不等式性質(zhì)使用的易錯(cuò)之處

在解答有關(guān)不等式的題目時(shí)，不等式的性質(zhì)使用可謂環(huán)環(huán)相扣，只要有某一點(diǎn)照顧不到，就會(huì)使結(jié)果解答不完整甚至是大錯(cuò)特錯(cuò)，現(xiàn)將幾點(diǎn)易錯(cuò)之處列舉如下，以供同學(xué)們使用時(shí)參考.

易錯(cuò)點(diǎn)1 性質(zhì)使用不當(dāng)出錯(cuò)

典例1 如果1a<1b<0，則下列不等式:①a+bb，③ab2中，正確的不等式有個(gè).

錯(cuò)因分析:在一個(gè)不等式兩端同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)或是式子時(shí)，如果是負(fù)值，就要改變不等號(hào)的方向，這是最易出錯(cuò)之處.

正確解析:由1a<1b<0a<0，b<0ab>0，在不等式兩邊同乘以ab，得ba，則原式不成立;③顯然不成立;④ba>0b2>a2，可知原式不成立.所以正確的不等式只有1個(gè).

總結(jié)提煉:在使用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推理論證時(shí)一定要準(zhǔn)確，特別是在不等式兩端同時(shí)乘以或除以一個(gè)數(shù)式、兩個(gè)不等式相乘、一個(gè)不等式兩端同時(shí)n次方時(shí)，如果忽視了不等式成立的前提條件就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

易錯(cuò)點(diǎn)2 忽視應(yīng)用條件出錯(cuò)

典例2 求函數(shù)y=x+1x-3(x≠3)的值域.

錯(cuò)因分析:應(yīng)用均值不等式a+b2≥ab時(shí)，易忽視a、b同為非負(fù)數(shù)這一條件而出錯(cuò).由y=x+1x-3=x-3+1x-3+3≥2(x-3)#8226;1(x-3)+3=5，得出y∈[5，+∞)這一錯(cuò)誤結(jié)論.

正確解析:當(dāng)x>3時(shí)，x-3>0，則y=x-3+1x-3+3≥2(x-3)#8226;1(x-3)+3=5.當(dāng)且僅當(dāng)x-3=1x-3即x=4時(shí)等號(hào)成立.當(dāng)x<3時(shí)，x-3<0，即3-x>0，則y=-(3-x+13-x)+3≤-2(3-x)#8226;1(3-x)+3=1.當(dāng)且僅當(dāng)3-x=13-x即x=2時(shí)等號(hào)成立.因此y∈(-∞，1]∪[5，+∞).

總結(jié)提煉:利用均值不等式a+b≥2ab，及其變式ab≤(a+b2)2求函數(shù)最值時(shí)，務(wù)必注意該式子要成立，只有“一正、二定、三相等”這三個(gè)條件同時(shí)成立才可以使用.本題中的函數(shù)是形如y=ax+bx(a>0，b>0)的特殊形式，在應(yīng)用均值不等式求函數(shù)最值時(shí)，一定要注意ax，bx的符號(hào)，必要時(shí)要進(jìn)行分類(lèi)討論.

易錯(cuò)點(diǎn)3 分類(lèi)討論不當(dāng)出錯(cuò)

典例3解關(guān)于x的不等式ax2-2(a+1)x+4>0.

錯(cuò)因分析:解本題容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是，①認(rèn)定這個(gè)不等式是二次不等式，忽視了對(duì)a=0時(shí)的討論;②在不等式兩邊約掉a時(shí)，易忽視a<0時(shí)，不等號(hào)方向要改變;③易忽視對(duì)根的大小討論，特別是等根的討論;④分類(lèi)討論后對(duì)結(jié)論不進(jìn)行整合，這幾點(diǎn)有一個(gè)地方出錯(cuò)，都會(huì)導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤或是解題不完善.

正確解析:若a=0時(shí)，不等式解集為{x|x<2};若a≠0時(shí)，原不等式可化為(x-2)(ax-2)>0，方程(x-2)(ax-2)=0的兩根為x1=2，x2=2a，當(dāng)a>1時(shí)，有2>2a，則原不等式的解集為{x|x<2a，或x>2};當(dāng)a=1時(shí)，有2=2a，則原不等式的解集為{x|x≠2};當(dāng)0<a<1時(shí)，有2<2a，則原不等式的解集為{x|x<2或x>2a;當(dāng)a<0時(shí)，有2>2a，則原不等式解集為x2a

總結(jié)提煉:解形如ax2+bx+c>0(或<0)的不等式時(shí)，首先要考慮對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論.當(dāng)a=0時(shí)，這個(gè)不等式是一次不等式，解答時(shí)還要對(duì)b、c進(jìn)一步分類(lèi)討論;當(dāng)a≠0且Δ>0時(shí)，不等式可化為a(x-x1)(x-x2)>0(或<0)，若能明確x1與x2的大小關(guān)系，則易得其解，若x1與x2的大小不明確，其中含有參數(shù)，則要對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論，確定x1與x2的大小關(guān)系后，可得原不等式的解集;當(dāng)a≠0且Δ<0時(shí)，原不等式即為恒成立x∈R(或原不等式解集為).

易錯(cuò)點(diǎn)4 同解變形出錯(cuò)

典例4 解關(guān)于x的不等式ax+a2≥bx+b2(a，b∈R).

錯(cuò)因分析:將一次不等式中x的系數(shù)化為1時(shí)，忽視系數(shù)的符號(hào)而出現(xiàn)下面的錯(cuò)誤:由(a-b)x≥(b2-a2)=(b+a)(b-a)，x≥b2-a2a-b=-a-b，錯(cuò)誤地得出解集是[-a-b，+∞).

正確解析:不等式可化為(a-b)x≥(b2-a2)=(b+a)(b-a).①當(dāng)a>b時(shí)x≥b2-a2a-b=-a-b，原不等式的解集為[-a-b，+∞);②當(dāng)a=b時(shí)，x∈R，即原不等式的解集為R;③當(dāng)a

總結(jié)提煉:解一元一次不等式的一般步驟是:去括號(hào)、移項(xiàng)、合并、化系數(shù)為1.去分母、去括號(hào)時(shí)不要漏乘;移項(xiàng)時(shí)注意變號(hào);化系數(shù)為1時(shí)，如果系數(shù)是含字母的式子，要分類(lèi)討論，應(yīng)特別注意系數(shù)為負(fù)數(shù)或?yàn)榱銜r(shí)的情況.

(作者:王海燕，甘肅省臨澤縣第一中學(xué))