由一道復(fù)習(xí)題說起

在高三復(fù)習(xí)中，大多數(shù)同學(xué)會(huì)接觸到下面的問題:

已知x+y=1(x，y>0)，求1x+1y的最小值

分析:這是一道考查基本不等式ab≤a+b2(a，b≥0)的應(yīng)用的習(xí)題.

考試說明中對(duì)基本不等式的要求是C級(jí)，是歷年高考重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn)之一，它的應(yīng)用范圍幾乎涉及高中數(shù)學(xué)的所有章節(jié)，且?？汲Ｐ拢撬诟呖贾胁煌夂跏怯迷诖笮∨袛?、求最值、求取值范圍等問題上.

上面這道題的解法很多，其中最常見的解法是(x+y)(1x+1y)=2+(xy+yx)≥4.

這道題的變化很多:如x+y=1(x，y>0)，求1x+2y的最小值.又如x+y=1(x，y>0)，求xyx+y的最小值.

再如(2007山東，16)函數(shù)y=loga(x+3)a-1(a>0，a≠1)的圖像恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上，其中mn>0，則1m+2n的最小值是.

其一般模式:“已知ax+by=m(a，b.x，y均為正數(shù))，求1x+1y的最小值.”或“已知ax+by=1(a，b，x，y均為正數(shù))，求x+y的最小值.”

若將這道題變化為已知x2+y2=1(x、y>0)，求1x+1y的最小值.

分析:這時(shí)需要調(diào)整，為達(dá)到次數(shù)的和諧，先求(1x+1y)2的最小值.

∵(1x+1y)2=1#8226;(1x+1y)2=(x2+y2)(1x+1y)2≥2xy(21x#8226;1y)2=8，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=y=22取得，∴1x+1y的最小值為22.

解題是將一個(gè)復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化、化歸成一個(gè)熟悉的、簡(jiǎn)單的問題過程，是運(yùn)用差異分析發(fā)現(xiàn)差異、消除差異，實(shí)現(xiàn)結(jié)論與條件和諧的過程.當(dāng)然本題解法眾多，是考查同學(xué)們發(fā)散思維與創(chuàng)造能力的好題.

再次改變此題:已知:a2+4b2=1(a，b>0)，求2aba+2b的最大值.

∵2aba+2b=112b+1a∴只需先求12b+1a的最小值，令x=a，y=2b就能得到最小值為22

∴2aba+2b的最大值為24.

這道題的原型是2007年重慶卷(理)第7題:

若a是1+2b與1-2b的等比中項(xiàng)，則2aba+2b的最大值為.

要求2aba+2b的最大值，必有2ab>0，為求最大值不妨設(shè)a>0，b>0，則此題變?yōu)樯项}.

拿到此題不容易解決，有一定的難度.但如果能追溯到它的源頭，將問題還原成一個(gè)簡(jiǎn)潔、優(yōu)美、熟悉的問題，就得到它的簡(jiǎn)潔、本質(zhì)的解法.

基本不等式是幾個(gè)正數(shù)的和與積的轉(zhuǎn)化依據(jù)，具有放縮功能，運(yùn)用時(shí)應(yīng)用基本不等式的條件，合理拆添項(xiàng)或配湊因式.而拆與湊的前提在于使等號(hào)能夠成立.

2006年高考重慶卷(文)第12題:

若a，b，c>0且a2+2ab+2ac+4bc=12，則a+b+c的最小值是.

分析:∵a2+2ab+2ac+4bc=(a+2b)(a+2c)=12，又∵(a+2b)+(a+2c)≥2(a+2b)(a+2c)=212=43，∴a+b+c≥23.

當(dāng)且僅當(dāng)a+2b=a+2c=12時(shí)取得等號(hào).

2006年高考重慶卷(理)第10題:

若a，b，c>0且a(a+b+c)+bc=4-23，則2a+b+c的最小值為.

分析:∵a(a+b+c)+bc=(a+b)(a+c)=4-23，而2a+b+c=(a+b)+(a+c)≥2(a+b)(a+c)=24-23=2(3-1).當(dāng)且僅當(dāng)a+b=a+c時(shí)等號(hào)取得.

利用基本不等式解決問題的關(guān)鍵是分析不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇好利用不等式的切入點(diǎn).

(作者:錢春林，江蘇省泰州中學(xué))