矩陣實(shí)C-特征值的計(jì)算

張桂穎，于 濤

(通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 通化 134002)

1 引言

矩陣的C-特征值在許多現(xiàn)代隨機(jī)過程計(jì)算及應(yīng)用二階線性偏微分方程解某些物理問題的計(jì)算中有著重要的應(yīng)用.本文中記λc(A)為A的全體C-特征值集，λ(A)為A的全體特征值集.我們知道若λ∈λc(A)，且λ∈R則對(duì)?θ∈R，eiθλ∈λc(A)[1]，因而我們研究矩陣的C-特征值只需研究λc(A)中的全體非負(fù)實(shí)C-特征值.但是計(jì)算矩陣的實(shí)C-特征值也并非易事，文中將計(jì)算復(fù)矩陣的實(shí)C-特征值問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算實(shí)矩陣的特征值問題.

2 主要結(jié)論

定義1[2]設(shè)A=(aij)∈Cn×n是給定的矩陣，如果對(duì)某λ∈C及x=(xi)∈Cn{0}，使A=λx，則稱λ為A的C-特征值，x為相應(yīng)的C-特征向量.

定理1A∈Cn×n,且λ≥0是給定的,則

λ∈λc(A)?λ∈λ(A).

證明 必要性λ≥0,λ∈λc(A),存在x∈Cn{0},A=λx,從而

Ax=A(λ)=λ(A)=λx

即λ∈λ(A).

充分性λ∈λ(A),存在x∈Cn{0},Ax=λx,

若A與x線性相關(guān),則存在μ∈C使得A=μx,即μ∈λc(A),而

λx=Ax=A(μx)=|μ|2x

說明|μ|=λ,有|μ|=λ∈λc(A).

若A與x線性無關(guān),則取y=A+λx,y必非零,

A=Ax+λA=

λx+λ(A)=λy,λ∈λc(A).

定理2A=Ar+iAi∈Cn×n,Ar,Ai∈Rn×n,λ=λr+iλi∈C{0},λr,λi∈R,則

λ∈λc(A)?1∈λ()

λrAi-λiAr-λrAr-λiAi).

證明 必要性λ∈λc(A),即存在x=u+iv∈Cn{0}，u，v∈Rn，使A=λx,展開可得

{Aru+Aiv=λru-λiv
Aiu-Arv=λiu+λrv

(1)

即

(u
v)=
1λ2r+λ2i(λr(Aru+Aiv)+λi(Aiu-Arv)
λr(Aiu-Arv)+λi(-Aru-Aiv))=
1λ2r+λ2i(λ2ru+λ2iu
λ2rv+λ2iv)=(u
v)

所以有1∈λ().

充分性 1)若λr=0則λi≠0,此時(shí)=1λi(Ai-Ar

-Ar-Ai),設(shè)X+iY∈C2n{0}滿足(X+iY)=X+iY,則X=X,Y=Y,故只須取X∈R2n{0},使X=X,X=(u

v),代入即可推出(1)式,設(shè)x=u+iv則有A=iλix=λx.

2)若λr≠0,且1∈λ(),則X=X,X=(u

v)≠0,將(u

v)=(u

v)左乘(λrI-λiI

0λ2r+λ2iλrI)，可得

(ArAi

Ai-λiλrAr-Ar-λiλrAi)(u

v)=

(λrI-λiI

0λ2r+λ2iλrI)(u

v)，

再左乘(I0

λiλrII)可得

(ArAi
Ai-Ar)(u
v)=(λrI-λiIλiIλrI
λiIλrI)(u
v)

即可推出(1)式,設(shè)x=u+iv則有A=λx.

推論1A=Ar+iAi∈Cn×n,Ar,Ai∈Rn×n,λ=λr+iλi∈C{0},λr,λi∈R,則

0≠λ∈R∩λc(A)?λr∈λ(1),λ∈R

Ai-Ar).

證明 必要性λ∈R∩λc(A),即存在x=u+iv∈Cn{0}，u，v∈Rn，使A=λx,展開可得

{Aru+Aiv=λru
Aiu-Arv=λiu

(2)

v)=λr(u

v)，所以λr∈λ(1).

v)=λr(u

v)，將1代入展開即為(2)式，又λ=λr，故A=λrx=λx.

推論2A=Ar+iAi∈Cn×n,Ar,Ai∈Rn×n,λ=λr+iλi∈C{0},λr,λi∈R,則

0≠λ=iλi∈λc(A)?λi∈λ(2),λ∈C

-Ar-Ai).

證明 仿推論1的證明即可.

由此得到了簡單復(fù)矩陣的實(shí)C-特征值與普通矩陣的特征值的關(guān)系,實(shí)質(zhì)上也是給出了計(jì)算復(fù)矩陣實(shí)C-特征值的方法.

3 舉例應(yīng)用

例1 計(jì)算矩陣A=(1+i-1

i0)的實(shí)C-特征值.

解法1A=(1+i-1

i0)(1-i-1

-i0)=(2+i-1-i

i+1-i),det(λI-A)=(λ-1)2,λ=1(二重),由定理1有1∈λc(A),再由[1]有-1∈λc(A),從而A實(shí)C-特征值為±1.

解法2A=(1-1

00)+i(10

0010

10-11

1000)，det(λI-1)=(λ-1)2(λ+1)2，λ=±1(各二重)，由推論1,A實(shí)C-特征值為±1.

由此例題可以看出方法二比方法一計(jì)算簡便些，而且結(jié)果直接.在解題過程中可以直接應(yīng)用方法二.矩陣的C-特征值與特征值有本質(zhì)區(qū)別,一個(gè)矩陣可能存在C-特征值,還可能根本就不存在C-特征值,將復(fù)矩陣的C-特征值存在的判定及計(jì)算轉(zhuǎn)化為普通矩陣的特征值問題是解決矩陣C-特征值問題的最好辦法.

參考文獻(xiàn)：

[1]楊奇.矩陣分析[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2005.

[2]Roger A.Horn and Charles R.Johnson.Matrix Analysis[M].New York:Cambridge University Press,1985.

[3]Roger A.Horn and Charles R.Johnson.Topic in Matrix Analysis[M].New York:Cambridge University Press,1991.

[4]逄明賢.矩陣譜論[M].長春:吉林大學(xué)出版社,1989.