一類地下水問題的高次有限體積元方法

郭雙冰,尹文雙

(1.仰恩大學(xué) 數(shù)學(xué)系，福建 泉州 362014；2.湖北民族學(xué)院 理學(xué)院，湖北 恩施 445000)

地下水[1]由于其在人們生活和工業(yè)上的重要地位，正日益成為研究的熱點問題[2,3].本文考慮如下的地下水一維模型[4]：

(1)

(2)

(3)

(4)

其中I=[a,b]有光滑邊界的有界區(qū)域.J=(0,T].D>d>0為擴散系數(shù)，ρ>0為固體密度，它們都是常數(shù).

(5)

(6)

(7)

全文使用文獻[5]中記號，為了得到最佳誤差估計，作如下正則性假定：

式(1)～(7)有唯一解si,ci,i=1,2且si,ci∈H4(I),

(8)

(9)

求解方程(1)～(4)的有限體積元格式為求s1,h,s2,h,c1,h,c2,h∈Uh使得：

?vh∈Vh

(10)

(11)

(12)

(13)

由式(8)～(11)，有下列誤差方程：

(14)

(15)

誤差估計前，假設(shè)時空剖分步長滿足限制條件：Δt=ο(h4)，引入歸納假設(shè)：

(16)

(17)

綜合上述式子得到：

(18)

選擇適當(dāng)小的ε，將n從0到N-1求和，并將式子兩端同乘以2Δt得到：

(19)

對ξ1,c,ξ2,s,ξ2,c用上述方法估計，則有：

(20)

(21)

(22)

(23)

表1 T=1時,三次有限體積元方法與差分法的絕對誤差與相對誤差

類似的，也有:

故假設(shè)(16)，(17)成立.這樣由橢圓形問題Galerkin方法的結(jié)果[7,8]及式(23)，有以下定理：

(24)

接下來，將用數(shù)值算例來證明格式(10)和(11)的有效性.考慮如下問題：

(25)

(26)

(27)

從表1中可以看出，當(dāng)時間步長與空間步長滿足合適比例時，CFVEM對,達到了理論分析上的精度.同時還可以看出CFVEM得到的數(shù)值結(jié)果的誤差精度明顯要好于FDM，說明了高次有限體積元格式的有效性.由此可見，數(shù)值實驗?zāi)苤С治覀兊睦碚?

致謝：對張志躍老師的悉心指導(dǎo)表示感謝！

[1]朱學(xué)愚.地下水水文學(xué)——中國現(xiàn)代科學(xué)全書·水文學(xué)[M].北京：中國環(huán)境科學(xué)出版社，2005.

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