轉(zhuǎn)化思想——導(dǎo)數(shù)難點(diǎn)突破的關(guān)鍵

數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是，如:未知向已知的轉(zhuǎn)化，命題之間的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化，高維向低維的轉(zhuǎn)化，多元向一元的轉(zhuǎn)化，高次向低次的轉(zhuǎn)化等，都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn).在導(dǎo)數(shù)中轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用尤為突出，特別在難度較大的導(dǎo)數(shù)問題中更彰顯了轉(zhuǎn)化思想的強(qiáng)大功能.下面談?wù)勣D(zhuǎn)化思想如何在導(dǎo)數(shù)解題中實(shí)現(xiàn)難點(diǎn)的突破.

轉(zhuǎn)化策略一:“形”向“數(shù)”的轉(zhuǎn)化

有些問題給出的是“形”的條件，而有些問題給出的是“數(shù)”的條件，根據(jù)“形”與“數(shù)”的密切聯(lián)系，可把問題的空間形式與數(shù)量關(guān)系結(jié)合起來加以考察，其實(shí)質(zhì)就是把直觀的圖形與抽象的數(shù)量關(guān)系結(jié)合起來，實(shí)施轉(zhuǎn)化從而降低原命題的難度，使問題容易得到解決.

例1 (2007#8226;湖南)已知函數(shù)f(x)=13x3+12ax2+bx在區(qū)間[-1，1)，(1，3]內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn).

(Ⅰ)求a2-4b的最大值;

(Ⅱ)當(dāng)a2-4b=8時(shí)，設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線為l，若l在點(diǎn)A處穿過函數(shù)y=f(x)的圖象(即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)A附近沿曲線y=f(x)運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，從l的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè))，求函數(shù)f(x)的表達(dá)式.

分析:本題理解的關(guān)鍵點(diǎn)是:直線l在點(diǎn)A處穿過函數(shù)y=f(x)的圖象.通過圖象的直觀性將該條件轉(zhuǎn)化為某一點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號問題，而函數(shù)值異號問題又可通過函數(shù)極值點(diǎn)的知識(shí)加以解決，從而通過轉(zhuǎn)化的實(shí)施達(dá)到順利解決問題的目的.

解:(Ⅰ)略;

(Ⅱ)解法一:由f′(1)=1+a+b知f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線l的方程是

y-f(1)=f′(1)(x-1)，即y=(1+a+b)x-23-12a，

因?yàn)榍芯€l在點(diǎn)A(1，f(1))處穿過y=f(x)的圖象，

所以g(x)=f(x)-[(1+a+b)x-23-12a]在x=1兩邊附近的函數(shù)值異號，則

x=1不是g(x)的極值點(diǎn).

而g(x)=13x3+12ax2+bx-(1+a+b)x+23+12a，且

g′(x)=x2+ax+b-(1+a+b)=x2+ax-a-1=(x-1)(x+1+a).

若1≠-1-a，則x=1和x=-1-a都是g(x)的極值點(diǎn)，與x=1不是g(x)的極值點(diǎn)矛盾.

所以1=-1-a，即a=-2，又由a2-4b=8，得b=-1，故f(x)=13x3-x2-x.

評注:本題判斷出x=1不是函數(shù)的極值點(diǎn)，為利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的另一極值點(diǎn)創(chuàng)造了條件，從而將函數(shù)值異號問題順利地轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)極值點(diǎn)問題，突破了本題直線穿過函數(shù)圖象的難點(diǎn).

策略二:“數(shù)”向“形”的轉(zhuǎn)化

“數(shù)”具有嚴(yán)密性，“形”具有直觀性，有時(shí)給出數(shù)的問題抽象、難以解決，可利用轉(zhuǎn)化思想將抽象思維變?yōu)樾蜗笏季S，即將“數(shù)”的問題轉(zhuǎn)化為“形”的問題，充分發(fā)揮以數(shù)促形，用形助數(shù)，常能巧妙地解決貌似困難和繁瑣的問題，達(dá)到事半功倍的效果.

例2 已知函數(shù)f(x)=-14x4+23x3+ax2-2x-2在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增.

(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的值;

(Ⅱ)若關(guān)于x的方程f(2x)=m有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

分析:第(Ⅱ)問中給出的條件實(shí)質(zhì)為方程有解問題，特別是含有2x的形式，更是讓人望而生畏，久久不敢入手，其實(shí)只要利用轉(zhuǎn)化思想，將方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上有三個(gè)不同交點(diǎn)問題，此時(shí)問題便迎刃而解.

解:(Ⅰ)由函數(shù)f(x)=-14x4+23x3+ax2-2x-2在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，

∴函數(shù)在x=1取得極小值，∴f′(1)=0.

∵f′(x)=-x3+2x2+2ax-2，

∴f′(1)=-1+2+2a-2=0a=12.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=-14x4+23x3+12x2-2x-2，

∴f′(x)=-x3+2x2+x-2=-(x-1)(x+1)(x-2)，

令f′(x)=0得x=1，x=-1，x=2

x(-∞，-1)-1(-1，1)1(1，2)2(2，+∞)

f′(x)+0-0+0-

f(x)增-512減-3712增-83減

所以函數(shù)f(x)有極大值f(-1)=-512，f(2)=-83，極小值f(1)=-3712.

作出f(x)的示意圖，如圖

因?yàn)殛P(guān)于x的方程f(2x)=m有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解，令2x=t(t>0)，

即關(guān)于t的方程f(t)=m在t∈(0，+∞)上有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解，即y=f(t)的圖象與直線y=m在t∈(0，+∞)上有三個(gè)不同的交點(diǎn).而y=f(t)的圖象與y=f(x)的圖象一致.又f(0)=-2由圖可知-3712

評注:涉及方程根的問題，特別是從一次方程或二次方程無從入手時(shí)，可利用轉(zhuǎn)化思想將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，導(dǎo)數(shù)作為輔助工具作函數(shù)圖象非常方便，是解決此類問題的一條有效途徑.

策略三:對問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化

等價(jià)轉(zhuǎn)化是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識(shí)范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法.通過不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式化、簡單的問題.在應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，沒有一個(gè)統(tǒng)一的模式去進(jìn)行.它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換;它可以在分析和解決實(shí)際問題的過程中，普通語言向數(shù)學(xué)語言的翻譯;它可以在符號系統(tǒng)內(nèi)部實(shí)施轉(zhuǎn)換，即所謂的恒等變形.

例3 若函數(shù)f(x)=ax3+bx2-3x+c為奇函數(shù)，且在(-∞，-1)上單調(diào)遞增，在(-1，1)上單調(diào)遞減.

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;

(Ⅱ)若過點(diǎn)A(1，m)(m≠-2)可作曲線y=f(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解:(Ⅰ)∵函數(shù)f(x)=ax3+bx2-3x+c為奇函數(shù)，∴b=0，c=0.

又∵函數(shù)f(x)在(-∞，-1)上單調(diào)遞增，在(-1，1)上單調(diào)遞減，

∴f(x)在x=-1處取得極大值，

∵f′(x)=3ax2-3，∴f′(-1)=0，即3a-3=0，解得a=1.

∴f(x)=x3-3x.

(Ⅱ)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)，

∵曲線方程為y=x3-3x，m≠-2，點(diǎn)A(1，m)不在曲線上.

設(shè)切點(diǎn)為M(x0，y0)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足.

因f′(x0)=3(x20-1)，

故切線的斜率為3(x02-1)=x03-3x0-mx0-1，

整理得2x30-3x20+m+3=0.

∵過點(diǎn)A(1，m)可作曲線的三條切線，

∴關(guān)于x0方程2x30-3x20+m+3=0有三個(gè)實(shí)根.

設(shè)g(x0)=2x30-3x20+m+3，則g′(x0)=6x20-6x0.

由g′(x0)<0，得00，得x0<0或x0>1.

∴g(x0)在(-∞，0)，(1，+∞)上單調(diào)遞增，在(0，1)上單調(diào)遞減.

∴函數(shù)的極值點(diǎn)為x0=0，x0=1.

∴關(guān)于x0方程2x30-3x20+m+3=0有三個(gè)實(shí)根的必要條件是g(0)>0g(1)<0，

解得-3

又當(dāng)x0=-1時(shí)，g(-1)=-5+m+3<-4<0;

當(dāng)x0=2時(shí)，g(2)=4+m+3>4>0.

∴-3

故所求的實(shí)數(shù)m的取值范圍是-3

評注:此題中過一點(diǎn)作出曲線的三條切線很難理解，更不容易正確使用該條件，往往會(huì)使思維陷入誤區(qū)，甚至茫然不知所措，但合理地將存在三條切線問題轉(zhuǎn)化為方程存在三個(gè)根的問題，便使問題難點(diǎn)迅速瓦解，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的功效.

(作者:李洪洋江蘇省東海高級中學(xué))