立足知識生成\\重視知識整合\\關(guān)注知識延伸

函數(shù)是整個高中階段最基礎(chǔ)，也是最重要的知識單元.不少同學(xué)在高三復(fù)習(xí)過程中感覺自己分析問題、解決問題的能力總是處于“低空飛行”狀態(tài)，無法實現(xiàn)較大的突破，尤其是涉及到“知識拓展延伸”、“相關(guān)知識融合”、“數(shù)學(xué)思想應(yīng)用”等較高要求問題時找不到應(yīng)對的方法.

事實上，在高三復(fù)習(xí)過程中，對于函數(shù)知識的復(fù)習(xí)還是有章可循的，首先我們有必要回顧近五年江蘇高考數(shù)學(xué)試題對函數(shù)知識的考查要求，進(jìn)而重新審視江蘇高考對函數(shù)知識的考查方向以及我們的復(fù)習(xí)策略.讓我們看一下近五年江蘇高考函數(shù)部分的考點分布情況:

從上表的統(tǒng)計分析中我們可以獲得以下幾個方面的信息:

1.函數(shù)部分在高考卷中所占分值都在25%左右，其中還不包括其它知識單元中所涉及到的函數(shù)知識.

2.考查的等級要求并不等同于考查的難度要求.雖然函數(shù)中沒有C級知識點，但高考中常將函數(shù)作為壓軸題出現(xiàn).

3.函數(shù)知識點的考查有著很強(qiáng)的延續(xù)性.從函數(shù)考點的橫向比較來看，對于一些熱點、重點的知識與題型絕不回避，這充分體現(xiàn)了“重點知識重點考查、核心知識反復(fù)考查”命題策略.例如，函數(shù)的概念主要考查函數(shù)的定義域、值域、圖象等問題，尤其是圖象的應(yīng)用已成為新的生長點;基本性質(zhì)中主要考查單調(diào)性與奇偶性;基本初等函數(shù)主要考查指數(shù)、對數(shù)函數(shù);函數(shù)與方程、函數(shù)應(yīng)用題每年都會涉及，而且逐步升溫.

下面筆者從三個方面剖析命題思路與趨勢，并對復(fù)習(xí)的策略、方法談一些自己的想法與建議，供同學(xué)們參考!

一、立足知識生成，從基本概念、基本題型入手把握考題根源

同學(xué)們在復(fù)習(xí)過程中往往會忽視基本概念、基本題型，而事實上很多試題都是源自書本，其中包括一些概念的生成與本質(zhì)特征，一些題型的變形與再加工.我們可以看這樣幾個例子:

1.在本刊2009年第9期上有一篇文章《教材習(xí)題 高考影子》，文中對一組課本習(xí)題進(jìn)行了很好的歸納整理，并由此延伸出了2009年高考第20題.限于篇幅，不再對本題進(jìn)行分析，讀者可以認(rèn)真閱讀一下該文.如果進(jìn)行深入研究，同學(xué)們會發(fā)現(xiàn)高考試題中有近半數(shù)的試題是源自課本例題或練習(xí).

2.再以函數(shù)的奇偶性為例，其定義為“設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為A.如果對于任意的x∈A，都有f(-x)=f(x)，那么稱函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù);如果對于任意的x∈A，都有f(-x)=-f(x)，那么稱函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)”.如果究其本質(zhì)，應(yīng)該是“方程恒成立問題”，而解決此類問題的基本方法則是“待定系數(shù)法”.有這樣一個常見題“若函數(shù)f(x)=k-2x1+k#8226;2x在定義域上為奇函數(shù)，則k= .”如果忽視函數(shù)的定義域，直接用“f(0)=0”求解會得到錯誤結(jié)果.如果用定義“f(-x)=-f(x)”求解，同學(xué)們在整理之后往往會出現(xiàn)兩種表達(dá)方式，一是“(k2-1)#8226;4x+(k2-1)=0”，二是“(4x+1)#8226;k2=(4x+1)”.雖然兩種形式最終都能得到正確結(jié)果“k=±1”，但從本質(zhì)來講，第一種形式充分展示了奇偶性的本質(zhì)與一般的解決方法，而第二種形式不具普遍性.同學(xué)們?nèi)绻狈@種思考與總結(jié)，遇到形式多樣的問題變形時就會束手無策.讓我們重新審視一下08與09兩年的高考解析幾何問題:

【08高考第18題】設(shè)平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2+2x+b(x∈R)的圖像與兩坐標(biāo)軸有三個交點，經(jīng)過這三個交點的圓記為C.問圓C是否經(jīng)過某定點(其坐標(biāo)與b無關(guān))?請證明你的結(jié)論.

【09高考第18題】在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圓C2:(x-4)2+(y-5)2=4.

設(shè)P為平面上的點，滿足:存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標(biāo).

上面兩題的難點并不是在直線與圓的知識本身，而是試題內(nèi)部所蘊(yùn)含的代數(shù)問題，對“經(jīng)過某定點”與“無窮多對”這些表述的理解程度成為了能否解決問題的關(guān)鍵.08高考第18題，將圓方程x2+y2+2x-(b+1)y+b=0整理為(1-y)b+(x2+y2+2x-y)=0，即對任意的實數(shù)b，等式恒成立.09高考第18題，將表達(dá)式|-3k-1-ka+b|=|-4-5k+a+kb|整理為(a+b-2)k-(b-a+3)=0或(a-b+8)k+(a+b-5)=0，因為k的取值有無窮多個，也即對任意的實數(shù)k，等式恒成立.

通過上面兩個實例的解析，希望同學(xué)們能夠感悟到數(shù)學(xué)概念、定義中所蘊(yùn)含的重要數(shù)學(xué)本質(zhì)，同時對一些基本題型及其變形作一些深層次的思考.雖然試題千變?nèi)f化，但是其根源就在我們所學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)知識當(dāng)中.

二、重視知識整合，從知識關(guān)聯(lián)、內(nèi)容滲透入手化解考題難度

所謂知識的整合可以從兩個角度來分析，一是函數(shù)知識點之間的內(nèi)部整合，二是函數(shù)知識與其它知識單元之間的有機(jī)整合.

從高考的命題特點來看，函數(shù)知識點之間的內(nèi)部整合主要是以小題形式出現(xiàn)，如05年高考第15題:“函數(shù)y=log0.5(4x2-3x)的定義域為 ”;06年高考第16題:“不等式log2(x+1x+6)≤3的解集為 ”;07年高考第6題:“設(shè)f(x)=lg(21-x+a)是奇函數(shù)，則使f(x)<0的x的取值范圍是 ”;09年高考第11題:已知集合A={x|log2x≤2}，B=(-∞，a)，若AB，則實數(shù)a的取值范圍是(c，+∞)，其中c= ”都將對數(shù)函數(shù)與簡單對數(shù)不等式有機(jī)結(jié)合，或是涉及到函數(shù)的定義域、奇偶性等問題.這類問題只是將若干知識點進(jìn)行組合，一般都是以中檔題的面目出現(xiàn)，難度不會太大.從命題走向來看，函數(shù)中一些高頻考點仍然會是2010年高考的熱點.

函數(shù)知識與外部知識之間的整合在高考中更為常見，而且一般難度較大.從近五年的高考試題來看，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式、數(shù)列等代數(shù)知識之間的相互滲透較為普遍.如05高考第22題:“已知a∈R，函數(shù)f(x)=x2|x-a|.(1)當(dāng)a=2時，求使f(x)=x成立的x的集合;(2)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1，2]上的最小值”;07年高考第9題:“已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，f′(0)>0，對于任意實數(shù)x，有f(x)≥0，則f(1)f′(0)的最小值為 ”.都將函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式有機(jī)結(jié)合，難度較高.而從08、09兩年的高考試題來看，函數(shù)與解析幾何(主要是直線與圓)的整合成為了新的亮點(前文中以對這些題目作了分析).事實上，解析幾何的本質(zhì)就是用代數(shù)方法來解決幾何問題，由于對“直線與圓錐曲線”要求的降低，解析幾何的考查方向必然會產(chǎn)生變化，也即先由圓方程或直線與圓的基本關(guān)系生成代數(shù)表達(dá)式，在對表達(dá)式進(jìn)行純代數(shù)的研究，這是我們必須關(guān)注的新的方向!

另外，“函數(shù)模型及其應(yīng)用”必須引起同學(xué)們的重視.05、07年高考都是考查的概率應(yīng)用題，但是普遍反響不是很好.06、08、09三年都是函數(shù)模型的應(yīng)用，其中06年是以立體幾何圖形為背景，最終歸為導(dǎo)數(shù)問題;08年是以平面圖形為背景，最終歸為解三角形及導(dǎo)數(shù)問題;09年以市場商品交易為背景，最終歸為不等式問題.雖然三年的應(yīng)用題背景、模型、最終指向各有不同，但是，它們的共同點在于考查了函數(shù)的概念，考查了數(shù)學(xué)建模能力、抽象概括能力和解決實際問題的能力.預(yù)計2010年的高考命題在函數(shù)應(yīng)用題上嘗試更大突破的可能性極大，同學(xué)們一方面要提高自己的閱讀、審題能力，注意對關(guān)鍵條件、信息的把握，另一方面要留意一些背景新穎的應(yīng)用題，特別要對導(dǎo)數(shù)問題以及分段函數(shù)問題引起足夠的重視.

三、關(guān)注知識延伸，從思想方法、合理拓展入手突破考題難點

談到知識的延伸，我們可以從兩個方面進(jìn)行一些探討，一是由于基本題型的變形與重組而產(chǎn)生的數(shù)學(xué)思想的滲透與延伸;二是一些我們經(jīng)常遇到卻往往缺少關(guān)注與提煉的邊緣化的數(shù)學(xué)知識.在高考命題過程中，這兩類問題時常作為試題的最佳區(qū)分點，重在檢測思維能力與應(yīng)用、創(chuàng)新能力.下面將分別對這兩類問題作一些說明.

我們先回顧一下“06年高考第20題”和“09年高考第20題”，這兩個題目都是以二次函數(shù)為背景進(jìn)行構(gòu)造的(限于篇幅，不在展示原題，同學(xué)們可以自行查閱，對照解題過程閱讀下文)，那么，在解題過程中，我們的首要任務(wù)就是要將題目化歸為我們所熟悉的基本函數(shù)，這也就實現(xiàn)了對同學(xué)們化歸思想、等價轉(zhuǎn)化思想的考查.轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)之后，進(jìn)而就要考查是否有數(shù)形結(jié)合的思想，借助圖形的直觀性來尋找解題的突破口.再進(jìn)一步解決問題的過程中，同學(xué)們會發(fā)現(xiàn)參數(shù)的不確定性給解題帶來了困難，從而，必須利用分類討論思想對試題作進(jìn)一步研究.“08年高考第20題”是以指數(shù)函數(shù)為背景命題，但其整個解題過程中數(shù)學(xué)思想方法的體現(xiàn)與前面所講兩題基本相似.從上面的分析不難看出，數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)也是最重要的三種數(shù)學(xué)思想其實在解決函數(shù)問題時是密不可分的.那么，對于這些數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用能力應(yīng)該如何來訓(xùn)練、提高?首先，同學(xué)們不能將能力的提高寄希望于二輪復(fù)習(xí)時的“思想方法篇”的講解，而是應(yīng)該立足于平時，要對做過的、老師講過的題目多作反思.要熟練使用化歸思想，就必須重視基本概念與基本題型，并且熟悉一些基本題型的變形;對于數(shù)形結(jié)合思想的使用關(guān)鍵在于同學(xué)們的一種意識，也即是否會經(jīng)常思考一些代數(shù)形式背后的幾何特性，并時常加以應(yīng)用;分類討論思想主要是針對含參問題，當(dāng)參數(shù)的存在影響解題進(jìn)程時，必然就會想到討論，這是一種十分自然的狀態(tài)，同學(xué)們沒有必要將其看得過于神秘.

對于一些邊緣化的函數(shù)知識，這里主要談兩點，一就是函數(shù)連續(xù)性思想的應(yīng)用，二是極限思想的使用.這兩個問題雖然在教材中沒有過多的體現(xiàn)，考試說明中也沒有要求，但在適當(dāng)?shù)臅r候如果用好了，可以簡縮解題過程中的思維量，或是可以使解題過程更為規(guī)范、嚴(yán)密.

還是以09高考20題為例，將函數(shù)f(x)=2x2+(x-a)|x-a|轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)(二次函數(shù)型)，即f(x)=3x2-2ax+a2，x≥ax2+2ax-a2，x

a>0a<0

極限思想在導(dǎo)數(shù)定義中有所涉及，其實在研究對數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像時，涉及到漸近線時，早已滲透了極限思想.在研究最值問題時，還有兩個函數(shù)我們經(jīng)常會使用，(1)f(x)=x+1x;(2)f(x)=xx2+1.希望同學(xué)們予以關(guān)注.在真正的考試中極限思想的應(yīng)用不會作為一個重要考點單獨進(jìn)行考查，下面僅提供一例供同學(xué)們研究!

例(08-09學(xué)年昆山市高二期末卷)

已知函數(shù)f(x)=x2+2x#8226;tanθ-1，x∈[-1，3]，其中θ∈(-π2，π2).

(1)當(dāng)θ=-π6時，求函數(shù)f(x)的最大值與最小值;

(2)求θ的取值范圍，使y=f(x)在區(qū)間[-1，3]上是增函數(shù);

(3)當(dāng)θ=-π4時，記函數(shù)h(x)=1f(x)(x∈[-1，3]，且f(x)≠0)，試作出函數(shù)y=h(x)的草圖，并討論關(guān)于x的方程h(x)-m=0解的個數(shù)情況.(只要求寫出結(jié)果)

(1)當(dāng)θ=-π6時，f(x)=x2-233x-1=(x-33)2-43，x∈[-1，3]

∴當(dāng)x=33時，f(x)min=-43;當(dāng)x=-1時，f(x)max=233.

(2)∵f(x)=(x+tanθ)2-tan2θ-1，

y=f(x)在區(qū)間[-1，3]上是增函數(shù)，

則-tanθ≤-1，tanθ≥1，∴θ∈[π4，π2).

(3)f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2

∵x∈[-1，3]∴f(x)∈[-2，2]

函數(shù)y=h(x)的草圖如下所示:

當(dāng)-12

當(dāng)m<-1+34或m≥12或m=-12時，方程h(x)-m=0有一解;

當(dāng)-1+34≤m<-12時，方程h(x)-m=0有兩解.

(作者:王陽，昆山市教育局教研室)