新高考中函數(shù)的考查方向

函數(shù)是貫穿在中學(xué)數(shù)學(xué)中的一條主線，每年高考對函數(shù)的考查所占比例相當(dāng)大.下面從指導(dǎo)高考復(fù)習(xí)的視角，結(jié)合近幾年的高考函數(shù)問題，談?wù)労瘮?shù)復(fù)習(xí)的方向.

1.返璞歸真，揭示函數(shù)本質(zhì)，是出題者的追求目標(biāo)

重視同學(xué)們的生活背景，回歸樸素的函數(shù)思想方法是近年對函數(shù)考查的熱點(diǎn).

例1 (2009年上海卷理)有時(shí)可用函數(shù)f(x)=0.1+15lnaa-x，(x≤6)x-4.4x-4，(x>6)描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識的掌握程度，其中x表示某學(xué)科知識的學(xué)習(xí)次數(shù)(x∈N*)，f(x)表示對該學(xué)科知識的掌握程度，正實(shí)數(shù)a與學(xué)科知識有關(guān).(Ⅰ)證明:當(dāng)x≥7時(shí)，掌握程度的增加量f(x+1)-f(x)總是下降;(Ⅱ)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)科甲、乙、丙對應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為(115，121\\〗，(121，127\\〗，(121，133\\〗.當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識6次時(shí)，掌握程度是85%，請確定相應(yīng)的學(xué)科.

【證明】(Ⅰ)當(dāng)x≥7時(shí)，f(x+1)-f(x)=0.4(x-3)(x-4)而當(dāng)x≥7時(shí)，函數(shù)y=(x-3)(x-4)單調(diào)遞增，且(x-3)(x-4)>0，故f(x+1)-f(x)單調(diào)遞減.

∴當(dāng)x≥7時(shí)，掌握程度的增長量f(x+1)-f(x)總是下降.

(Ⅱ)由題意可知0.1+15lnaa-6=0.85，整理得aa-6=e0.05

解得a=e0.05e0.05-1#8226;6=20.05×6=123.0，123.0∈(121，127\\〗.由此可知，該學(xué)科是乙學(xué)科.

【點(diǎn)評】淺顯的數(shù)學(xué)知識，貼近生活的函數(shù)題，揭示了函數(shù)本質(zhì).

2.加大函數(shù)圖像變換的考查，凸顯出題者對“雙基”的要求

函數(shù)的考查近年來很少單純考某一函數(shù)的性質(zhì).取而代之的是函數(shù)圖像變換(平移、對稱、翻折)的考查.提醒:在復(fù)習(xí)函數(shù)圖像變換的過程中，不要忘記列表描點(diǎn)作圖是根本.

例2 (2009山東卷理)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x-4)=-f(x)，且在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間\\上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，則x1+x2+x3+x4= .

【解析】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，滿足f(x-4)=-f(x)，則f(x-4)=f(-x)，所以函數(shù)圖像關(guān)于直線x=2對稱且f(0)=0，由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x)，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，又因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間[-2，0]上也是增函數(shù).如圖所示，那么方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間\\上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，不妨設(shè)x1

【答案】-8

【點(diǎn)評】本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，對稱性，周期性以及由函數(shù)圖象解答方程問題，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)與方程的思想解答問題.

3.利用函數(shù)載體，考查數(shù)列，體現(xiàn)出題者在交匯處命題的命題思想

在知識交匯處命制高考題已成為熱點(diǎn)和方向，數(shù)列作為特殊的函數(shù)，它是一個(gè)以非零自然數(shù)為變量的函數(shù)，由于數(shù)列f(n)可反映前后項(xiàng)聯(lián)系，從而可得數(shù)列的遞推關(guān)系.所以函數(shù)作為載體來考查數(shù)列是一不錯(cuò)的選擇.由于函數(shù)的單調(diào)性，還可以比較各項(xiàng)的大小，以及求數(shù)列各項(xiàng)的和等.

例3 (2008福建卷)已知函數(shù)f(x)=13x3+x2-2.(Ⅰ)設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，其中a1=3.若點(diǎn)(an，a2n+1-2an+1)(n∈N)在函數(shù)y=f′(x)的圖象上，求證:點(diǎn)(n，Sn)也在y=f′(x)的圖象上;(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(a-1，a)內(nèi)的極值.

【解析】(Ⅰ)證明:因?yàn)閒(x)=13x3+x2-2，所以f′(x)=x2+2x，

由(an，a2n+1-2an+1)(n∈N)在函數(shù)y=f′(x)的圖象上，又an>0(n∈N*)，

所以(an-1-an)(an+1-an-2)=0，所以Sn=3n+n(n-1)2×2=n2+2n，

又因?yàn)閒′(n)=n2+2n，所以Sn=f′(n)，故點(diǎn)(n，Sn)也在函數(shù)y=f′(x)的圖象上.

(Ⅱ)解:f′(x)=x2+2x=x(x+2)，由f′(x)=0，得x=0或x=-2.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)﹑f(x)的變化情況如下表:

x(-∞，-2)-2(-2，0)0(0，+∞)

f′(x)+0-0+

f(x)↗極大值↘極小值↗

注意到|(a-1)-a|=1<2，從而

①當(dāng)a-1<-2

②當(dāng)a-1<0

③當(dāng)a≤-2或-1≤a≤0或a≥1時(shí)，f(x)既無極大值又無極小值.

【點(diǎn)評】本小題主要考查函數(shù)極值、等差數(shù)列等基本知識，考查分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題和解決問題的能力.

4.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)連接，出題者特別青睞

近幾年高考卷中陸續(xù)出現(xiàn)考查三次函數(shù)的最值、極值、單調(diào)性、圖象等內(nèi)容，導(dǎo)數(shù)為這類問題的解決提供了新的方法.這類問題具有內(nèi)容新、背景新、方法新等特點(diǎn).

例4 (2009山東卷)已知函數(shù)f(x)=13ax3+bx2+x+3，其中a≠0.(Ⅰ)當(dāng)a，b滿足什么條件時(shí)，f(x)取得極值?(Ⅱ)已知a>0，且f(x)在區(qū)間(0，1\\〗上單調(diào)遞增，試用a表示出b的取值范圍.

【解】(Ⅰ)由已知得f′(x)=ax2+2bx+1，令f′(x)=0，得ax2+2bx+1=0，f(x)要取得極值，方程ax2+2bx+1=0必須有解，所以△=4b2-4a>0，即b2>a，此時(shí)方程ax2+2bx+1=0的根為:x1=-2b-4b2-4a2a=-b-b2-aa，

x2=-2b+4b2-4a2a=-b+b2-aa，所以f′(x)=a(x-x1)(x-x2)

當(dāng)a>0時(shí)，

x(-∞，x1)x1(x1，x2)x2(x2，+∞)

f′(x)+0-0+

f(x)增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)

所以在x1，x2處分別取得極大值和極小值.

當(dāng)a<0時(shí)，

x(-∞，x2)x2(x2，x1)x1(x1，+∞)

f′(x)-0+0-

f(x)減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)

所以在x1，x2處分別取得極大值和極小值.

綜上，當(dāng)a，b滿足b2>a時(shí)，f(x)取得極值.

(Ⅱ)要使f(x)在區(qū)間(0，1\\〗上單調(diào)遞增，需使f′(x)=ax2+2bx+1≥0在(0，1\\〗上恒成立.

即b≥-ax2-12x，x∈(0，1\\〗恒成立，所以b≥(-ax2-12x)max，設(shè)g(x)=-ax2-12x，g′(x)=-a2+12x2=a(x2-1a)2x2，令g′(x)=0得x=1a或x=-1a(舍去)，

當(dāng)a>1時(shí)，0<1a<1，當(dāng)x∈(0，1a)時(shí)g′(x)>0，g(x)=-ax2-12x單調(diào)增函數(shù);當(dāng)x∈(1a，1\\〗時(shí)g′(x)<0，g(x)=-ax2-12x單調(diào)減函數(shù).所以當(dāng)x=1a時(shí)，g(x)取得最大.最大值為g(1a)=-a.所以b≥-a.

當(dāng)0

綜上:當(dāng)a>1時(shí)，b≥-a;當(dāng)0

【點(diǎn)評】本題為三次函數(shù)，利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的極值、單調(diào)性和函數(shù)的最值，函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上的符號確定，從而轉(zhuǎn)為不等式恒成立，再轉(zhuǎn)為函數(shù)研究最值.運(yùn)用了函數(shù)與方程的思想，化歸思想和分類討論的思想解答問題.

5.函數(shù)應(yīng)用型問題，出題者情有獨(dú)鐘

應(yīng)用型問題是“數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識”出題的最佳結(jié)合點(diǎn).

例5 (2009山東卷理)兩縣城A和B相距20km，現(xiàn)計(jì)劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧AB上選擇一點(diǎn)C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的距離有關(guān)，對城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點(diǎn)到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y，統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明:垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點(diǎn)到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4;對城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k，當(dāng)垃圾處理廠建在AB的中點(diǎn)時(shí)，對城A和城B的總影響度為0.065.(Ⅰ)將y表示成x的函數(shù);(Ⅱ)討論(1)中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧AB上是否存在一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小?若存在，求出該點(diǎn)到城A的距離;若不存在，說明理由.

【解】:(Ⅰ)如圖，由題意知:

AC⊥BC，BC2=400-x2，y=4x2+k400-x2(0<x<20)

其中當(dāng)x=102時(shí)，y=0.065，所以k=9.所以y表示成x的函數(shù)為:

y=4x2+9400-x2(0

(Ⅱ)y=4x2+9400-x2，y′=-8x3-9×(-2x)(400-x2)2=18x4-8(400-x2)2x3(400-x2)2，令y′=0得，所以18x4=8(400-x2)2，所以x2=160，即x=410，當(dāng)08(400-x2)2，即y′>0所以函數(shù)為單調(diào)增函數(shù).所以當(dāng)x=410時(shí)，即當(dāng)C點(diǎn)到城A的距離為410時(shí)，函數(shù)y=4x2+9400-x2(0<x<20)有最小值.

(Ⅱ)設(shè)m=x2，n=400-x2

則m+n=400，y=4m+9n，所以

y=4m+9n=(4m+9n)m+n400=1400\\4nm+9mn)\\〗≥1400(13+12)=116

當(dāng)且僅當(dāng)4nm=9mn即n=240m=160時(shí)取“=”.

下面證明函數(shù)y=4m+9400-m在(0，160)上為減函數(shù)，在(160，400)上為增函數(shù).

設(shè)0

=(4m1-4m2)+(9400-m1-9400-m2)=4(m2-m1)m1m2+9(m1-m2)(400-m1)(400-m2)

=(m2-m1)\\4m1m2-9(400-m1)(400-m2)\\〗=(m2-m1)4(400-m1)(400-m2)-9m1m2m1m2(400-m1)(400-m2)，

因?yàn)?4×240×240

9m1m2<9×160×160

所以4(400-m1)(400-m2)-9m1m2m1m2(400-m1)(400-m2)>0，

所以(m2-m1)4(400-m1)(400-m2)-9m1m2m1m2(400-m1)(400-m2)>0即y1>y2函數(shù)y=4m+9400-m在(0，160)上為減函數(shù)，

同理，函數(shù)y=4m+9400-m在(160，400)上為增函數(shù)，設(shè)160

y1-y2=4m1+9400-m1-(4m2+9400-m2)

=(m2-m1)

4(400-m1)(400-m2)-9m1m2m1m2(400-m1)(400-m2)

因?yàn)?6009×160×160

所以4(400-m1)(400-m2)-9m1m2m1m2(400-m1)(400-m2)<0，

所以(m2-m1)4(400-m1)(400-m2)-9m1m2m1m2(400-m1)(400-m2)<0即y1

【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，運(yùn)用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的能力和運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等問題.

事實(shí)上，解答實(shí)際應(yīng)用題有以下四個(gè)步驟:⑴閱讀理解材料:讀懂材料中量與量的關(guān)系，模型是什么(方程還是不等式等);⑵建立變量關(guān)系:利用量與量的已知關(guān)系列出相應(yīng)的關(guān)系式(建模);⑶討論變量性質(zhì):利用代數(shù)知識對所建立的變量關(guān)系式化簡、推導(dǎo)并討論變量具有的性質(zhì)(單調(diào)性、最大值或最小值等);⑷作出問題結(jié)論:最后的結(jié)論不可少，注意實(shí)際問題中變量的含義.

6.函數(shù)考題與高等數(shù)學(xué)接軌，命題者的希望所至

過去用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明某函數(shù)的單調(diào)性的必考題因?qū)?shù)出現(xiàn)而退出.因?qū)?shù)是一個(gè)很好的工具，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)必須掌握的工具.所以它成了高考的熱點(diǎn)題型.當(dāng)然與高等數(shù)學(xué)其它知識的接軌問題已時(shí)有出現(xiàn)了，通常以信息給予題的方式出現(xiàn).

例6 (2009四川卷)設(shè)V是已知平面M上所有向量的集合，對于映射f:V→V，a∈V，記a的象為f(a).若映射f:V→V滿足:對所有a、b∈V及任意實(shí)數(shù)λ，μ都有f(λa+μb)=λf(a)+μf(b)，則f稱為平面M上的線性變換.現(xiàn)有下列命題:①設(shè)f是平面M上的線性變換，a、b∈V，則f(a+b)=f(a)+f(b);②若e是平面M上的單位向量，對a∈V，設(shè)f(a)=a+e，則f是平面M上的線性變換;③對a∈V，設(shè)f(a)=-a，則f是平面M上的線性變換;④設(shè)f是平面M上的線性變換，a∈V，則對任意實(shí)數(shù)k均有f(ka)=kf(a).

其中的真命題是 (寫出所有真命題的編號).

【答案】①③④

【解析】①:令λ=μ=1，則f(a+b)=f(a)+f(b)故①是真命題;

同理，④:令λ=k，μ=0，則f(ka)=kf(a)故④是真命題;

③:∵f(a)=-a，則有f(b)=-b

f(λa+μb)=-(λa+μb)=λ#8226;(-a)+μ#8226;(-b)=λf(a)+μf(b)是線性變換，故③是真命題;

②:由f(a)=a+e，則有f(b)=b+e

f(λa+μb)=(λa+μb)+e=λ#8226;(a+e)+μ#8226;(b+e)-e=λf(a)+μf(b)-e

∵e是單位向量，e≠0，故②是假命題.

【點(diǎn)評】本小題主要考查函數(shù)，對應(yīng)及高等數(shù)學(xué)線性變換的相關(guān)知識，試題立意新穎，突出創(chuàng)新能力和數(shù)學(xué)閱讀能力，具有選拔性質(zhì)，是高考題中的又一好題.

總之在解函數(shù)題時(shí)，要善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，這是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵.只有對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時(shí)，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型.另外，方程問題、不等式問題和某些代數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問題，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)予以重視.

(作者:嚴(yán)循躍，江蘇省如皋中學(xué))