知欲望，有利于對(duì)理論知識(shí)的深刻理解，有利于培養(yǎng)學(xué)生的多維思維能力，在教學(xué)中起著非常積極的作用.同時(shí)，在運(yùn)用范例教學(xué)時(shí)要注意內(nèi)容的選擇要適當(dāng)，教師豐富的知識(shí)背景也非常重要，實(shí)例的獲取可參見文獻(xiàn)[5]，同時(shí)引入實(shí)例的時(shí)機(jī)要適時(shí)，教師要注意使用適當(dāng)?shù)闹v授方法，這樣才能更好地提高教學(xué)效率.

參考文獻(xiàn)：

[1]仇利克,趙靜,趙揚(yáng)帆.淺析計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)中“離散數(shù)學(xué)”教學(xué)方法的改進(jìn)[J].計(jì)算機(jī)教育,2009(24).

[2]楊炳儒.離散數(shù)學(xué)[M].北京:人民郵電出版社,2006:297.

[3]屈婉玲,耿素云,張立昴.離散數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2008:40,292.

[4]王禮萍,徐亞蘭.離散數(shù)學(xué)與思維訓(xùn)練[J].科技信息,2008(30).

[5]王俊邦,羅振聲.趣味離散數(shù)學(xué)[M].北京:北京大學(xué)出版社,1998.