2010年江蘇高考數(shù)學(xué)模擬試卷(1)

一、填空題:共14小題，每題5分，共70分.

1.已知集合A={x|1<2x<8，x∈R}，B={x||x|<2，x∈R}，則A∩B= .

2.已知z=4i-zi，i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z= .

3.一位籃球運(yùn)動(dòng)員在最近的8場(chǎng)比賽中得分的莖葉圖如圖，則他在這8場(chǎng)比賽中得分的平均值是 .

4.已知向量a=(1，n)，b=(-1，n)，若向量2a-b與向量b垂直，則|a|= .

5.函數(shù)y=3x2-2alnx+a在(0，1)內(nèi)有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .

6.將一根木棒隨意分成兩段，較長(zhǎng)一段的長(zhǎng)度不超過(guò)較短一段的長(zhǎng)度的2倍的概率是 .

7.執(zhí)行如圖算法框圖，若輸入a=18，b=5，則輸出的值為 .

8.已知F1，F(xiàn)2是橢圓x2k+1+y2k=1的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)F1的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF2的周長(zhǎng)為12，則橢圓的離心率為 .

9.曲線y=excosx在x=0處的切線方程為 .

10.已知正四面體的表面積為43，則該四面體的體積為 .

11.若函數(shù)f(x)=a-x+x+a2-2是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為 .

12.用f(n)表示自然數(shù)n的各位數(shù)字的和，例如f(20)=2+0=2，f(2009)=2+0+0+9=11，若對(duì)任意n∈N，都有n+f(n)≠x，滿足這個(gè)條件的最大的兩位數(shù)x的值是 .

13.函數(shù)y=23sinxcosx-cos2x+sin2x的圖象在[0，m]上恰好有兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .

14.已知定義在R上的函數(shù)F(x)滿足F(x+y)=F(x)+F(y)，當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)(x)<0.若對(duì)任意的x∈[0，1]，不等式組F(2kx-x2)

二、解答題:本大題共6小題，共計(jì)90分.

15.

已知在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，tan(C-π4)=2-3.

(1)求角C的大小;

(2)若sinAsinB=34，試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由.

16.

如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)D在棱BC上，AD⊥C1D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BB1，A1B1的中點(diǎn).

(1)求證:D為BC的中點(diǎn);

(2)求證:EF∥平面ADC1.

第16題

17.某校學(xué)生社團(tuán)心理學(xué)研究小組在對(duì)學(xué)生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中，發(fā)現(xiàn)其注意力指數(shù)p與聽課時(shí)間t之間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線.當(dāng)t∈(0，14]時(shí)，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分，當(dāng)t∈[14，40]時(shí)，曲線是函數(shù)y=loga(x-5)+83(a>0且a≠1)圖象的一部分.根據(jù)專家研究，當(dāng)注意力指數(shù)p大于80時(shí)聽課效果最佳.

(1)試求p=f(t)的函數(shù)關(guān)系式;

(2)老師在什么時(shí)段內(nèi)安排核心內(nèi)容能使得學(xué)生聽課效果最佳?請(qǐng)說(shuō)明理由.

第17題

18.已知圓C:(x+2)2+y2=4，相互垂直的兩條直線l1、l2都過(guò)點(diǎn)A(a，0).

(Ⅰ)若l1、l2都和圓C相切，求直線l1、l2的方程;

(Ⅱ)當(dāng)a=2時(shí)，若圓心為M(1，m)的圓和圓C外切且與直線l1、l2都相切，求圓M的方程;

(Ⅲ)當(dāng)a=-1時(shí)，求l1、l2被圓C所截得弦長(zhǎng)之和的最大值.

19.

已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=nn+a(n，a∈N*).

(1)若a1，a3，a15成等比數(shù)列，求a的值;

(2)是否存在k(k≥3且k∈N)，使得a1，a2，ak成等差數(shù)列，若存在，求出常數(shù)a的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)求證:數(shù)列中的任意一項(xiàng)an總可以表示成數(shù)列中的其他兩項(xiàng)之積.

20.

已知正方形ABCD的中心在原點(diǎn)，四個(gè)頂點(diǎn)都在曲線y=ax3+bx上.

(1)若正方形的一個(gè)頂點(diǎn)為(2，1)，求a、b的值;

(2)若a=1，求證:b=-22是正方形ABCD唯一確定的充要條件.

數(shù)學(xué)附加題

21.【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分.

A.選修4-1:幾何證明選講

如圖，圓O是△ABC的外接圓，過(guò)點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，CD=210，AB=BC=3，求BD以及AC的長(zhǎng).

B.選修4-2:矩陣與變換

已知變換T把平面上的點(diǎn)(2，-1)，(0，1)分別變換成點(diǎn)(0，-1)，(2，-1)，試求變換T對(duì)應(yīng)的矩陣M.

C.選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

圓C:ρ=2cos(θ-π4)，與極軸交于點(diǎn)A(異于極點(diǎn)O)，求直線CA的極坐標(biāo)方程.

D.選修4-5:不等式選講

證明:1+122+132+…+1n2<2-1n(n≥2，n∈N*).

【必做題】第22題、第23題，每題10分，共20分.

22.某商場(chǎng)為促銷設(shè)計(jì)了一個(gè)抽獎(jiǎng)模型，一定數(shù)額的消費(fèi)可以獲得一張抽獎(jiǎng)券，每張抽獎(jiǎng)券可以從一個(gè)裝有大小相同的4個(gè)白球和2個(gè)紅球的口袋中一次性摸出3個(gè)球，至少摸到一個(gè)紅球則中獎(jiǎng).

(1)求一次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率;

(2)若每次中獎(jiǎng)可獲得10元的獎(jiǎng)金，一位顧客獲得兩張抽獎(jiǎng)券，求兩次抽獎(jiǎng)所得的獎(jiǎng)金額之和X(元)的概率分布和期望E(X).

23.如圖，已知三棱錐O-ABC的側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點(diǎn).

(Ⅰ)求異面直線BE與AC所成角的余弦值;

(Ⅱ)求二面角A-BE-C的余弦值.

參考答案

一、填空題:本大題共14小題，每小題5分，共70分.

1.{x|0

2.2+2i

3.14

4.2

5.(0，3)

6.13

7.3

8.13

9.x-y+1=0

10.223

11.2

12.97

13.[π2，7π6)

14.(-3，2)

二、解答題:本大題共6小題，共計(jì)90分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.(本題滿分14分)

解:(1)tan(C-π4)=2-3，∴tanC-1tanC+1=2-3，tanC=3∵0

(2)sinAsinB=34，又sinC=32

∴sinAsinB=sin2C，由正弦定理得ab=c2

由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab

∴(a-b)2=0，∴a=b，

又∵C=π3，∴△ABC是正三角形.

16.(本題滿分14分)

解:(1)∵正三棱柱ABC-A1B1C1，∴C1C⊥平面ABC，

又AD平面ABC，∴C1C⊥AD，又AD⊥C1D，C1D∩C1C=C1

∴AD⊥平面BCC1B1，

又∵正三棱柱ABC-A1B1C1，

∴平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AD⊥BC，D為BC的中點(diǎn).

(2)連接A1B，連接A1C交AC1于點(diǎn)G，連接DG

∵矩形A1ACC1，∴G為A1C的中點(diǎn)，

又由(1)得D為BC的中點(diǎn)，∴△A1BC中，DG∥A1B

又∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BB1，A1B1的中點(diǎn)，

∴△A1B1B中，EF∥A1B，∴EF∥DG，

又EF平面ADC1，DG平面ADC1，∴EF∥平面ADC1.

17.(本題滿分14分)

解:(1)t∈(0，14]時(shí)，設(shè)p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0)，將(14，81)代入得c=-14

t∈(0，14]時(shí)，p=f(t)=-14(t-12)2+82

t∈[14，40]時(shí)，將(14，81)代入y=loga(x-5)+83，得a=13

∴p=f(t)=-14(t-2)2+82(0

(2)t∈(0，14]時(shí)，-14(t-12)2+82≥80解得12-22≤t≤12+22，∴t∈[12-22，14]

t∈[14，40]時(shí)，log13(t-5)+83≥80解得5<t≤32，∴t∈[14，32]，∴t∈[12-22，32]，

即老師在t∈[12-22，32]時(shí)段內(nèi)安排核心內(nèi)容能使得學(xué)生聽課效果最佳.…14分

18.(本題滿分16分)

解答:(Ⅰ)顯然，l1、l2的斜率都是存在的，設(shè)l1:y=k(x-a)，則l2:y=-1k(x-a)

則由題意，得|2k+ak|k2+1=2，|2+a|k2+1=2

解得|k|=1且|a+2|=22，即k=±1且a=-2±22

∴l(xiāng)1、l2的方程分別為l1:y=x-22+2與l2:y=-x-22+2或l1:y=x+22+2與l2:y=-x+22+2

(Ⅱ)設(shè)圓M的半徑為r，易知圓心M(1，m)到點(diǎn)A(2，0)的距離為2r，

∴(1-2)2+m2=2r2(1+2)2+m2=(2+r)2

解得r=2且m=±7，∴圓M的方程為(x-1)2+(y±7)2=4

(Ⅲ)當(dāng)a=-1時(shí)，設(shè)圓C的圓心為C，l1、l2被圓C所截得弦的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，弦長(zhǎng)分別為d1，d2，因?yàn)樗倪呅蜛ECF是矩形，所以CE2+CF2=AC2=1，即

(4-(d12)2)+(4-(d22)2)=1，化簡(jiǎn)得d1+d2=28

從而d1+d2≤2#8226;d21+d22=214，

即l1、l2被圓C所截得弦長(zhǎng)之和的最大值為214

19.(本題滿分16分)

解:(1)a1=11+a，a3=33+a，a15=1515+a，

a1，a3，a15成等比數(shù)列，∴a1a15=(a3)2，∴a=0或a=9

∵a∈N*，∴a=9.

(2)假設(shè)存在這樣的k，a滿足條件，a1=11+a，a2=22+a，ak=kk+a，

a1，a2，ak成等差數(shù)列，∴a1+ak=2a2，化簡(jiǎn)得(k-3)a=2

∵k，a∈N*，∴a=1時(shí)，k=5;或a=2時(shí)，k=4.

(3)即證存在k，t≠n，使得an=akat

即證:nn+a=kk+a#8226;tt+a即證:1+an=(1+ak)(1+at)

即證:1n=1k+1t+akt即證:k-nnk=k+akt

即證:k-nn=k+at

令k=n+1，則t=n(k+a)=n(n+1+a)

∴對(duì)任意n，an=an+1an(n+1+a)

即數(shù)列中的任意一項(xiàng)an總可以表示成數(shù)列中的其他兩項(xiàng)之積.

20.(本題滿分16分)

解:(1)∵一個(gè)頂點(diǎn)為(2，1)，∴必有另三個(gè)頂點(diǎn)(-2，-1)，(1，-2)，(-1，2)，

將(2，1)，(1，-2)代入y=ax3+bx，得a=56，b=-176.

(2)設(shè)正方形在第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)，則必然有另一個(gè)頂點(diǎn)(n，-m)

1°充分性:

若b=-22，y=x3-22x

則n=m3-22m-m=n3-22n，則有nm=m2-22-mn=n2-22，

即(m2-22)(n2-22)+1=0——①

令m2-22=t>0，則n=mt，代入①得t(m2t2-22)+1=0

即t[(t+22)t2-22]+1=0化簡(jiǎn)得(t-1t+2)2=0，

又t-1t+2=0有且僅有一個(gè)正根，∴(m，n)唯一確定，

即正方形ABCD唯一確定.

2°必要性:

若(m，n)唯一確定，則n=m3+bm-m=n3+bn，即nm=m2+b-mn=n2+b

即(m2+b)(n2+b)+1=0——②

令m2+b=t>0，則n=mt，代入①得t(m2t2+b)+1=0

即t[(t-b)t2+b]+1=0化簡(jiǎn)得t2+1t2-b(t-1t)=0，

即(t-1t)2-b(t-1t)+2=0——③

又③有唯一解，∴b2=8，又∵b=-mn-n2<0

∴b=-22

附加題答案

21.【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

A.選修4-1:幾何證明選講(本題滿分10分)

解:由切割線定理得:DB#8226;DA=DC2，

DB(DB+BA)=DC2，DB2+3DB-40=0，DB=5.

∵∠A=∠BCD，∴△DBC∽△DCA，

∴BCCA=DBDC，得AC=BC#8226;DCDB=6105.

B.選修4-2:矩陣與變換(本題滿分10分)

解:設(shè)M=abcd，則abcd2-1=0-1，abcd01=2-1

2a-b=02c-d=-1b=2d=-1∴a=1，c=0∴M=120-1.

C.選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(本題滿分10分)

解:圓C:ρ2=2ρcos(θ-π4)=2ρcosθ+2ρsinθ

所以x2+y2-2x-2y=0

所以圓心C(22，22)，與極軸交于A(2，0)

直線CA的直角坐標(biāo)方程為x+y=2

即直線CA的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ-π4)=1.

D.選修4-5:不等式選講(本題滿分10分)

證明:1+122+132+…+1n2<1+11×2+12×3+…+1(n-1)n

=1+1-12+12-13+…+1n-1-1n

=2-1n.

22.(本題滿分10分)

解:(1)設(shè)“一次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)”為事件A，則P(A)=C12C24+C22C14C36=1620=45

答:一次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為45.

(2)X可取0，10，20

P(X=0)=(0.2)2=0.04，P(X=10)=C12×0.8×0.2=0.32，

P(X=20)=(0.8)2=0.64

X的概率分布列為

X01020

P0.040.320.64

E(X)=0×0.04+10×0.32+20×0.64=16.

23.(本題滿分10分)

解:解:(Ⅰ)以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則有A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，1，0).

EB=(2，0，0)-(0，1，0)=(2，-1，0)，AC=(0，2，-1)，cos<EB，AC>=-25#8226;5=-25.

由于異面直線BE與AC所成的角是銳角，故其余弦值是25.

(Ⅱ)AB=(2，0，-1)，AE=(0，1，-1)，

設(shè)平面ABE的法向量為n1=(x，y，z)，

則由n1⊥AB，n1⊥AE，得2x-z=0，y-z=0.

取n=(1，2，2)，

平面BEC的一個(gè)法向量為n2=(0，0，1)，

cos=n1#8226;n2|n1|#8226;|n2|=21+4+4=23.

由于二面角A-BE-C的平面角是n1與n2的夾角的補(bǔ)角，其余弦值是-23.