并聯(lián)等效電阻和綜合曲率半徑的圖解分析法及其變化關(guān)系

王允地， 王良文

(1.陜西科技大學機電工程學院， 陜西 西安 710021； 2.鄭州輕工業(yè)學院機電工程學院， 河南 鄭州 450002)

0 引 言

在并聯(lián)電阻電路中，等效電阻的倒數(shù)等于兩支路電阻的倒數(shù)之和[1].在計算兩圓柱體的接觸應力時，綜合曲率半徑的倒數(shù)等于兩圓柱半徑的倒數(shù)之和[2-5].由于這些計算不是簡單的迭加關(guān)系，因此尋找兩者之間的直觀聯(lián)系就有一定的意義.

對于已知R1和R2，利用下述公式

(1)

圖1 并聯(lián)電阻或綜合曲率半徑的圖解法

求解R的問題，本文經(jīng)研究給出了一種圖解作法.其思想是：在一條直線上截取兩條連接在一起的線段，使其長度分別等于R1和R2，然后在長度等于R2的線段的頂端作長度亦等于R2的垂線，以該垂線(長度R2)為一邊，以R1與R2的和為另一邊，連接出一個直角三角形.在該三角形上做一個輔助平行線，便能得到長度等于R的線段.

為了反映R與R1和R2之間的變化關(guān)系，本文還給出了R/R2隨R1/R2的變化數(shù)表，并采用研究出的圖解法繪出了兩者之間的變化曲線.

另外，文中還對圓柱體和圓柱孔內(nèi)切接觸情況下的綜合曲率半徑求解問題進行了補充討論.

1 圖解做法

如圖1所示，建立直角坐標系τpn，取O1P等于R1，取PO2等于R2，并取PO2的垂線O2O2′ 等于R2，連接O1O2′交τ軸于P′，則PP′ 的長度即為滿足公式(1)中R、R1和R2關(guān)系的R值.

2 證明

直角三角形O1PP′與直角三角形O1O2O3′相似，因此有

(2)

(3)

圖2 R/R2隨R1/R2的變化線圖

(4)

3 變化線圖及數(shù)表

給定R2，讓R1從小到大變化，則R也隨之變化，其變化線圖如圖2所示，變化數(shù)表如表1所示.

在圖2所示的直角坐標系中，R1/R2為橫坐標，R/R2為縱坐標.在坐標系上，取定F(-1，1)點.根據(jù)給定的R1/R2值，在橫坐標上取對應點，并連F點與該點成直線，該直線與縱坐標軸的交點坐標值即為R/R2值.將一系列的R1/R2與R/R2的對應點相連，便可描出兩者之間的變化線圖.

表1中給出了R/R2隨R1/R2的變化數(shù)表.

表1 R/R2 隨R1/R2的變化數(shù)表

R1/R2322345102050100R/R23523344556101120215051100101

從該曲線及數(shù)表可以看出，當兩個電阻相差很大時，總電阻接近于小電阻，大電阻對總電阻的影響不大；當兩個電阻相等時，總電阻為單個電阻的1/2；在R1/R2接近于零時，變化曲線的斜率接近于1；在R1/R2大于100后，R/R2接近于1，該曲線最終以R/R2=1為漸近線.

以上有關(guān)電阻的規(guī)律，同樣適用于兩圓柱體接觸時綜合曲率半徑的變化規(guī)律.

此外，對于半徑為R1的圓柱體和半徑為R2的圓柱孔內(nèi)切接觸的情況，可在圖2中沿橫軸反向截OG等于R1/R2，連F、G交縱軸于H，則OH的長度即為綜合曲率半徑R與圓柱孔半徑R2的比值R/R2，且能在坐標系中定出以G為橫坐標，而以H為縱坐標的點C.讓R1/R2從零到1變化，點C將在坐標系中繪出一條曲線，其形狀與兩圓柱體在外切接觸情況下兩者的變化線圖關(guān)于坐標系二、四象限的平分線對稱.

4 結(jié)束語

(1)通過作圖，可以直觀的看出R與R1及R2之間的關(guān)系.

(2)當有多個電阻并聯(lián)時，可采用連續(xù)作圖法在圖上畫出總等效電阻的長度.

(3)對于圓柱體和圓柱孔內(nèi)切接觸的情況，當圓柱體的半徑R1從零變到圓柱孔半徑R2時，綜合曲率半徑R從零變化到無窮大.值得注意的是，讓R1/R2從零變到1/2，R/R2平緩地從零變到1；而讓R1/R2從1/2變到1，R/R2則迅速地從1變到無窮大.

參考文獻

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