對(duì)流擴(kuò)散方程的非標(biāo)準(zhǔn)無(wú)網(wǎng)格局部Petrov-Galerkin法

代 鴻,李茂軍

(1.重慶大學(xué)城市科技學(xué)院基礎(chǔ)部,重慶402167;2.重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,重慶400044)

對(duì)流擴(kuò)散方程[1,2]在流體力學(xué)、氣體動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.通常,當(dāng)對(duì)流項(xiàng)占優(yōu)時(shí),用傳統(tǒng)的Galerkin有限元法或有限體積法求解會(huì)出現(xiàn)數(shù)值偽震蕩.近年來(lái),許多研究工作者已經(jīng)提出了多種方法來(lái)避免數(shù)值震蕩現(xiàn)象,例如 Streamline Upwind Petrov-Galerkin Method(SUPG),Galerkin Least Squares Method(GL S),Streamline and approximate upwind/Petrov-Galerkin method,Constant gradient有限體積法等[3-7].

SU PG法和GLS法在Galerkin有限元變分公式中增加了穩(wěn)定項(xiàng),當(dāng)問(wèn)題的精確解光滑時(shí),數(shù)值解精度高,穩(wěn)定性好[3-5].然而當(dāng)精確解具有邊界層效應(yīng)時(shí),數(shù)值偽震蕩仍然存在.因而構(gòu)造一種既能消除數(shù)值偽震蕩又能在問(wèn)題的精確解光滑時(shí)保持 SU PG和 GLS的數(shù)值精度的方法具有很大的挑戰(zhàn)性.E-.G.D.doCarmo等人在SU PG法的基礎(chǔ)上,提出了SAU PG方法,解決了上面的困難,然而這種方法是一種非線(xiàn)性方法.孫小華等[8]應(yīng)用無(wú)單元Gale rkin方法成功求解對(duì)流占優(yōu)對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題,而且該方法是一種無(wú)需網(wǎng)格的線(xiàn)性方法.

無(wú)網(wǎng)格局部 Petrov-Galerkin方法 (ML PG)[9-11]采用基于點(diǎn)的近似,對(duì)未知函數(shù)采用移動(dòng)最小二乘近似,積分時(shí)不需要背景網(wǎng)格,只須在規(guī)則的子區(qū)域上進(jìn)行,因而處理方便,是一種真正的無(wú)網(wǎng)格法,且算法簡(jiǎn)單,易于程序?qū)崿F(xiàn).本文將SUPG法和GLS法的穩(wěn)定化思想引入ML PG法,構(gòu)造了非標(biāo)準(zhǔn) ML PG法,并應(yīng)用于定常對(duì)流擴(kuò)散方程.數(shù)值算例表明該方法既保持了SU PG法和GLS法的數(shù)值精度,又消除了數(shù)值偽震蕩,同時(shí)該方法也是一種線(xiàn)性方法.

1 基本公式

考慮如下的定常對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題:

其中a(x)為對(duì)流速度,k為擴(kuò)散系數(shù)且k＞0,f為源項(xiàng),Ω為Rd(d=1,2,3)中的有界區(qū)域,n為單位外法線(xiàn)向量,Γ=Γu+Γq為區(qū)域Ω的邊界.

根據(jù)無(wú)網(wǎng)格局部 Petrov-Galerkin法[9],在任意的局部子域Ωs?Ω上建立積分弱形式,并采用罰因子法施加本質(zhì)邊界條件得:

其中s=1,2,…,N,N為局部子域個(gè)數(shù),Γus=Γu∩?Ωs,α是一個(gè)罰因子,以施加本質(zhì)邊界條件.v是具有局部緊支性的權(quán)函數(shù),本文取三次樣條函數(shù):

聯(lián)合 (3),(4)式得:

當(dāng)對(duì)流項(xiàng)占優(yōu)時(shí),直接求解 (9)式會(huì)出現(xiàn)數(shù)值偽震蕩,這一點(diǎn)可從后面的數(shù)值算例看出.為了獲得穩(wěn)定的數(shù)值解,本文基于 A.N.Brooks,T.J.R.Hughes等人提出的SU PG,GLS穩(wěn)定化方法,分別在(9)式兩端加入穩(wěn)定項(xiàng)得:

本文將上述兩種穩(wěn)定化方法分別記為 MSU PG法和MGLS法,并統(tǒng)稱(chēng)為非標(biāo)準(zhǔn)無(wú)網(wǎng)格局部 Petrov-Galerkin法.

2 數(shù)值算例

為檢驗(yàn)算法的有效性,我們考慮如下問(wèn)題:

其中Ω=(0,1)×(0,1),a=(1,0),分別取 k=0.1,0.05,0.01,在上述假設(shè)下,問(wèn)題有解析解:u(x1,x2)

該算例對(duì) Peclet數(shù) (Pe=|a|k)非常敏感,常用來(lái)檢驗(yàn)各種算法的優(yōu)劣.為求解 (9), (10),(11)式,我們?cè)趨^(qū)域Ω上布置121(11×11)個(gè)規(guī)則節(jié)點(diǎn),對(duì)未知函數(shù) u采用移動(dòng)最小二乘近似 [9,10].圖1,圖2,圖3分別顯示了三種方法 (ML PG法,MSU PG法,MGLS法)沿x2=0.5時(shí)的計(jì)算結(jié)果與精確解.從圖中可以看出當(dāng) Peclet數(shù)較小時(shí),三種方法都可以得到很好的結(jié)果,當(dāng) Peclet數(shù)較大時(shí),ML PG法出現(xiàn)數(shù)值偽震蕩,而MSU PG法與MGLS法仍然可以得到比較精確的結(jié)果,這說(shuō)明了本文方法的有效性.

3 結(jié) 論

本文分別將SU PG法和GLS法的穩(wěn)定化思想引入無(wú)網(wǎng)格局部Petrov-Galerkin法,構(gòu)造了兩種非標(biāo)準(zhǔn)無(wú)網(wǎng)格局部 Petrov-Galerkin法 (即MSU PG法,MGLS法),并應(yīng)用于定常對(duì)流擴(kuò)散方程.數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:MSU PG法與MGLS法采用基于點(diǎn)的近似,不需要背景網(wǎng)格,前后處理方便,且算法簡(jiǎn)單,易于程序?qū)崿F(xiàn);由于未知函數(shù)采用移動(dòng)最小二乘近似,因而具有高階連續(xù)函數(shù)性質(zhì),在計(jì)算時(shí)穩(wěn)定項(xiàng)中的二階導(dǎo)數(shù)不會(huì)消失,從而保證了數(shù)值穩(wěn)定性和計(jì)算精度;當(dāng)對(duì)流項(xiàng)不占優(yōu)時(shí),三種方法均可以得到很好的結(jié)果,當(dāng)對(duì)流項(xiàng)占優(yōu)時(shí),由于ML PG法沒(méi)有對(duì)二階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行控制,因而出現(xiàn)了數(shù)值偽震蕩,MSU PG法與MGLS法在ML PG法的基礎(chǔ)上增加了不同的穩(wěn)定項(xiàng),均對(duì)二階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行了控制,因而消除了數(shù)值偽震蕩.

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