2010年江蘇高考數(shù)學(xué)模擬試卷(4)

一、填空題:本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分.不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定位置上.

1.設(shè)集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，則A∩B=.

2.若復(fù)數(shù)(a-i)(1+i)(i是虛數(shù)單位，a∈R)是純虛數(shù)，則a=.

3.直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2，1)，且與直線2x-3y+5=0垂直，則l的方程是.

4.命題“x∈R，sinx≥-1”的否定是.

5.函數(shù)y=x+2cosx在(0，π)上的單調(diào)遞減區(qū)間為.

6.已知平面向量a=(1，2)，b=(-1，3)，則a與夾角的余弦值為.

7.從長(zhǎng)度分別為2，3，4，5的四條線段中任意取出三條，以這三條線段為邊可以構(gòu)成三角形的概率是.

8.若樣本a1，a2，a3的方差是2，則樣本2a1+3，2a2+3，2a3+3的方差是.

9.已知tanx-1tanx=32，則tan2x=.

10.下圖是一個(gè)算法的流程圖，最后輸出的x=.

第10題圖

11.頂點(diǎn)在原點(diǎn)且以雙曲線x23-y2=1的右準(zhǔn)線為準(zhǔn)線的拋物線方程是.

12.設(shè)α，β為兩個(gè)不重合的平面，m，n是兩條不重合的直線，給出下列四個(gè)命題:

①若m⊥n，m⊥α，則n//α;

②若nα，mβ，α與β相交且不垂直，則n與m不垂直;

③若α⊥β，α∩β=m，nα，m⊥n，則n⊥β;

④若m//n，n⊥α，α//β，則m⊥β.其中所有真命題的序號(hào).

13.若過(guò)點(diǎn)A(-2，0)的圓C與直線3x-4y+7=0相切于點(diǎn)B(-1，1)，則圓C的半徑長(zhǎng)等于.

14.對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，定義:F(a，b)=12(a+b-|a-b|)，如果函數(shù)f(x)=x2，g(x)=52x+32，

h(x)=-x+2，那么函數(shù)G(x)=F(F(f(x)，g(x))，h(x))的最大值等于.

二、解答題:本大題共6小題，共90分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.(本小題滿(mǎn)分14分)

已知角A，B，C是△ABC的內(nèi)角，向量m=(1，3)，n=(sin(π-A)，sin(A-π2))，m⊥n.

(Ⅰ)求角A的大小;

(Ⅱ)求函數(shù)y=2sin2B+cos(π3-2B)的值域.

16.(本題滿(mǎn)分14分)

已知正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的所有棱長(zhǎng)均為2，G為AF的中點(diǎn).

(1)求證:F1G∥平面BB1E1E;

(2)求證:平面F1AE⊥平面DEE1D1;

(3)求四面體EGFF1的體積.

17.(本題滿(mǎn)分14分)

設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，短軸的上端點(diǎn)為B，短軸上的兩個(gè)三等分點(diǎn)為P，Q，且F1PF2Q為正方形.

(1)求橢圓的離心率;

(2)若過(guò)點(diǎn)B作此正方形的外接圓的切線在x軸上的一個(gè)截距為-324，求此橢圓方程.

18.(本題滿(mǎn)分16分)

某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊成角為60°(如圖)，考慮到防洪堤堅(jiān)固性及石塊用料等因素，設(shè)計(jì)其橫斷面要求面積為93平方米，且高度不低于3米.記防洪堤橫斷面的腰長(zhǎng)為x(米)，外周長(zhǎng)(梯形的上底線段BC與兩腰長(zhǎng)的和)為y(米).

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域;

(2)要使防洪堤橫斷面的外周長(zhǎng)不超過(guò)10.5米，則其腰長(zhǎng)x應(yīng)在什么范圍內(nèi)?

(3)當(dāng)防洪堤的腰長(zhǎng)x為多少米時(shí)，堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省(即斷面的外周長(zhǎng)最小)?求此時(shí)外周長(zhǎng)的值.

19.(本題滿(mǎn)分16分)

由部分自然數(shù)構(gòu)成如圖的數(shù)表，用aij(i≥j)表示第i行第j個(gè)數(shù)(i，j∈N*)，

使ai1=aii=i，每行中的其余各數(shù)分別等于其“肩膀”上的兩個(gè)數(shù)之和.設(shè)第n(n∈N*)行中各數(shù)之和為bn.

(1)求b6;

(2)用bn表示bn+1;

(3)試問(wèn):數(shù)列{bn}中是否存在不同的三項(xiàng)bp，bq，br(p，q，r∈N*)恰好成等差數(shù)列?若存在，求出p，q，r的關(guān)系;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.(本題滿(mǎn)分16分)

已知函數(shù)f(x)=λx2+λx，g(x)=λx+lnx，h(x)=f(x)+g(x)，其中λ∈R，且λ≠0.

⑴當(dāng)λ=-1時(shí)，求函數(shù)g(x)的最大值;

⑵求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間;

⑶設(shè)函數(shù)φ(x)=f(x)，x≤0，g(x)，x>0.若對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)x，存在非零實(shí)數(shù)t(t≠x)，使得φ′(x)=φ′(t)成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

附加題部分

(本大題共6小題，其中第21～24題為選做題，請(qǐng)考生在第21～24題中任選2個(gè)小題作答，如果多做，則按所選做的前兩題記分;第25和第26題為必做題.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.)

21.(本小題為選做題，滿(mǎn)分10分)

如圖，點(diǎn)M，N分別是正△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)，直線MN與△ABC的外接圓的一個(gè)交點(diǎn)為P.設(shè)正ΔABC外接圓半徑為233.

(1)求線段AB的長(zhǎng);

(2)求線段PM的長(zhǎng).

22.(本小題為選做題，滿(mǎn)分10分)

A={(x，y)x=2cosα，y=2sinα+m，α為參數(shù)}，

B={(x，y)x=t+3，y=3-t，t為參數(shù)}，且A∩B≠，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

23.(本小題為選做題，滿(mǎn)分10分)

已知在二階矩陣M對(duì)應(yīng)變換的作用下，四邊形ABCD變成四邊形A′B′C′D′，其中A(1，1)，B(-1，1)，C(-1，-1)，A′(3，-3)，B′(1，1)，D′(-1，-1).

(1)求出矩陣M;

(2)確定點(diǎn)D及點(diǎn)C′的坐標(biāo).

24.(本小題為選做題，滿(mǎn)分10分)

已知a，b，c∈R，證明不等式:

(1)a6+8b6+127c6≥2a2b2c2;

(2)a2+4b2+9c2≥2ab+3ac+6bc.

25.(本小題為必做題，滿(mǎn)分10分)

在1，2，3，……，9這9個(gè)自然數(shù)中，任取3個(gè)不同的數(shù).

(1)求這3個(gè)數(shù)中至少有1個(gè)是偶數(shù)的概率;

(2)求這3個(gè)數(shù)和為18的概率;

(3)設(shè)ξ為這3個(gè)數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)(例如:若取出的數(shù)為1，2，3，則有兩組相鄰的數(shù)1，2和2，3，此時(shí)ξ的值是2).求隨機(jī)變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望Eξ.

26.(本小題為必做題，滿(mǎn)分10分)

設(shè)f(k)表示區(qū)間[2k-1，2k](k∈N*)上自然數(shù)的個(gè)數(shù)，Sn=f(1)+f(2)+…+f(n).

(1)求Sn的表達(dá)式;

(2)設(shè)Pn=n2+n-1(n∈N*)，試比較Sn與Pn的大小，并說(shuō)明理由.

2010年江蘇高考數(shù)學(xué)模擬試卷(4)

參考答案

一、填空題

1.[0，2] 2.a=-1 3.3x+2y+4=0

4.x∈R，sinx<-1 5.(π6，5π6)

6.22 7.34

8.8

9.-43 10.-10 11.y2=-6x 12.③④ 13.5 14.1

二、解答題

15.解:(Ⅰ)因?yàn)閚=(sinA，-cosA)，且m⊥n，所以m#8226;n=sinA-3cosA=0

則tanA=3，又A∈(0，π)，所以A=π3

(Ⅱ)因?yàn)閥=(1-cos2B)+(12cos2B+32sin2B)

=1+32sin2B-12cos2B=1+sin(2B-π6)

而A=π3，所以0

故所求函數(shù)的值域?yàn)閥∈12，2

16.(1)因?yàn)锳F∥BE，AF平面BB1E1E，

所以AF∥平面BB1E1E，

同理可證，AA1∥平面BB1E1E，

所以，平面AA1F1F∥平面BB1E1E

又F1G平面AA1F1F，所以F1G∥平面BB1E1E

(2)因?yàn)榈酌鍭BCDEF是正六邊形，所以AE⊥ED，

又E1E⊥底面ABCDEF，所以E1E⊥AE，

因?yàn)镋1E∩ED=E，所以AE⊥平面DD1E1E，

又AE平面F1AE，所以平面F1AE⊥平面DEE1D1

(3)∵F1F⊥底面FGE，

VE-GFF1=VF1-GFE=13SΔGEF#8226;FF1=13×12×1×2sin120°×2=33

17.(1)由題意知:P(0，b3)，設(shè)F1(-c，0)

因?yàn)镕1PF2Q為正方形，所以c=b3

即b=3c，∴b2=9c2，即a2=10c2，

所以離心率e=1010

(2)因?yàn)锽(0，3c)，由幾何關(guān)系可求得一條切線的斜率為22

所以切線方程為y=22x+3c，

因?yàn)樵趚軸上的截距為-324，所以c=1，

所求橢圓方程為x210+y29=1

18.解:(1)93=12(AD+BC)h，其中AD=BC+2#8226;x2=BC+x，h=32x，

∴93=12(2BC+x)32x，得BC=18x-x2，由h=32x≥3BC=18x-x2>0，得2≤x<6

∴y=BC+2x=18x+3x2，(2≤x<6);

(2)y=18x+3x2≤10.5得3≤x≤4∵[3，4][2，6)∴腰長(zhǎng)x的范圍是[3，4]

(3)y=18x+3x2≥218x#8226;3x2=63，當(dāng)并且僅當(dāng)18x=3x2，即x=23∈[2，6)時(shí)等號(hào)成立.

∴外周長(zhǎng)的最小值為63米，此時(shí)腰長(zhǎng)為23米.

19.(1)b6=94

(2)bn+1=a(n+1)1+a(n+1)2+...+a(n+1)(n+1)

=n+1+(an1+an2)+...+(an(n-1)+ann)+n+1

=2(an1+an2+...+ann)+2

=2bn+2;

(3)∵bn+1=2bn+2，∴bn+1+2=2(bn+2)

所以{bn+2}是以b1+2=3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

則bn+2=3#8226;2n-1bn=3#8226;2n-1-2.

若數(shù)列{bn}中存在不同的三項(xiàng)bp，bq，br(p，q，r∈N*)恰好成等差數(shù)列，

不妨設(shè)p>q>r，顯然{bn}是遞增數(shù)列，則2bq=bp+br

即2(3#8226;2q-1-2)=(3#8226;2p-1-2)+(3#8226;2r-1-2)，化簡(jiǎn)得:

2#8226;2q-r=2p-r+1……(*)

由于p，q，r∈N*，且p>q>r，知q-r≥1，p-r≥2，

所以(*)式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，

故數(shù)列{bn}中不存在不同的三項(xiàng)bp，bq，br(p，q，r∈N*)恰好成等差數(shù)列.

20.解:⑴當(dāng)λ=-1時(shí)，g(x)=lnx-x，(x>0)∴g′(x)=1x-1=1-xx，(x>0)

令g′(x)=0，則x=1，∴g(x)=lnx-x在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，+∞)上單調(diào)遞減

∴g(x)max=g(1)=-1

⑵h(x)=λx2+2λx+lnx，h′(x)=2λx+2λ+1x=2λx2+2λx+1x，(x>0)

∴當(dāng)λ>0時(shí)，h′(x)>0，∴函數(shù)h(x)的增區(qū)間為(0，+∞)，

當(dāng)λ<0時(shí)，

h′(x)=2λ(x--λ-λ2-2λ2λ)(x--λ+λ2-2λ2λ)x，

當(dāng)x>-λ-λ2-2λ2λ時(shí)，h′(x)<0，函數(shù)h(x)是減函數(shù);

當(dāng)00，函數(shù)h(x)是增函數(shù).

綜上得，

當(dāng)λ>0時(shí)，h(x)的增區(qū)間為(0，+∞);

當(dāng)λ<0時(shí)，h(x)的增區(qū)間為(0，-λ-λ2-2λ2λ)，減區(qū)間為(-λ-λ2-2λ2λ，+∞)

⑶當(dāng)x>0，φ′(x)=λ+1x在(0，+∞)上是減函數(shù)，此時(shí)φ′(x)的取值集合A=(λ，+∞);

當(dāng)x<0時(shí)，φ′(x)=2λx+λ，

若λ>0時(shí)，φ′(x)在(-∞，0)上是增函數(shù)，此時(shí)φ′(x)的取值集合B=(-∞，λ);

若λ<0時(shí)，φ′(x)在(-∞，0)上是減函數(shù)，此時(shí)φ′(x)的取值集合B=(λ，+∞).

對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)x，

①當(dāng)x>0時(shí)，∵φ′(x)在(0，+∞)上是減函數(shù)，則在(0，+∞)上不存在實(shí)數(shù)t(t≠x)，使得φ′(x)=φ′(t)，則t∈(-∞，0)，要在(-∞，0)上存在非零實(shí)數(shù)t(t≠x)，使得φ′(x)=φ′(t)成立，必定有AB，∴λ<0;

②當(dāng)x<0時(shí)，φ′(x)=2λx+λ在(-∞，0)時(shí)是單調(diào)函數(shù)，則t∈(0，+∞)，要在(0，+∞)上存在非零實(shí)數(shù)t(t≠x)，使得φ′(x)=φ′(t)成立，必定有BA，∴λ<0.

綜上得，實(shí)數(shù)λ的取值范圍為(-∞，0).

附加題部分

參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

21.解:(1)設(shè)邊長(zhǎng)為x，由正弦定理知xsin60°=433x=2;

(2)延長(zhǎng)PN交圓于P′，設(shè)PM=x，可得x#8226;(x+1)=1x=5-12.

22.解:A={(x，y)x2+(y-m)2=2}，B={(x，y)x+y=6}，

m-62≤2m∈[4，8].

23.解:(1)設(shè)M=abcd，則有abcd11=3-3，abcd-11=11，

故a+b=3c+d=-3-a+b=1-c+d=1解得a=1，b=2，c=-2，d=-1，∴M=12-2-1.

(2)由12-2-1-1-1=-33知，C′(-3，3)，

由-13-232313-1-1=1-1知，D(1，-1).

24.證明:(1)由均值不等式可得a6+8b6+127c63≥3a6#8226;8b6#8226;127c6=23a2b2c2，

即a6+8b6+127c6≥2a2b2c2，故所證成立.

(2)因?yàn)閍2+4b2≥4ab①，4b2+9c2≥12bc②，a2+9c2≥6ac③

①②③式兩邊相加，得2a2+8b2+18c2≥4ab+6ac+12bc

即a2+4b2+9c2≥2ab+3ac+6bc，故所證成立.

25.解:(1)記“這3個(gè)數(shù)至少有一個(gè)是偶數(shù)”為事件A，

則P(A)=C14C25+C24C15+C34C05C39=3742;

(2)記“這3個(gè)數(shù)之和為18”為事件B，考慮三數(shù)由大到小排列后的中間數(shù)只有可能為5、6、7、8，分別為459，567，468，369，279，378，189七種情況，所以P(B)=7C39=112;

(3)隨機(jī)變量的取值為的分布列為

ξ012P51212112

∴的數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×512+1×12+2×112=23.

26.解:(1)由題意知f(k)=2k-2k-1+1=2k-1+1，

所以Sn=f(1)+f(2)+…+f(n)=(20+1)+(21+1)+…+(2n-1+1)

=2n+n-1

(2)因?yàn)镾n-Pn=2n-n2.當(dāng)n=1時(shí)，S1-P1>0;當(dāng)n=2時(shí)，S2-P2=0;當(dāng)n=3時(shí)，S3-P3<0;當(dāng)n=4時(shí)，S4-P4=0;當(dāng)n=5時(shí)，S5-P5>0;當(dāng)n=6時(shí)，S6-P6>0;故猜想:當(dāng)n≥5時(shí)，都有Sn>Pn.

法一:①當(dāng)n=5時(shí)，已證S5-P5>0，所以結(jié)論成立;

②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥5)時(shí)，結(jié)論成立，即Sk>Pk即2k>k2，

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，Sk+1-Pk+1=2k+1-(k+1)2=2#8226;2k-(k+1)2>2k2-(k+1)2

=k2-2k-1=(k-1)2-2

當(dāng)k≥5時(shí)，(k-1)2-2>0恒成立，則2k+1>(k+1)2，所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立.

由①②知，當(dāng)n≥5時(shí)，都有Sn>Pn.

法二:當(dāng)n≥5時(shí)，因?yàn)?n=(1+1)n≥1+n+n(n-1)2+n(n-1)2+n+1=n2+n+2>n2

所以Sn-Pn=2n-n2>0

綜上:當(dāng)n=2或4時(shí)，Sn=Pn;當(dāng)n=3時(shí)，SnPn.