新定義型數(shù)列問題例舉

數(shù)列問題的構(gòu)成形式五彩繽紛，絢麗奪目，有些數(shù)列的構(gòu)成具有特殊的規(guī)律，我們把這種具有特殊規(guī)律的數(shù)列定義一個特殊的新名稱，就能夠增強問題的新鮮感.新定義型數(shù)列問題具有新穎性、探究性和開放性的特點，在近幾年高考試題和各地模擬試題中頗受青睞.下面列舉幾個新定義型數(shù)列，供大家參考，望能從中得到啟發(fā).

◆等和數(shù)列

例1 定義“等和數(shù)列”:在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.

已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1=2，公和為5，那么a18的值為 ，這個數(shù)列的前n項和Sn的計算公式為 .

解:因為{an}是等和數(shù)列，a1=2，公和為5，所以a2=3.則a3=2，a4=3，…，知，a2n=3，a2n-1=2(n∈N)，所以a18=3.

數(shù)列{an}形如:2，3，2，3，2，3，…

易得當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn=52n;當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn=52n-12.

Sn=52n，n為偶數(shù)，52n-12，n為奇數(shù).

◆周期數(shù)列

例2 在數(shù)列{an}中，如果存在非零常數(shù)T，使得am+T=am對于任意的非零自然數(shù)m均成立，那么就稱數(shù)列{an}為周期數(shù)列，其中T為數(shù)列{an}的一個周期.

已知數(shù)列{xn}滿足xn+1=|xn-xn-1|(n≥2)，如果x1=1，x2=a(a≠0)，且{xn}為周期數(shù)列，當(dāng)數(shù)列{xn}的周期最小時，該數(shù)列前2009項的和是 .

解:①若T=1，即a=1，與題設(shè)矛盾;②若T=2，即|a-1|=1所以a=2，其數(shù)列為1，2，1，1，0，…，與題設(shè)矛盾;③若T=3，即a=1，所以數(shù)列為1，1，0，1，1，0，…，符合題意，所以前2009項的和是669×2+1+1=1340.

◆等差比數(shù)列

例3 在數(shù)列{an}中，如果對任意n∈N*都有an+2-an+1an+1-an=k(k為常數(shù))，則稱{an}為等差比數(shù)列，k稱為公差比，現(xiàn)給出下列命題:

(1)等差比數(shù)列的公差比一定不為0;

(2)等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列;

(3)若an=-3n+2，則數(shù)列{an}是等差比數(shù)列;

(4)若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則其公比等于公差比.

其中正確的命題的序號為.

解:(1)若公差比為0，則an+2-an+1=0，故{an}為常數(shù)列，從而an+2-an+1an+1-an=k的分母為0，無意義，所以公差比一定不為零;(2)當(dāng)?shù)炔顢?shù)列為常數(shù)列時，不能滿足題意;(3)是公差比為3的等差比數(shù)列;(4)命題正確，所以，正確命題為⑴⑶⑷.

答案:(1)(3)(4)

◆對稱數(shù)列

例4 如果有窮數(shù)列a1，a2，a3，…，am(m為正整數(shù))滿足條件a1=am，a2=am-1，…，am=a1，即ai=am-i+1(i=1，2，…，m)，我們稱其為“對稱數(shù)列”.

例如，數(shù)列1，2，5，2，1與數(shù)列8，4，2，2，4，8都是“對稱數(shù)列”.

(1)設(shè){bn}是7項的“對稱數(shù)列”，其中b1，b2，b3，b4是等差數(shù)列，且b1=2，b4=11.依次寫出{bn}的每一項;

(2)設(shè){cn}是49項的“對稱數(shù)列”，其中c25，c26，…，c49是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，求{cn}各項的和S;

(3)設(shè){dn}是100項的“對稱數(shù)列”，其中d51，d52，…，d100是首項為2，公差為3的等差數(shù)列.求{dn}前n項的和Sn(n=1，2，…，100).

解:(1)設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d，則b4=b1+3d=2+3d=11，解得d=3，

所以數(shù)列{bn}為2，5，8，11，8，5，2.

(2)S=c1+c2+…+c49=2(c25+c26+…+c49)-c25

=2(1+2+22+…+224)-1=2(225-1)-1=226-3=67108861.

(3)d51=2，d100=2+3×(50-1)=149.

由題意得d1，d2，…，d50是首項為149，公差為-3的等差數(shù)列.

當(dāng)n≤50時，Sn=d1+d2+…+dn=149n+n(n-1)2(-3)=-32n2+3012n.

當(dāng)51≤n≤100時，Sn=d1+d2+…+dn=S50+(d51+d52+…+dn)

=3775+2#8226;(n-50)+(n-50)(n-51)2×3=32n2-2992n+7500.

綜上所述，Sn=-32n2+3012n，1≤n≤50，32n2-2992n+7500，51≤n≤100.

◆絕對差數(shù)列

例5 在數(shù)列{an}中，若a1，a2是正整數(shù)，且an=|an-1-an-2|，n=3，4，5，…，則稱{an}為“絕對差數(shù)列”.

(1)舉出一個前五項不為零的“絕對差數(shù)列”(只要求寫出前十項);

(2)若“絕對差數(shù)列”{an}中，a1=3，a2=0，數(shù)列{bn}滿足bn=an+an+1+an+2，n=1，2，3，…，求∑ni=1bi;

(3)證明:任何“絕對差數(shù)列”中總含有無窮多個為零的項.

解:(1)a1=3，a2=1，a3=2，a4=1，a5=1，a6=0，a7=1，a8=1，a9=0，a10=1.(答案不惟一)

(2)因為在絕對差數(shù)列{an}中a1=3，a2=0.所以該數(shù)列是a1=3，a2=0，a3=3，a4=3，a5=0，a6=3，a7=3，a8=0，….

即自第1項開始.每三個相鄰的項周期地取值3，0，3.

當(dāng)n≥1時，bn=an+an+1+an+2=6，所以∑ni=1bi=6n.

(3)證明:根據(jù)定義，數(shù)列{an}必在有限項后出現(xiàn)零項.證明如下

假設(shè){an}中沒有零項，由于an=|an-1-an-2|，所以對于任意的n，都有an≥1，從而

當(dāng)an-1>an-2時，an=an-1-an-2≤an-1-1(n≥3);

當(dāng)an-1

即an的值要么比an-1至少小1，要么比an-2至少小1.

令Cn=a2n-1(a2n-1>a2n)，a2n(a2n-1

則0

由于C1是確定的正整數(shù)，這樣減少下去，必然存在某項Ck<0，這與Cn>0(n=1，2，3，…，)矛盾.從而{an}必有零項.

若第一次出現(xiàn)的零項為第n項，記an-1=A(A≠0)，則自第n項開始，每三個相鄰的項周期地取值0，A，A，即

an+3k=0，an+3k+1=A，k=0，1，2，3，…，an+3k+2=A，

所以絕對差數(shù)列{an}中有無窮多個為零的項.

◆平方遞推數(shù)列

例6 定義:若數(shù)列{An}滿足An+1=An2，則稱數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列{an}中，a1=2，且an+1=2an2+2an，其中n為正整數(shù).

(1)設(shè)bn=2an+1，證明:數(shù)列{bn}是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列{lgbn}為等比數(shù)列;

(2)設(shè)(1)中“平方遞推數(shù)列”{bn}的前n項之積為Tn，

即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1)，求數(shù)列{an}的通項及Tn關(guān)于n的表達式;

解:(1)由條件an+1=2an2+2an，得2an+1+1=4an2+4an+1=(2an+1)2.∴{bn}是“平方遞推數(shù)列”.∴lgbn+1=2lgbn.∵lg(2a1+1)=lg5≠0，∴lg(2an+1+1)lg(2an+1)=2.∴{lg(2an+1)}為等比數(shù)列.

(2)∵lg(2a1+1)=lg5，∴lg(2an+1)=2n-1#8226;lg5，∴2an+1=52n-1，∴an=12(52n-1-1).

∵lgTn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+…+lg(2an+1)=lg5#8226;(1-2n)1-2=(2n-1)lg5.

∴Tn=5.

從上面幾例可知，新定義型數(shù)列問題實際上是一種題型的創(chuàng)新，解決這類問題的方法是認(rèn)真理解新概念的意義，按照新定義的要求，根據(jù)題意運用研究一般數(shù)列問題的常用方法就容易解決問題.

(作者:李宏志，江蘇省睢寧高級中學(xué)北校)