高考易錯知識點梳理與歸納

同學們在自省靜悟的復習過程中，為了糾正一些常見錯誤，澄清一些模糊的認識，克服理解上的思維障礙，我們把高考中容易出錯和混淆的知識點進行梳理與歸納，力求提高同學們的復習效果，在高考中取得優(yōu)異的成績.

一、集合、簡易邏輯、函數(shù)部分

1.研究集合必須注意集合元素的特征即三性(確定，互異，無序);

例:已知集合A={x，xy，lg(xy)}，集合B={0，|x|，y}，且A=B，則x+y=.

2.在研究集合時，首先必須弄清代表元素，才能理解集合的意義.

例:(1)已知“集合M={y|y=1-x，x∈R}，N={y|y=x2+1，x∈R}，求M∩N”;

(2)已知“集合M={x|y=1-x，x∈R}，N={y|y=x2+1，x∈R}，求M∩N”;

(3)“集合M={(x，y)|y=x，x∈R}，N={(x，y)|y=x2，x∈R}求M∩N”

注意:這三個問題的區(qū)別.

3.在進行集合運算時不要忘記空集的情況，如集合A、B，A∩B=時，你是否注意到“極端”情況:A=或B=;求集合的子集AB時是否忘記A=.

例:(1)(a-2)x2+2(a-2)x-1<0對一切x∈R恒成立，求a的取植范圍，你討論了a=2的情況了嗎?(1

4.理解全稱命題和存在命題的含義.

例:(1)對于任意a∈[1，3]，使不等式ax2+(a-2)x-2>0，求x的取值范圍.

(2)若存在a∈[1，3]，使不等式ax2+(a-2)x-2>0，求x的取值范圍.

(1)x<-1或x>2，(2)x<-1或x>23

5.函數(shù)的幾個重要性質(zhì)不要混淆:

(1)如果函數(shù)y=f(x)對于一切x∈R，都有f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)，那么函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱.

(2)如果函數(shù)y=f(x)對于一切x∈R，都有f(a+x)=2b-f(a-x)或f(x)=2b-f(2a-x)，那么函數(shù)y=f(x)的圖象關于點(a，b)對稱.

(3)如果函數(shù)y=f(x)對于一切x∈R，都有f(x)=-f(x-a)或f(x)=-1f(x-a)，那么函數(shù)y=f(x)的最小正周期為|2a|.

(4)函數(shù)y=f(-x+a)與函數(shù)y=f(x+b)的圖象關于直線x=a-b2對稱

例如:(1)函數(shù)y=f(x)滿足f(x+1)=f(-x+1)則關于直線對稱(x=1)

(2)函數(shù)y=f(x+1)與y=f(-x+1)關于直線對稱(x=0)

6.求一個函數(shù)的解析式，要注意函數(shù)的定義域.

例:若f(x+1x)=x3+1x3，則f(x)=(f(x)=x3-3x(x≤-2或x≥2))

7.注意復合函數(shù)的定義域、值域的求法，復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法

例:(1)函數(shù)f(2x)的定義域是(0，1]，求f(log2x)的定義域.(2，4]

(2)已知函數(shù)y=logb[(a2-1)x2+(a+1)x+1]，若函數(shù)的定義域為R，求a的取值范圍是;若函數(shù)的值域為R，求a的取值范圍是.(a≤-1或a>53;-1

(3)函數(shù)y=log12(x2-2x-3)的單調(diào)減區(qū)間為.(3，+∞)

(4)若函數(shù)y=log12(x2-ax+3a)在區(qū)間[2，+∞)上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是.(-4

二、平面向量、三角函數(shù)部分

1.要認準向量的夾角.

例:△ABC的面積S滿足3≤S≤3，且AB#8226;BC=6，求角B的取值范圍.

應當先把AB#8226;BC=6轉化為BA#8226;BC=-6，向量BA和BC的夾角才是∠B，再用數(shù)量積公式得到BA#8226;BCcos∠B=-6，求得3π4≤B≤5π6.

2.不要把向量b在a方向上的投影當成向量，實際上向量b在a方向上的投影|b|#8226;cosθ(θ為a，b的夾角)為實數(shù).

3.若a與b的夾角為θ，a#8226;b<0，θ為鈍角對嗎?(必須去掉反向的情況);

a#8226;b>0，θ為銳角對嗎?(必須去掉同向的情況)

4.借助于角的一個三角函數(shù)值求角時，不要忽略角的范圍.

5.寫三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時要注意數(shù)形結合與書寫規(guī)范，可別忘了k∈Z，更不要忘記先把x的系數(shù)化為正數(shù).

例:求y=sinπ3-2x的單調(diào)區(qū)間

6.清楚函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象可以由函數(shù)y=sinx經(jīng)過怎樣的變換得到?

例:如何把函數(shù)y=2sin3x的圖象變成函數(shù)y=2sin(3x+π3)的圖象?如何把函數(shù)y=2sin(x+π3)的圖象變成函數(shù)y=2sin(3x+π3)的圖象?

注意先平移再放縮與先放縮再平移兩種方法的區(qū)別，都能用文字語言表示出來.

7.在用到sinxcosx和sinx±cosx的內(nèi)在關系時，易忽略t=sinx±cosx的范圍.

例:求函數(shù)f(x)=(sinx+1)(cosx+1)，x∈[0，π2]的最值.

8.注意解三角形問題時常用的結論

設△ABC三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c

(1)A>B>CsinA>sinB>sinCa>b>c

(2)a，b，c成等差數(shù)列sinA，sinB，sinC成等差數(shù)列;

a，b，c成等比數(shù)列sinA，sinB，sinC成等比數(shù)列

(3)已知a，b，c成等差數(shù)列，求角B的取值范圍.

已知a，b，c成等比數(shù)列，求角B的取值范圍.

已知a2，b2，c2成等差數(shù)列或等比數(shù)列，求角B的取值范圍.

提示:應用cosB=a2+c2-b22ac求解，以上B的范圍均為(0，π3].

(4)三角形解的個數(shù)你還記得嗎?

例:在ΔABC中，a=80，b=100，A=450，則此三角形解的情況是.

9.在解正，余弦函數(shù)的問題時，你注意正，余弦函數(shù)的有界性了嗎?

如:sinαcosβ=12，求t=sinβcosα的范圍.

(-12≤t≤12).

三、數(shù)列與不等式部分

1.等差數(shù)列中的重要性質(zhì)不要混淆:

(1)若m+n=p+q，則am+an=ap+aq;不是m+n=p，則am+an=ap

(2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則數(shù)列{a2n-1}，{a2n}，{kan+b}仍成等差數(shù)列，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍成等差數(shù)列;

注意:Sn，S2n，S3n不為等差數(shù)列.

(3)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，Sn，Tn分別為它們的前n項和，則ambm=S2m-1T2m-1;

注意:anbm≠S2n-1T2m-1

例1:{an}，{bn}都是等差數(shù)列，前n項和分別為Sn，Tn，且SnTn=2n-13n+2，則a9b9=.

例2:{an}，{bn}都是等差數(shù)列，前n項和分別為Sn，Tn，且SnTn=2n-13n+2，則a8b9=.

兩者解法一樣嗎?3353，2953

2.你是否注意到在應用等比數(shù)列求前n項和時，需要分類討論.(q=1時，Sn=na1;q≠1時，Sn=a1(1-qn)1-q)

3.用an=Sn-Sn-1求數(shù)列的通項公式時，注意到a1=S1，當n≥2時，an=Sn-Sn-1.

4.注意幾個重要不等式適用的范圍.

21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22，(a，b∈R+)

a2+b2+c2≥ab+bc+ac，

a2x+b2y≥(a+b)2x+y，(x>0，y>0)

5.用均值不等式求最值的記憶口訣為:“一正二定三相等”，三者缺一不可.

例1:已知x>0，y>0，且1x+9y=1，則x+y的最小值為.

解析:(x+y)(1x+9y)=10+yx+9xy再利用均值不等式.(16)

6.解分式不等式f(x)g(x)>a(a≠0)應注意什么問題?(不能去分母而要移項通分)

7.序軸標根法解不等式的注意事項是什么?

①化簡成多個一次因式;②x項系數(shù)為正;③“奇穿偶不穿”.

8.解指數(shù)、對數(shù)不等式應該注意什么問題?(利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，注意對數(shù)的真數(shù)大于零.)

9.解含參數(shù)的不等式的方法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎，分類討論是關鍵.”

四、概率、統(tǒng)計部分

1.古典概型和幾何概型的區(qū)別.

例如:(1)任意取實數(shù)x∈[1，100]，恰好落在[50，100]之間的概率為.(5099)

(2)任意取整數(shù)x∈[1，100]，恰好落在[50，100]之間的概率為.(51100)

2.明確概率問題的基本事件

例如:在等腰直角三角形ABC中，

(1)在斜邊AB上任取一點M，求AM小于AC的概率;(22)

(2)過頂點C在∠ACB內(nèi)任作一條射線CM，與線段AB交于點M，求AM

3.分清幾種抽樣方法的區(qū)別與聯(lián)系.

注意它們的共同特征是每個個體被抽到的概率相等.

4.樣本估計總體時，注意頻率分布直方圖的縱坐標常為頻率/組距，小長方形的面積為其頻率.

五、解析幾何部分

1.設直線方程時，一般可設直線的斜率為k，但要注意到直線垂直于x軸時，斜率k不存在的情況.

例如:一條直線經(jīng)過點-3，-32，且被圓x2+y2=25截得的弦長為8，求此弦所在直線的方程.該題就要注意，不要漏掉x+3=0這一解.

2.注意幾個角的范圍，傾斜角的范圍:[0，π);兩向量夾角的范圍:[0，π]

例:若a∈R，則直線xcosα+y-1=0的傾斜角的取值范圍是.

解析:y=-xcosα+1，設傾斜角為θ，則tanθ=-cosα，|cosα|≤1知-1≤tanθ≤1，故θ∈0，π4∪3π4，π.

易錯原因:①傾斜角理解有誤;②誤以為傾斜角的范圍為π4，3π4.

3.注意距離與截距的區(qū)別，截距不是距離，研究截距時不要丟掉截距為零的情況.

例1:直線l過點(-4，-1)，橫截距是縱截距的兩倍，則直線l的方程是.

解:設直線方程為ya+x2a=1，

∵直線l過點(-4，-1)，有-1a+-42a=1，故a=-3，則直線l的方程為x+2y+6=0.

易錯分析:遺漏了直線過原點的情況，正確答案是y=14x或x+2y+6=0.

4.直線方程的幾種形式:點斜式、斜截式、兩點式、截距式、一般式.注意各種形式的局限性.

提示:有時為了避免討論斜率的存在與否，可以設直線方程為x=my+b形式.

5.對不重合的兩條直線l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，有

l1//l2A1B2=A2B1A1C2≠A2C1;l1⊥l2A1A2+B1B2=0.

六、導數(shù)部分

1.幾個重要函數(shù)的導數(shù)一定要熟練掌握:

2.f′(x0)=0是函數(shù)f(x)在x0處取得極值的必要非充分條件，f(x)在x0處取得極值，利用f′(x0)=0，必須要檢驗.

3.導數(shù)可以證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性，單調(diào)遞增f′(x)≥0，單調(diào)遞減f′(x)≤0，注意帶上等號.

例:已知a=2|b|≠0，且關于x的函數(shù)f(x)=13x3+12a#8226;x2+a#8226;bx在R上有極值，則a與b的夾角的范圍為π3，π

4.利用導數(shù)求最值時注意，當極值不唯一時，極值不一定是最值，要比較區(qū)間端點所對應的函數(shù)值與極值的大小，確定最大值與最小值.

(作者:朱正峰，江蘇省張家港市暨陽高級中學)