俞樹堂
(民樂縣第一中學(xué) 甘肅 民樂 734500)
【題目】如圖1所示,把A、B兩小球從圖1中位置同時由靜止釋放(線開始時拉直),則兩小球向左下擺時,下列說法正確的是
A.線OA對A球做正功
B.線AB對B球不做功
C.線AB對A球做負功
D.線AB對B球做正功
解析:很多人錯選B答案,原因是沒有分析A、B運動的實際情況而造成的.如果能大致畫出A、B球的運動軌跡,那么就可以找出線與球的運動方向的夾角,進而可判定做功的情況.由OA線一直處于張緊且O點不動,所以A球做圓周運動,OA線對A球不做功.而B球是否與A球同步下擺而做圓周運動呢?
圖1
參考答案的思路是:設(shè)想A、B兩球分別用兩條細線懸掛而各自擺動,若擺角較小時有擺動周期
圖2
可見擺長越長,擺得越慢,因此A球比B球先到達平衡位置.可見線AB的張力對A球有阻礙運動之作用,而對B球有拉動運動之作用(圖2),所以正確答案為C和D.
筆者認為采用小角度的單擺處理問題,用特殊情形來替代一般情形欠妥.如果從較大角度或水平靜止伸直狀態(tài)自由釋放,在以后運動中懸線與兩物體有無可能保持共線呢?不妨用鐵支架將A、B兩球連接起來,然后進行實驗,如圖3所示,很容易發(fā)現(xiàn)線呈折線,AB線是阻礙了A球的運動,加快了B球的運動.因而,對B球做正功,對A球做負功.
在一般情況下的擺所作的擺動,不是簡諧運動,而是一種非線性振動,由人教版《物理·必修1教學(xué)參考書》相關(guān)內(nèi)容可知這種擺的周期表達式為
圖3
表達式中θ0為擺角,從此表達式可以看出即使在任意擺角下,TB>TA,即A、B下擺時不同步.
圖4
嚴格的證明可采用反證法來進行.令A(yù)、B兩球的質(zhì)量分別為m1、m2,OA及AB的線長分別為l1、l2.設(shè)系統(tǒng)始終能保持直線狀態(tài),那么在轉(zhuǎn)過θ角時系統(tǒng)處于圖4所示的方位.兩線對質(zhì)量為m1的A球施加的作用力只能沿直線方向,A球的切向加速度只能來源于m1g的切向分量,即有
m1gcosθ=m1aτ1
因此
aτ1=gcosθ
同理可知,質(zhì)量為m2的B球的切向加速度為
aτ2=gcosθ
既然兩個小球都在做圓周運動,各自對應(yīng)的角加速度分別為
顯然有
β1≠β2
若系統(tǒng)運動過程中始終保持直線狀態(tài),便要求恒有β1=β2,于是前后矛盾.因此系統(tǒng)在運動過程中,兩線與兩小球不可能始終共線.