關(guān)于Lp-矩體的Jensen型不等式

李 妮，朱保成

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，重慶 400047)

1 基本定義

h(K,x)=max{x·y∶y∈K},x∈Rn,

其中x·y是Rn中通常的內(nèi)積.

在Rn中，一個(gè)緊的星形(包含原點(diǎn))的徑向函數(shù)，ρκ=ρ(K，·):定義為:

ρ(K,x)=max{λ≥0∶λx∈K},x∈Rn(〗0}

在Rn中，凸體K的極體[1～3]，定義為K*={x∶x·y≤1,y∈K}對(duì)于凸體K的極體有如下的性質(zhì)，

(1)

假設(shè)p≠0,μ是一個(gè)集合X上的有限Borel測(cè)度，f是集x上的非負(fù)片μ-可積函數(shù)，則f的p次平均Mpf定義為:

和

關(guān)于f的p次平均Mpf，有如下著名的Jensen不等式[9]:如果p≤q且Mpf存在，則:

Mpf≤Mqf,

(2)

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)f是一個(gè)常數(shù)或p=q.

2 主要結(jié)果

Haberl和Schuster在文獻(xiàn)[8]中定義了非對(duì)稱情形的Lp-矩ΨpL如下:如果L為Rn中關(guān)于原點(diǎn)的星體，將非對(duì)稱情形的Lp-矩體ΨpL的支撐函數(shù)定義為?u∈Sn-1,

(3)

其中u·x是Rn中標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)積,cn,p為：

(4)

這里的cn,p的選取，是為了將ΨpL標(biāo)準(zhǔn)化，即對(duì)Rn中的標(biāo)準(zhǔn)單位球B，有ΨpB=B.因?yàn)樵谖墨I(xiàn)[6,8]中的不等式對(duì)于p=1時(shí)仍然進(jìn)行了標(biāo)準(zhǔn)化討論，并且Lp-矩體與Lp-質(zhì)心體一致的可標(biāo)準(zhǔn)化，所以將討論對(duì)于p≥1時(shí)的Lp-矩體.根據(jù)非對(duì)稱情形Lp-矩體ΨpL的定義，很容易驗(yàn)證式(3)有邊的表達(dá)式是一個(gè)連續(xù)的次線性函數(shù)，因此它可以作為一個(gè)凸體的支撐函數(shù)，所以非對(duì)稱情形的Lp-矩體ΨpL是凸體.

根據(jù)非對(duì)稱情形的Lp-矩體ΨpL獲得了關(guān)于ΨpL的Jensen不等式.

(5)

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)p=q.

證明當(dāng)1≤p≤q<∞時(shí)，利用式(3)和Jensen不等式(1.2)，知道:?u∈Sn-1，有：

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)p=q.證畢.

同時(shí)，Haberl和Schuster在文獻(xiàn)[8]中還定義了對(duì)稱的Lp-矩體MpL如下，如果L為Rn申關(guān)于原點(diǎn)的星體，將Lp-矩體嶼L定義為:

(6)

其中u·x是Rn中標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)積，這里cn,p的選取同式(4)，是為了將MpL標(biāo)準(zhǔn)化，即對(duì)Rn申的標(biāo)準(zhǔn)單位球B,有MpB=B.根據(jù)定義，很容易知道Lp-矩體MpL是凸體.

本文根據(jù)對(duì)稱的Lp-矩體MpL的極體還獲得了關(guān)于它的Jensen不等式.

(7)

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)p=q.

證明當(dāng)1≤p≤q>∞時(shí)，利用式(6)和Jensen不等式(1.2)，知道:?u∈Sn-1,有：

在上述不等式中，由于|u·x|(u∈Sn-1,x∈K)不可能為常數(shù)，于是根據(jù)Jensen不等式(1.2)取等號(hào)成立的條件知，上述不等式取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)p=q.由此得：

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)p=q.證畢.

[1]Gardner R J.Geometric Tomography[M].Cambridge:Cambridge University Press,1995.

[2]Gardner R J.Geometric Tomography(2ed)[M].Cambridge:Cambridge University Press,2006.

[3]Schneider R.Convex Bodies:The Brunn-Minkowski theory[M].Cambridge:Cambridge University Press,1993.

[4]Lutwak E.The Brunn-Minkowski-Firey I: mixed volumes and the Minkowski problem[J].J Differential Geom,1993，38:131-150.

[5]Lutwak E.The Brunn-Minkowski-Firey II: Affine and Geominimal Surface Areas[J].Adv Math,1996，118:244-294.

[6]Lutwak E,Yang D,Zhang G.Lp affine isoperimetric inequalities[J].J Differential Geom,2000,56(1):111-132.

[7]Burago Y D,Zalgaller V A.Germetric Inequalities[M].New York:Springer,1988.

[8]Haberl C,Schuster F E.Schuster.GeneralLp-affne isoperimetric inequalities[EB/OL].1983[2008-09-11]arXiv:Math.DG/0809.

[9]Hardy G H,Littlewood J E,Pólya G.Inequalities[M].Cambridge:Cambridge University Press,1959.

[10]W J. Firey p-means of convex bodies[J].Math Scand,1962，10:17-24.