巧用“矢量圖”分析物理極值問題

仇長帥

(江蘇教育學(xué)院附屬高級中學(xué) 江蘇 南京 210036)

物理教學(xué)中，經(jīng)常碰到一些極值問題，學(xué)生大都感到十分棘手.物理極值問題，簡單說就是求某物理量在某過程中的極大值或極小值.物理極值問題是中學(xué)物理教學(xué)經(jīng)常遇到的一個重要內(nèi)容，涉及的知識面廣，綜合性強，對學(xué)生數(shù)理結(jié)合、綜合分析能力要求較高.物理極值問題已成為中學(xué)生學(xué)習(xí)物理的一大難點，解決這類問題一般有兩種途徑：一是極值問題的數(shù)學(xué)解法；二是極值問題的物理解法.筆者主要討論后者，就如何巧用“矢量圖”分析物理極值問題進行一些探討.

所謂“矢量圖”，就是矢量的合成與分解示意圖，矢量圖是處理物理問題必備的分析方法之一.矢量運算依據(jù)平行四邊形定則，也可簡化為三角形法則.平行四邊形定則是一切矢量運算的普遍法則，在矢量合成與分解的問題中，尤其是一些動態(tài)變化的問題，應(yīng)用平行四邊形定則或三角形法則進行分析求解就顯得很方便.

【解析】

方法一：函數(shù)法求解

設(shè)所加的外力F與水平方向的夾角為α，受力如圖1(a).則

Fcosα-μ(mg-Fsinα)=0

即

而

則

當(dāng)α=30°時，F(xiàn)最小，最小值為

方法二：矢量圖求解

物體相對地面滑動時，受到如圖1(a)所示的4個力.并且f=μN，故

設(shè)f與N的合力為F1，如圖1(b)所示，則不論支持力N如何變化，摩擦力f與支持力N的比值μ不變， 故圖中θ不變，即

則

θ=30°

本題物體的受力可做如下等效變化：重力mg、支持力與摩擦力的合力F1、拉力F，如圖1(c)所示.由于F1與F的合力F2總與mg等大反向且F1的方向不變，由矢量三角形知識可得，只有當(dāng)F與F1垂直時，F(xiàn)才最小.

圖1

故

且F與水平方向夾角為30°.

總結(jié)：本題兩種求解方法均可采用，但是用矢量圖求解時，求解力F最小值所對應(yīng)的物理意義明顯，這一點從函數(shù)方法很難看出來.

【例2】如圖2所示，A船從港口P出發(fā)，攔截正以速度v0沿直線航行的船B.P與B所在的航線的垂直距離為a，A船啟航時，B與P的距離為b， 且b>a.如略去A船啟動時的加速過程，認為它一啟航就做勻速運動，求A船能攔到B船所需的最小速度vmin.

圖2

【解析】

方法一：設(shè)A船的速度為v，運動方向與PO的夾角為α，由兩船運動的時間相等并結(jié)合圖3中幾何關(guān)系可得

圖3

顯然，當(dāng)α+β=90°時，A船的速率最小，最小值為

結(jié)合圖3得，A船的運動方向應(yīng)與A、B兩船開始時位置的連線垂直.

方法二：設(shè)A船的速度為v，運動方向與A、B連線的夾角為α，如圖4所示，由兩船運動的時間相等并結(jié)合正弦定理得

圖4

由于∠ABC及v0為定值，只有當(dāng)α=90°時，A船的速率最小，此時，最小值為

方法三：以B船為參照系，欲使A船能攔截到B船，A船應(yīng)正對B船運動，即A船相對于B船的速度方向v合應(yīng)由A指向B.而

v合=vA對B=vA對地+v地對B

由于大地相對于B的速度為v0，方向與B船相對于地面的速度方向相反，設(shè)A船相對于B船的速度為v合，大地對B的速度為v0，A對地的速度為v，滿足

v合=v+v0

圖5

由圖5可看出，只有當(dāng)v與v合方向垂直時，v才最小.由

得

最小速度

即運動方向應(yīng)與A、B兩船開始時位置的連線垂直.

總結(jié)：本題前兩種方法側(cè)重數(shù)學(xué)處理，最后一種方法側(cè)重物理分析.我們不難發(fā)現(xiàn)處理相對運動等復(fù)雜運動時，涉及速度、位移或加速度等矢量運算時，若用矢量圖求解常會收到意想不到的效果.

【例3】如圖6，從h高處斜向上拋出一初速度大小為v0的物體，試討論拋出角θ為多大時，物體落地的水平位移x最大.

【解析】

方法一：將物體的初速度v0分解，則

(1)

圖6

由運動的合成與分解知識，有

(2)

聯(lián)立兩式，消去角度θ可知

該方程有解，故Δ≥0，解得

即

方法二：物體做拋體運動時，設(shè)下落h高度后落地末速度為v，則

所以

又因為物體只受重力作用，故在下落h高度的時間t內(nèi)，速度增量Δv方向始終豎直向下，大小為

Δv=gt

則v0、v與Δv構(gòu)成如圖7所示矢量三角形關(guān)系.(圖中θ角、α角分別是初速度、落地速度與水平方向的夾角)

圖7

注意到矢量三角形的面積

而拋體飛行的水平位移

x=v0tcosθ

則有

(3)

所以，當(dāng)矢量三角形面積S△最大時，水平位移x出現(xiàn)最大值.

又由于

(4)

而v0、v大小確定，則當(dāng)(θ+α)=90°，S△有最大值.

此時

即

聯(lián)立(3)、(4)可知

故

即物體飛行的水平位移最大值.

總結(jié)：本題所述兩種方法都涉及矢量圖分析，但方法一側(cè)重數(shù)學(xué)處理，方法二則抓住速度矢量變化的特點，故實際運算過程比方法一要簡單得多.本題的求解再次說明做物理題目要注意到物理過程分析、物理意義分析，不能把物理題簡單當(dāng)作數(shù)學(xué)題求解.

從上面的幾個例題中可看出，和其他物理問題比較，極值問題對數(shù)學(xué)工具的應(yīng)用較多，這對培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力會有幫助.但這并不應(yīng)該成為物理教學(xué)的重點，因為數(shù)學(xué)要作為研究物理的工具.在中學(xué)物理教學(xué)活動中，既要突出強調(diào)物理基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)，又要抓好物理過程的分析、推理、判斷，抓好物理模型和物理情景的建立，使學(xué)生掌握解決問題的正確思路和技巧，這對解決極值問題，乃至對提高中學(xué)物理的教學(xué)質(zhì)量會有極大好處.

總之，中學(xué)物理中的極值問題涉及的知識面廣，類型多而且復(fù)雜，處理方法多樣，對于同一問題可采取多種不同方法來解答.本文只是巧用“矢量圖”對運動學(xué)和動力學(xué)涉及到的極值問題、解題方法作一些簡單的介紹.好的物理方法不僅能起到提高解題速度與準(zhǔn)確率的良好效果，同時可以培養(yǎng)學(xué)生自主探究的習(xí)慣和能力，它是連接知識和能力的紐帶，是學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)的前提.