一道高考題的另類思考

馬麗貞,顧先明

(唐山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系,河北唐山06300)

數(shù)列的遞推問題常涉及到很多重要的數(shù)學(xué)思維方法,如函數(shù)思想、歸納推理等眾多思想.尤其對培養(yǎng)學(xué)生良好的思維推理能力和動手能力等方面具有重要意義,因而倍受高考命題者的青睞.此外,在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中都強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)要學(xué)以致用,開發(fā)學(xué)生的思維能力,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和能力.至于對數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用也被數(shù)學(xué)教師所重視.但是,教師在數(shù)列知識的教學(xué)中往往忽視數(shù)列遞推問題的一種基本應(yīng)用——近似計算.

下面從一道02年北京高考試題第19題來開始說起:

題目:設(shè) a＞0,x0＞0.數(shù)列 {xn}由以下遞推關(guān)系定義:

此后文獻(xiàn) [1-4]都對其做了分析研究,但研究大多局限于對原題證法的改進(jìn)或命題思路的分析.但是筆者研究發(fā)現(xiàn),該題實(shí)際上還給出了一種快速近似計算任意數(shù)的平方根的方法.同時也不禁為命題者的良苦用心感到欽佩.這里要先引用一些引理:

引理1[5]單調(diào)遞減的數(shù)列 {xn}收斂 (即=A (常數(shù)))的充要條件是它有下界.

引理2[6]如果數(shù)列 {xn}從某項(xiàng)起有 xn≥0且=a, 那么 a≥0.

引理3[7]設(shè)對于數(shù)列 {xn}若有常數(shù) q,且0＜q＜1.使對?n∈N＊則有=A (常數(shù)) 存在.

另外,筆者在研究該題還發(fā)現(xiàn)采用初等數(shù)學(xué)的有關(guān)知識可有如下妙解:

通過上面的結(jié)論,可以發(fā)現(xiàn)根據(jù)上述結(jié)論給出了一種快速計算平方根的遞推方法.下面來舉例說明.

例如:取 x0=2,a=2來用上述原理來遞推求出 2的值.(注: 2=1.41421356310…)那么

這已是相當(dāng)精確的近似值.

同樣的方法,可以取適當(dāng)?shù)?x0,就可遞推的求出任意的下面對其產(chǎn)生的計算誤差做出估計:

由此可以看出每迭近一次,有效位數(shù)幾乎增加一倍.(這在計算 2時也得到體現(xiàn))關(guān)于上題的方法,有如下推論:

推論4 對于給定數(shù)列 {xn}如下:x0＞0,xn+1=,n=0,1,2,…,其中 a為一給定的正數(shù),k為任意給定的一個自然數(shù),那么數(shù)列 {xn}收斂,且

顯然設(shè)εn=為第n次誤差,則在 n充分大時有:每迭代一次,有效位數(shù)幾乎增加一倍.但可能精確不如前面所述的幾個遞推關(guān)系.命題6還有一個推論如下:

也可以按照命題6的方法對其進(jìn)行相應(yīng)的誤差分析,確定精確程度,這里不再贅述。

通過對上述問題的探討,發(fā)現(xiàn)大量的近似計算方法都是用遞推迭代方式來實(shí)現(xiàn)。在以后的教學(xué)中注意在數(shù)學(xué)應(yīng)用方面加大對用遞推關(guān)系來進(jìn)行近似,尤其對一些無理數(shù)的遞推近似計算,有助于提高學(xué)生的創(chuàng)造力和動手的能力。這對數(shù)學(xué)效果甚是有益.

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