帶違約風(fēng)險(xiǎn)及轉(zhuǎn)股價(jià)向下修正的可轉(zhuǎn)債分析

陳 稹

(浙江工商大學(xué),浙江杭州 310018)

帶違約風(fēng)險(xiǎn)及轉(zhuǎn)股價(jià)向下修正的可轉(zhuǎn)債分析

陳 稹

(浙江工商大學(xué),浙江杭州 310018)

基于轉(zhuǎn)股價(jià)可向下修正的可轉(zhuǎn)換債券的偏微分方程,結(jié)合違約時(shí)間的概率密度函數(shù),得出帶違約風(fēng)險(xiǎn)及轉(zhuǎn)股價(jià)可向下修正的可轉(zhuǎn)換債券模型;把連續(xù)時(shí)間離散化,最后實(shí)證分析得出違約風(fēng)險(xiǎn)條款弱化可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值,而可向下修正條款趨于增加可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值。

期權(quán)定價(jià)模型;二叉樹方法;可轉(zhuǎn)換債券;風(fēng)險(xiǎn)中性

一、引言

可轉(zhuǎn)換債券是一種附有轉(zhuǎn)股權(quán)的特殊債券,在轉(zhuǎn)股之前是一種公司債券,具備債券的一切特征;在轉(zhuǎn)股之后,具有股票的特性,持有人由債權(quán)人轉(zhuǎn)變成了股權(quán)所有者。由于可轉(zhuǎn)換債券的利率低于普通債券的利率,發(fā)行公司通過可轉(zhuǎn)換債券融資可以減低其成本;同時(shí)又因其利息支付優(yōu)先于派發(fā)紅利的特點(diǎn),投資可轉(zhuǎn)換債券將比股票更有保障。近年來,隨著我國金融市場的進(jìn)一步完善和開放,大量的國際資本開始涌入我國證券市場,各種投資基金紛紛登陸中國這一新興資本市場,新的投資理論開始沖擊原有的一些投資策略。可轉(zhuǎn)換債券以其獨(dú)特的特點(diǎn)受到了證券市場方方面面的青睞,尤其在外資基金中,花旗集團(tuán)、瑞銀華寶、摩根士丹利等合格境外機(jī)構(gòu)投資者都持有大量的可轉(zhuǎn)換債券。上市公司為了滿足經(jīng)濟(jì)高速發(fā)展的需要和擴(kuò)大規(guī)模的欲望,也紛紛發(fā)行可轉(zhuǎn)換債券來融資。

前人對可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)的研究大致可以分為兩大類:基于公司價(jià)值的定價(jià)模型和基于權(quán)益價(jià)值的定價(jià)模型。

基于公司價(jià)值的可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià)模型最早見于 Ingersoll(1977)[1]、Brennan和 Schwartz(1977)[2],他們假設(shè)公司價(jià)值服從幾何 Brown運(yùn)動(dòng),可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值依賴于公司價(jià)值

這一標(biāo)的變量,運(yùn)用Black—Scholes的期權(quán)定價(jià)方法導(dǎo)出了可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值。但是該模型假設(shè)利率為常數(shù),但可轉(zhuǎn)換債券的期限一般都很長,假設(shè)利率為常數(shù)就顯得不盡合理。后來 Brennan和Schwartz(1980)[3]考慮了利率的波動(dòng),認(rèn)為可轉(zhuǎn)換債券受公司價(jià)值和市場利率波動(dòng)因素的影響,導(dǎo)出了可轉(zhuǎn)換債券所滿足的偏微分方程,利用數(shù)值方法給出了模型的解。Nyborg(1996)[4]在 Brennan等人的模型基礎(chǔ)上考慮了回售條款和浮動(dòng)利息對可轉(zhuǎn)換債券價(jià)值的影響。但是由于公司價(jià)值的相關(guān)數(shù)據(jù)在實(shí)際中很難獲得,因而減弱了其研究價(jià)值。

基于權(quán)益價(jià)值的可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià)模型首先由Mc Connel和 Schwartz(1986)[5]建立,模型假設(shè)公司的股票價(jià)格服從波動(dòng)率為常數(shù)的幾何 Brown運(yùn)動(dòng),用Black—Scholes的期權(quán)定價(jià)理論導(dǎo)出了可轉(zhuǎn)換債券滿足的偏微分方程,求出了其理論價(jià)值,但模型沒有考慮公司的違約風(fēng)險(xiǎn)對可轉(zhuǎn)換債券價(jià)值的影響。后來 Goldman Sachs(1994)[6]將違約風(fēng)險(xiǎn)因素考慮進(jìn)了可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià)模型中,并假設(shè)利率、股票波動(dòng)率和違約風(fēng)險(xiǎn)率都是已知的常數(shù),可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值只依賴于公司股票的不確定性,導(dǎo)出了可轉(zhuǎn)換債券滿足的偏微分方程。Tsiveritotis和 Fernandes (1998)[7]進(jìn)一步將股價(jià)的單因素定價(jià)模型進(jìn)行完善,把可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值分解為現(xiàn)金部分和權(quán)益部分,其中現(xiàn)金部分采用風(fēng)險(xiǎn)折現(xiàn)率折現(xiàn),權(quán)益部分采用無風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)。

雖然 Goldman Sachs也研究過考慮違約風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)換債券,但是本文將可轉(zhuǎn)換債券隱含期權(quán)視為一種奇異期權(quán),而不是歐式期權(quán)。本文基于轉(zhuǎn)股價(jià)可向下修正的可轉(zhuǎn)換債券的偏微分方程,結(jié)合違約時(shí)間的概率密度函數(shù)得出帶違約風(fēng)險(xiǎn)及轉(zhuǎn)股價(jià)可向下修正的可轉(zhuǎn)換債券模型;把連續(xù)時(shí)間離散化,最后實(shí)證分析各個(gè)條款對可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值影響。

二、模型建立

在建立模型之前先做一些基本假設(shè):

①股票價(jià)格 St服從幾何 Brown運(yùn)動(dòng) dSt=rStdt +σStdWt,其中 dWt為 W iener過程,r為無風(fēng)險(xiǎn)利率,σ為瞬時(shí)波動(dòng)率。

②若可轉(zhuǎn)換債券到期前ω天的最高價(jià) J低于αS0,轉(zhuǎn)股價(jià)向下修正為βS0(0<α,β<1)為常數(shù)。其中 S0為初始轉(zhuǎn)股價(jià),可轉(zhuǎn)換債券的票面利率為r0。

③市場是完備的且不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。

X表示可轉(zhuǎn)換債券在 T時(shí)的轉(zhuǎn)股價(jià),由假設(shè)②知:

在到期 T時(shí)刻,轉(zhuǎn)股的最優(yōu)策略是最大化轉(zhuǎn)成股票后的價(jià)值與繼續(xù)持有債券的價(jià)值,得到:

由 Ito引理和Δ-對沖原理得到可轉(zhuǎn)換債券價(jià)值V=V(S,J,t)適合以下偏微分方程:

由于式(3)模型中最大股價(jià) J不是 t的可微函數(shù),對 J進(jìn)行逼近。

令

在風(fēng)險(xiǎn)中性情況下,發(fā)行日可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)格:

假定違約時(shí)間概率密度函數(shù)為 q(τ),τ為違約時(shí)間。如在期權(quán)生存期發(fā)行商沒有發(fā)生違約即τ> T,可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)格為 V=V(S,J,t),如果在期權(quán)生存期發(fā)生了違約即 T-ω≤τ≤T,期權(quán)被迫自動(dòng)終止,可轉(zhuǎn)換債券的持有人只能向發(fā)行商索賠金額 1 +r0T。可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值就是依賴于違約時(shí)間的合約價(jià)格的數(shù)學(xué)期望。有

三、各條款對可轉(zhuǎn)換債券價(jià)值的實(shí)證分析

為了評估各條款對可轉(zhuǎn)換債券價(jià)值的影響,本文把連續(xù)時(shí)間離散化,建立以上模型相適應(yīng)的二叉樹模型。對模型的參數(shù)設(shè)置如下:無風(fēng)險(xiǎn)利率為 r= 2%,可轉(zhuǎn)換債券掛鉤的標(biāo)的股票的價(jià)格為 S=6.86;波動(dòng)率為σ=0.4;可轉(zhuǎn)債券的票面利率 r0=1.5%,面值為 100,到期期限為 2年,轉(zhuǎn)股價(jià)的參考標(biāo)準(zhǔn)為債券到期前的半年如股價(jià)的最高價(jià)低于初始轉(zhuǎn)股價(jià)(X=10)的 90%時(shí),轉(zhuǎn)股價(jià)向下修正 80%,且只能在到期實(shí)施轉(zhuǎn)股;假定違約時(shí)間密度函數(shù)服從λ=0.5的指數(shù)分布。利用SAS軟件編程得到發(fā)行時(shí)的價(jià)值,結(jié)果如表 1所示。

表1 不同條款合約的可轉(zhuǎn)換債券價(jià)值

由表 1可知,向下修正條款趨向于增加可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值,而違約風(fēng)險(xiǎn)條款弱化可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值;帶違約風(fēng)險(xiǎn)及轉(zhuǎn)股價(jià)可向下修正的可轉(zhuǎn)換債券價(jià)值落于轉(zhuǎn)股價(jià)可向下修正可轉(zhuǎn)換債券價(jià)與帶違約風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)換債券價(jià)值之間;由于二叉樹的極限收斂于模型 (4),因此隨著二叉樹模型期數(shù)不斷增多,表中各列的價(jià)值都趨于收斂。

四、結(jié)束語

精確的評價(jià)風(fēng)險(xiǎn)投資項(xiàng)目的價(jià)值在風(fēng)險(xiǎn)投資項(xiàng)目研究中,特別是在金融大風(fēng)暴、投資熱情極度缺乏、企業(yè)融資困難的前提下具有非常重要的意義。本文通過將連續(xù)的時(shí)間離散化,在合理的假定下,得到了可轉(zhuǎn)換債券的二叉樹定價(jià)模型的數(shù)值解,并通過 SAS編程分析出了兩種條款對可轉(zhuǎn)換債券價(jià)值的影響,進(jìn)而為投資者的投資決策建立了數(shù)理分析基礎(chǔ)。同樣的分析也適用于其他金融衍生產(chǎn)品的定價(jià)。

[1]J.Ingersoll. A Contingent-claim’s Valuation of Convertible Securities[J].1997,(4):289-322.

[2]Brennan M.J.and Schwartz E.Convertible Bonds: Valuation and Optimal Strategies for Call and Conversion[J]. 1977:1699-1715.

[3]BrennanM.J.and Schwartz E.Analyzing Convertible Bonds[J].1980,(2):907-929.

[4]Nyborg K.The Use and Pricing of Convertible Bonds. Applied[J].1996,(3):167-190.

[5]Mc Connell J J and Schwartz E S.LYON Taming[J]. 1986,(4):561-576.

[6] Goldman Sachs.ValuingConvertibleBondsas Derivatives[A].11.1994.1-30.

[7]Tsiveriotis K.and Fernandes C.Valuing Convertible Bondswith Credit Risk[J].1998,(8):95-102.

[8]Merton R.On the pricing of corporate debt:the risk structure of interest rates[M].1995.6-12.

[9]Black F.and J.C.Cox,Valuing corporate securities. Some effects of bond indenture provisions[J].1976,31:351-367.

[10]姜禮尚.金融衍生產(chǎn)品定價(jià)的數(shù)學(xué)模型與案例分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社.2003.212-222.

F830

A

1008-2670(2010)05-0028-02

2010-09-08

本文系浙江工商大學(xué)研究生科研基金項(xiàng)目(1020XJ1509118)。

陳稹,男,江西吉安人,浙江工商大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院碩士研究生,研究方向:金融工程。

(責(zé)任編輯:時(shí)明芝)