一個簡單不等式在證明數(shù)列不等式中的妙用

在導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)過程中我們會遇到以下這個簡單的不等式:lnx≤x-1.此不等式簡證如下:構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnx-x+1，求導(dǎo)得f′(x)=1x-1=1-xx，因為x>0，故函數(shù)在(0，1)上遞增，在(1，+∞)上遞減，所以當(dāng)x=1時取得極大值(最大值)為0，故f(x)≤0，得證.從圖形的角度看實質(zhì)為y=lnx與y=x-1切于點(1，0)，且y=lnx位于y=x-1圖形的下方.在解題時如能合理利用此不等式，可以大大簡化證明過程，收到意想不到的效果.

例1 已知函數(shù)f(x)=alnx-ax-3(a∈R).

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若函數(shù)y=f(x)的圖像在點(2，f(2))處的切線的傾斜角為45°，對于任意t∈[1，2]，函數(shù)g(x)=x3+x2[f′(x)+m2]在區(qū)間(t，3)上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍;

(3)求證:ln22#8226;ln33#8226;ln44…lnnn<1n(n∈N，n≥2).

析:對于(3)中的不等式，只要能夠構(gòu)造關(guān)于函數(shù)lnxx的不等式，可得左邊，右邊通過累乘相消即可.

解:(1)略

(2)由題意知a=-2，故f(x)=-2lnx+2x-3，故g(x)=x3+(m2+2)x2-2x，所以g′(x)=3x2+(m+4)x-2，對于任意t∈[1，2]，g(x)在區(qū)間(t，3)上總不是單調(diào)函數(shù)，故g′(2)<0，g′(3)>0，解得m∈(-373，-9).

(3)由lnx≤x-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立，可知當(dāng)x>1時，lnx

解題回顧:本題也可以通過數(shù)學(xué)歸納法來證明，最后轉(zhuǎn)化為證明ln(x+1)≤x(x>0)，和前面的不等式實質(zhì)是一致的.在不等式的證明過程中，常遇到一些問題，看似非常簡單，卻不好找到突破口.這時我們不妨從所證的不等式的結(jié)構(gòu)出發(fā)，在已學(xué)過知識的基礎(chǔ)上構(gòu)造出一些相關(guān)模型，從而將問題轉(zhuǎn)化，使不等式得以證明.

再如:(2009山東濟南調(diào)研改編)求證:對任意正整數(shù)n，不等式ln(n+1)-lnn<1n都成立.

解:易得lnx≤x-1，(x>0)，此不等式等價于ln(x+1)≤x(x>-1)，當(dāng)且僅當(dāng)x=0等號成立，令x=1n，得ln(1+1n)<1n，即ln(n+1)-lnn<1n.

例2 設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-px+1，(p>0).

(1)若對任意的x>0，恒有f(x)≤0，求p得取值范圍;

(2)證明:ln2222+ln3232+…+lnn2n2<2n2-n-12(n+1)(n∈N，n≥2)

析:對于(2)，可根據(jù)所證不等式的特征，可以考慮找到一個相關(guān)函數(shù)，即lnx2x2，再通過放縮法把對數(shù)式放大為有理式，然后再通過放縮、裂項求和即可.

解:(1)p≥1，(略)

(2)令p=1，即易證得lnx-x+1≤0，即lnx≤x-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立.

∵n∈N，n≥2，∴lnn2

∴ln2222+ln3232+…+lnn2n2<22-122+32-132+…+n2-1n2=(n-1)-(122+132+…+1n2)≤(n-1)-(12×3+13×4+…+1n×(n+1))=n-1-(12-13+13-14+…+1n-1n+1)

=n-1-(12-1n+1)=2n2-n-12(n+1).

解題回顧:證明數(shù)列不等式時，可以考慮構(gòu)造函數(shù)證明數(shù)列不等式.

近年的高考，數(shù)學(xué)試題年年翻新，?？汲Ｐ?，若同學(xué)們能記住一些常見問題的結(jié)論，有利于提高我們審題的高度，有利于解題思路的發(fā)現(xiàn)，從而將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟知的問題得以解決.

(作者:談玉樓，江蘇省漣水中學(xué))