2010年江蘇高考數學模擬試卷(5)

參考公式:

樣本數據x1，x2，…xn的方差s2=1nΣni=1(x1-x)2，其中x=1nΣni=1x1

一、填空題:本大題共14小題，每小題5分，共70分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在相應位置上.

1.已知集合M={-1，1}，N=x12<2x+1<4，x∈Z，則M∩N=.

2.數列{an}中，a1=2i，(1+i)an+1=(1-i)an(n∈N*，i為虛數單位)，則a10的值為.

3.若命題“x∈R，x2+(a-1)x+1<0”是假命題，則實數a的取值范圍是.

4.已知點P是拋物線y2=4x上的動點，點P在y軸上的射影是M，點A的坐標是(4，a)，則當|a|>4時，|PA|+|PM|的最小值是.

5.已知向量a=(2，4)，b=(1，1).若向量b⊥(a+λb)，則實數λ的值是.

6.為了了解初中生的身體素質，某地區(qū)隨機抽取了n名學生進行跳繩測試，根據所得數據畫樣本的頻率分布直方圖如下圖所示，且從左到右第一小組的頻數是100，則n=.

第6題圖

7.運行如圖所示的程序，則輸出結果為.

第7題圖

8.方程x3-(12)x-2=0的零點為x0，x0∈(k-2，k-1)，k∈Z，則k=.

9.在平面直角坐標系中，橫、縱坐標均為整數的點叫做格點.若函y=f(x)的圖像恰好經過k個格點，則稱函數y=f(x)為k階格點函數.已知函數:①y=2sinx;②y=cos(x+π6);③y=ex-1;④y=x2.其中為一階格點函數的序號為.(注:把你認為正確論斷的序號都填上)

10.設f(x)=cosx-sinx，把f(x)的圖象向右單位平移m(m>0)個單位后，圖象恰好為函數y=-f′(x)的圖象，則m的最小值為.

11.橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩焦點為F1、F2，連接點F1，F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為.

12.二面角α—a—β的平面角為120°，在面α內，AB⊥a于B，AB=2在平面β內，CD⊥a于D，CD=3，

BD=1，M是棱a上的一個動點，則AM+CM的最小值為.

13.若f(x)是R上的減函數，且f(x)的圖象經過點A(0，3)和B(3，-1)，則不等式|f(x+1)-1|<2的解集是.

14.若函數f(x)=x3-3a2x+1的圖象與直線y=3只有一個公共點，則實數a的取值范圍.

二、解答題:(本大題共6小題，共90分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

15.(本小題滿分14分)在ΔABC中，設A、B、C的對邊分別為a、b、c，向量m=(cosA，sinA)，n=(2-sinA，cosA)，若m+n=2.

(Ⅰ).求角A的大小;

(Ⅱ).若b=42，且c=2a，求ΔABC的面積.

16.(本小題滿分14分)在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，

PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA=2AB=2.

(Ⅰ)求四棱錐P-ABCD的體積V;

(Ⅱ)若F為PC的中點，求證PC⊥平面AEF;

(Ⅲ)求證CE∥平面PAB.

17.(本小題滿分14分)假設A型進口車關稅稅率在2005年是100%，在2010年是25%，在2005年A型進口車每輛價格為64萬元(其中含32萬元關稅稅款)

(Ⅰ)已知與A型車性能相近的B型國產車，2005年每輛價格為46萬元，若A型車的價格只受關稅降低的影響，為了保證2010年B型車的價格不高于A型車價格的90%，B型車價格要逐年等額降低，問每年至少下降多少萬元?

(Ⅱ)某人在2005年將33萬元存入銀行，假設銀行扣利息稅后的年利率為1.8%(5年內不變)，且每年按復利計算(上一年的利息計入第二年的本金)，那么5年到期時這筆錢連本帶利息是否一定夠買按(1)中所述降價后的B型車一輛?(參考數據:(1.018)5≈1.093)

18.(本小題滿分16分)已知函數f(x)=lnx，g(x)=2x-2(x≥1).

(Ⅰ)試判斷F(x)=(x2+1)f(x)-g(x)在定義域上的單調性;

(Ⅱ)當02a(b-a)a2+b2.

19.(本小題滿分16分)

已知⊙C過點P(1，1)，且與⊙M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)關于直線x+y+2=0對稱.

(Ⅰ)求⊙C的方程;

(Ⅱ)設Q為⊙C上的一個動點，求PQ#8226;MQ的最小值;

(Ⅲ)過點P作兩條相異直線分別與⊙C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補，O為坐標原點，試判斷直線OP和AB是否平行?請說明理由.

20.(本小題滿分16分)

已知分別以d1和d2為公差的等差數列{an}和{bn}滿足a1=18，b14=36.

(Ⅰ)若d1=18，且存在正整數m，使得a2m=bm+14-45，求證:d2>108;

(Ⅱ)若ak=bk=0，且數列a1，a2，…，ak，bk+1，bk+2，…，b14的前n項和Sn滿足S14=2Sk，求數列{an}和{bn}的通項公式;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，令cn=aan，dn=abn，a>0，且a≠1，問不等式cndn+1≤cn+dn是否對一切正整數n恒成立?請說明理由.

附加題部分

21.[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計20分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

A.選修4-1:幾何證明選講

如圖，PA切⊙O于點A，D為PA的中點，過點D引

割線交⊙O于B、C兩點.求證:∠DPB=∠DCP.

B.選修4-2:矩陣與變換

設M是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到2倍，縱坐標伸長到3倍的伸壓變換.

(Ⅰ)求矩陣M的特征值及相應的特征向量;

(Ⅱ)求逆矩陣M-1以及橢圓x24+y29=1在M-1的作用下的新曲線的方程.

C.選修4-4:坐標系與參數方程

已知A是曲線ρ=3cosθ上任意一點，求點A到直線ρcosθ=1距離的最大值和最小值.

D.選修4-5:不等式選講

證明不等式:11+11×2+11×2×3+…+11×2×3×…×n<2

必做題，本大題共2小題，每小題10分，共20分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

22.(本小題10分)投擲A，B，C三個紀念幣，正面向上的概率如下表所示.

紀念幣ABC概 率12aa

將這三個紀念幣同時投擲一次，設ξ表示出現正面向上的個數.

(Ⅰ)求ξ的分布列及數學期望;

(Ⅱ)在概率P(ξ=i)(i=0，1，2，3)中，若P(ξ=1)的值最大，求a的取值范圍.

23.(本小題10分)如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1.

(Ⅰ)求二面角A-DF-B的大小;

(Ⅱ)在線段AC上找一點P，使PF與AD所成的角為60°，

試確定點P的位置.

2010年江蘇高考數學模擬試卷(5)

參考答案

一、填空題:

1.{—1}2.2.3.[-1，3]

4.a2+9-15.-3

6.10007.138.3

9.①③10.π211.3-1

12.2613.(-1，2)14.(-1，1)

二、解答題:

15.解析:(Ⅰ)m+n=(2+cosA-sinA，cosA+sinA)

|m+n|2=(2+cosA-sinA)2+(cosA+sinA)2

=2+22(cosA-sinA)+(cosA-sinA)2+(cosA+sinA)2

=2+22(cosA-sinA)+2

=4-4sin(A-π4)

∵|m+n|=2，∴4-4sin(A-π4)=4，∴sin(A-π4)=0

又∵0

∴A=π4.

(Ⅱ)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA

a2=32+2a2-2×42×2a#8226;22，

即a2-82a+32=0，∴a=42，∴c=8

∴SΔABC=12b#8226;csinA=12×42×8×sinπ4=16

16.解析:(Ⅰ)在Rt△ABC中，AB=1，

∠BAC=60°，∴BC=3，AC=2.

在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，

∴CD=23，AD=4.

∴SABCD=12AB#8226;BC+12AC#8226;CD

=12×1×3+12×2×23=523.

則V=13×523×2=533.

(Ⅱ)∵PA=CA，F為PC的中點，

∴AF⊥PC.

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.

∵AC⊥CD，PA∩AC=A，

∴CD⊥平面PAC.∴CD⊥PC.

∵E為PD中點，F為PC中點，

∴EF∥CD.則EF⊥PC.

∵AF∩EF=F，∴PC⊥平面AEF.

(Ⅲ)

取AD中點M，連EM，CM.則EM∥PA.

∵EM平面PAB，PA平面PAB，

∴EM∥平面PAB.

在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，

∴∠ACM=60°.而∠BAC=60°，∴MC∥AB.

∵MC平面PAB，AB平面PAB，

∴MC∥平面PAB.

∵EM∩MC=M，

∴平面EMC∥平面PAB.

∵EC平面EMC，

∴EC∥平面PAB.

17.解:(1)2010年A型車價格為32+32×25%=40(萬元)

設B型車每年下降d萬元，2005，2006，…，2010年B型車價格分別為a1，a2，a3…，

a6(a1，a2，…，a6為公差是-d的等差數列)4

∴a6≤40×90%，即46-5d≤366

∴d≥2，故每年至少下降2萬元8

(2)2010年到期時共有錢33×(1+1.8%)5≈33×1.093=36.069>36(萬元)

故5年到期后這筆錢夠買一輛降價后的B型車.

18.解析:(1)F(x)=(x2+1)f(x)-g(x)=(x2+1)lnx-(2x-2)

當x>1時，F′(x)=2xlnx+(x-1)2x，∴F′(x)>0∴函數F(x)=(x2+1)f(x)-g(x)在[1，+∞)上遞增

(2)由(1)知當x>1時，F(x)>F(1)，又F(1)=0，∴F(x)>0

即(x2+1)lnx-(2x-2)>0，∴lnx>2x-2x2+1(*)令x=ba，∵01則(*)式可化為lnba>2#8226;ba-2(ba)2+1，即lnb-lna>2a(b-a)a2+b2

∴當02a(b-a)a2+b2.

19.解析:(Ⅰ)設圓心C(a，b)，則a-22+b-22+2=0b+2a+2=1，解得a=0b=0

則圓C的方程為x2+y2=r2，將點P的坐標代入得r2=2，故圓C的方程為x2+y2=2

(Ⅱ)設Q(x，y)，則x2+y2=2，且PQ#8226;MQ=(x-1，y-1)#8226;(x+2，y+2)

=x2+y2+x+y-4=x+y-2，所以PQ#8226;MQ的最小值為-4

(可由線性規(guī)劃或三角代換求得)

(Ⅲ)由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在(不等于零)，且互為相反數，

故可設PA:y-1=k(x-1)，PB:y-1=-k(x-1)，

由y-1=k(x-1)x2+y2=2，得(1+k2)x2+2k(1-k)x+(1-k)2-2=0

因為點P的橫坐標x=1一定是該方程的解，故可得xA=k2-2k-11+k2

同理，xB=k2+2k-11+k2，

所以kAB=yB-yAxB-xA=-k(xB-1)-k(xA-1)xB-xA=2k-k(xB+xA)xB-xA=1=kOP

所以，直線AB和OP一定平行.

20.解析:(1)依題意，[18+(m-1)×18]2=36+(m+14-14)d2-45，

即(18m)2=md2-9，即d2=182m+9m≥2182×9=108;

等號成立的條件為182m=9m，即m=16，∵m∈N*，∴等號不成立，

∴原命題成立

(2)由S14=2Sk得:Sk=S14-Sk，即:18+02×k=36+02×(14-k+1)，

則9k=18×(15-k)，得k=10，

d1=0-189=-2，d2=36-014-10=9，

則an=-2n+20，bn=9n-90;

(3)在(2)的條件下，cn=aan，dn=abn，

要使cndn+1≤cn+dn，即要滿足(cn-1)(dn-1)≤0，

當a>1時，cn=a20-2n，數列{cn}單調減;dn=a9n-90單調增

當正整數n≤9時，cn-1>0，dn-1<0，(cn-1)(dn-1)<0;

當正整數n≥11時，cn-1<0，dn-1>0，(cn-1)(dn-1)<0;

當正整數n=10時，cn-1=0，dn-1=0，(cn-1)(dn-1)=0，

則不等式cndn+1≤cn+dn對一切的正整數n恒成立;

同理，當0

綜上所述，不等式cndn+1≤cn+dn對一切的正整數n恒成立.16

附加題部分

21.

A.選修4-1:幾何證明選講證明:因為與圓相切于A，

所以DA2=DB#8226;DC，

因為D為PA中點，所以DP=DA，

所以DP2=DB#8226;DC，即PDDC=DBPD.

因為∠BDP=∠PDC，所以△BDP∽△PDC，

所以∠DPB=∠DCP.

B.選修4-2:矩陣與變換

解析:(Ⅰ)由條件得矩陣M=2003，

它的特征值為2和3，對應的特征向量為10及01;

(Ⅱ)M-1=120013，橢圓x24+y29=1在M-1的作用下的新曲線的方程為x2+y2=1.

C.選修4-4:坐標系與參數方程

解答:將極坐標方程轉化成直角坐標方程:

ρ=3cosθ即:x2+y2=3x，(x-32)2+y2=94，ρcosθ=1即x=1，直線與圓相交

所求最大值為2，最小值為0.

D.選修4-5:不等式選講

證明:11+11×2+11×2×3+…+11×2×3×…×n<1+12+122+…+12n-1

=2-12n-1<2

22.解析:(1)P(ξ)是ξ個正面向上，3-ξ個背面向上的概率.其中ξ的可能取值為0，1，2，3.

P(ξ=0)=C01(1-12)C02(1-a)2=12(1-a)2，

P(ξ=1)=C11#8226;12C02(1-a)2+C01(1-12)C12(1-a)=12(1-a2)，

P(ξ=2)=C11#8226;12C12a(1-a)+C01(1-12)C22a2=12(2a-a2)，

P(ξ=3)=C11#8226;12C22a2=a22

所以ξ的分布列為

ξ0123

P12(1-a)212(1-a2)12(2a-a2)a22

ξ的數學期望為

Eξ=0×12(1-a)2+1×12(1-a2)+2×12(2a-a2)+3×a22=4a+12.

(2).P(ξ=1)-P(ξ=0)=12[(1-a2)-(1-a)2]=a(1-a)，

P(ξ=1)-P(ξ=2)=12[(1-a2)-(2a-a2]=1-2a2，

P(ξ=1)-P(ξ=3)=12[(1-a2)-a2]=1-2a22，

由a(1-a)≥01-2a2≥01-2a22≥0和0

23.解析:(1)以CD，CB，CE為正交基底，建立空間直角坐標系，則

E(0，0，1)，D(2，0，0)，B(0，2，0)，A(2，2，0)，

面ADF的法向量t=(1，0，0)，BD=(2，-2，0)，BF=(2，0，1).

設面DFB法向量n=(a，b，c)，則n#8226;BD=0，n#8226;BF=0，

所以2a-2b=02a+c=0令a=1，得n=(1，1，-2)，

cos=12，由圖可知，故二面角A-DF-B的大小60°.

(2)設P(a，a，0)0≤a≤2，則PF=(2-a，2-a，1)，CB=(0，2，0)

因為<PF，CB>=600所以cos600=22-a2×22-a2+1=12

解得a=22，故存在滿足條件的點P為AC的中點.