具非局部源拋物方程組解的整體存在與爆破

王文海， 袁 劍

(1.西安工業(yè)大學數(shù)理系， 陜西 西安 710032； 2.西安音樂學院基礎部， 陜西 西安 710061)

0 前 言

本文研究下列一類具非局部源的退化拋物方程組解的整體存在性與爆破：

(1)

問題(1)可以用來描述化學反應中反應物的反應變化情況，或兩種混合固體燃燒的熱傳導問題,其中u,v分別代表兩種燃料的溫度.近年來,許多學者對拋物方程組中反應項為非局部源的問題進行了大量的研究,參見[1-5].文獻[1]考慮如下齊次Dirichlet問題:

(2)

(3)

的齊次Dirichlet問題,討論了整體解和blow-up解，并給出解的blow-up模式.

另一方面,文獻[5]研究了具有齊次Dirichlet的反應擴散方程組:

ut-Δum=uαvp,vt-Δvn=uqvβ

(4)

且證明了：(i) 當m>α,n>β且pq<(m-α)(n-β)時,問題(4)的所有非負解整體存在;(ii) 如果m<α或n<β或pq>(m-α)(n-β)成立,則問題(4)存在整體解和爆破解.

基于以上工作,我們考慮問題(1)，得到(1)的解的整體存在與爆破的充分條件.

1 預備知識

證明類似于文獻[5]對局部問題的處理,此處從略.

2 解的整體存在

引理2 令φ(x)是下面問題的解:

-Δφ=1,x∈Ω;φ(x)=0,x∈?Ω

(5)

則存在C>0，使得0≤φ(x)≤C.

引理3 函數(shù)φ(x)由(5)定義，假設存在a,b使得對某個δ>0，下面不等式成立：

(6)

則問題(1)的解整體存在.

定理1 如果m>α,n>β且pq<(m-α)(n-β),則問題(1)的所有非負解整體存在.

am-α≥bp·C1,bn-β≥aq·C2

就可以保證(6)式的前兩個式子成立.

3 解的爆破

引理4 設θ>γ>1，k，l>0,h(t)是問題h′(t)=-khγ(t)+lhθ(t),t>0；h(0)=h0>0的解，則當h0充分大時，h(t)在有限時刻爆破.

在[0,t]上積分可得

引理5 如果γ2>γ1>1，θ2>θ1>1，則存在如引理4中的h(t)滿足

h′(t)≤-khγ1(t)+lhγ2(t),h′(t)≤-khθ1(t)+lhθ2(t).

(7)

證明: (i)若γ2>θ2，令h(t)滿足h′(t)=-khθ1(t)+lhθ2(t)，h(0)=h0>0,則(7)式第二個式子成立，要使得(7)式第一個式子成立，只需

-khθ1(t)+lhθ2(t)≤-khγ1(t)+lhγ2(t)

即

k[hγ1(t)-hθ1(t)]≤l[hγ2(t)-hθ2(t)]

由引理4，取h0充分大，上式便成立.

(ii)若γ2=θ2，令λ=max{γ1,θ1}，h(t)滿足h′(t)=-khλ(t)+lhγ2(t),t>0;h(0)=h0>0即可.

(iii)若γ2<θ2，類似(i)可證得.

定理2 如果pq>(m-α)(n-β)，則當初值u0(x)，v0(x)充分大時，問題(1)的解在有限時刻爆破.

證明: 由pq>(m-α)(n-β)，知存在常數(shù)l1,l2>1使得

則有

注意到(α-1)l1+pl2+1>(m-1)l1+1>0,ql1+(β-1)l2+1>(n-1)l2+1>0,由引理5知存在滿足引理4的h(t)使得

h′(t)≤-kh(m-1)l1+1(t)+lh(α-1)l1+pl2+1(t),h′(t)≤-kh(n-1)l2+1(t)+lhql1+(β-1)l2+1(t)

參考文獻

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